Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 4868 286502 209292 2026-08-19T13:46:12Z Avemundi 2081 Correzioni formali 286502 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Diritto privato}} La '''compravendita''' è un [[w:contratto|contratto]] disciplinato dagli art. dal 1470 fino al 1509 del [[w:codice civile|Codice Civile]]. Il Codice Civile la chiama semplicemente ''vendita'', mentre la stessa si traduce in [[w:lingua latina|latino]] come ''emptiovenditio''. ''Ex'' art 1470 del c.c. ''La vendita è il [[w:contratto|contratto]] che ha per oggetto il trasferimento della [[w:proprietà (diritto)|proprietà]] di una cosa o il trasferimento di un altro diritto verso il corrispettivo di un prezzo.'' Si possono individuare due parti: il ''venditore'' (o alienante) che trasferisce il diritto ed il ''compratore'', che si [[w:obbligazione|obbliga]] a pagare un [[w:prezzo|prezzo]], espresso in una somma di denaro, come corrispettivo. ==I caratteri tipici del contratto di vendita== Il contratto di compravendita è un '''contratto consensuale''', ovvero che produce l'effetto traslativo e fa sorgere gli obblighi al momento della conclusione del contratto. Non è quindi un ''contratto reale'' (''re perficiuntur''= che si perfeziona con la consegna della cosa come nel mutuo, nel deposito o nel comodato). In alcuni casi, tuttavia, (come per esempio per la vendita di cose future) l'effetto traslativo non è immediato, ma successivo. In questi casi l'efficacia della vendita è soltanto obbligatoria (ovvero l'alienante si obbliga a procurare all'acquirente l'acquisto della proprietà). ==La forma del contratto== La forma di un contratto di compravendita è libera (può anche manifestarsi oralmente o per comportamenti concludenti), ma per taluni casi, per lo più riferiti alla natura dell'oggetto, la [[w:legge|legge]] dispone l'obbligatorietà della forma scritta ([[w:atto pubblico|atto pubblico]] o [[w:scrittura privata autenticata|scrittura privata autenticata]]), ad esempio nel caso di trasferimento della proprietà di cose immobili (art. 1350 c.c.), a pena di nullità. In tal caso si parlerà anche di ''contratto formale'' ==Casi particolari di compravendita== ===I beni immobili=== Per i [[w:bene immobile|beni immobili]] la vendita può essere [[w:vendita a misura|a misura]] o [[w:vendita a corpo|a corpo]], secondo rispettivamente che in contratto si faccia o meno riferimento all'estensione superficiaria del bene per la determinazione del [[w:prezzo|prezzo]]. Se, ad esempio, la vendita avviene per un corrispettivo di X lire per metro quadrato, si tratta di una vendita a misura, diversamente è una vendita a corpo. La circostanza rileva anche in ordine ad eventuali successive compensazioni del prezzo, che possono essere richieste anche dopo la conclusione del contratto, qualora si riscontri una differenza rispetto alla superficie dichiarata. Si noti che anche nella vendita a corpo, però, può aversi titolo ad una richiesta di compensazione qualora la misura sia comunque indicata (e ciò anche se la vendita sia dichiaratamente a corpo), se la differenza fra il valore indicato e quello effettivamente riscontrato sia maggiore di un ventesimo (5%), in più o in meno. ===La vendita di cosa futura=== Il '''contratto di vendita di cosa futura''' è un contratto che prevede il trasferimento della [[w:proprietà (diritto)|proprietà]] di una cosa che ancora non esiste, o è in corso di realizzazione o che verrà realizzata (in genere dall'alienante), come nell'ipotesi di una casa da costruirsi. Il contratto in oggetto non è condizionato alla venuta ad esistenza del [[w:bene (o del diritto) giacché nelle more dell'evento le parti possono già essere vincolate all'esecuzione di alcune prestazioni: il compratore (nell'ipotesi di leasing: il concedente) potrebbe essere già obbligato al pagamento del prezzo ed il venditore, a sua volta, potrebbe essere obbligato a cooperare alla venuta ad esistenza del bene. In realtà l'unico effetto che rimane sospeso è quello traslativo: per spiegare la [[w:fattispecie|bene (o del diritto) giacché nelle more dell'evento le parti possono già essere vincolate all'esecuzione di alcune prestazioni: il compratore (nell'ipotesi di leasing: il concedente) potrebbe essere già obbligato al pagamento del prezzo ed il venditore, a sua volta, potrebbe essere obbligato a cooperare alla venuta ad esistenza del bene. In realtà l'unico effetto che rimane sospeso è quello traslativo: per spiegare la [[w:fattispecie]] può dirsi che la venuta ad esistenza della cosa si atteggia come condizione sospensiva, ma rispetto al solo effetto menzionato. Di fatto, nella vendita di cosa futura l'effetto traslativo si verifica nel momento in cui il bene viene ad esistenza nella sua completezza. Il mancato avveramento dell'evento nel termine convenuto (la venuta ad esistenza della cosa oggetto del contratto), determina la [[w:risoluzione|risoluzione]] del contratto per sopravvenuta impossibilità della prestazione. N.B.: solo nel caso in cui sia stato stipulato un [[w:contratto aleatorio|contratto aleatorio]] ci si assume anche il rischio che la cosa non venga ad esistenza. ===La vendita di cosa anche parzialmente altrui=== La '''vendita di cosa parzialmente altrui''' è disciplinata dall'art 1480 c.c. , il quale statuisce che se la cosa che il compratore riteneva di proprietà del venditore era solo in parte di proprietà altrui, il compratore può chiedere la risoluzione del contratto ed il risarcimento del danno qualora debba ritenersi, date le circostanze,che non avrebbe acquistato la cosa senza quella parte di cui non è divenuto proprietario; altrimenti può solo ottenere una riduzione del prezzo,oltre al risarcimento del danno. La vendita di cosa altrui è generalmente valida (e abbastanza frequente nel campo dell'intermediazione commerciale), ma manca di un requisito di efficacia, poiché il venditore non ha il potere di disporre: perciò il contratto produce soltanto ''effetti obbligatori immediati''; tra questi l'obbligo per il venditore di procurare l'acquisto della proprietà. L'effetto traslativo si produrrà automaticamente, quando il venditore acquista la proprietà dal titolare della cosa venduta. ===La vendita di cosa determinata solo nel genere e nella quantità=== Quando la vendita ha ad oggetto cose determinate solo nel genere e nella quantità, la proprietà passa solo nel momento dell{{'}}''individuazione'', fatta d'accordo fra le parti o nei modi da essi stabiliti. ===La vendita con riserva di proprietà=== Nella '''vendita a rate con riserva di proprietà''', il compratore acquista la proprietà della cosa solo con il pagamento dell'ultima rata di prezzo, ma assume i rischi dal momento della consegna(art. 1523 c.c.). Se il compratore non paga, alle scadenze pattuite, le rate del prezzo, il venditore può ottenere la risoluzione del contratto. Non può però ottenerla per il mancato pagamento di una sola rata che non superi l'ottava parte del prezzo,nonostante ogni patto contrario. Risolto il contratto il venditore esigerà la restituzione delle cosa, ma dovrà a sua volta restituire le rate già riscosse, salvo il diritto a trattenerne una quota a titolo di compenso per l'uso che il compratore ha fatto della cosa. *Per maggiori dettagli vedi: [[w:Patto di riservato dominio|Patto di riservato dominio]]. ===La vendita con riserva di gradimento=== La '''vendita con riserva di gradimento''' è disciplinata dall'art 1520 c.c.;la vendita in questo caso non si perfeziona fino a che il gradimento non sia comunicato dal compratore al venditore. La dichiarazione di gradimento è assolutamente discrezionale;secondo l'opinione prevalente siamo in presenza di un [[w:patto d'opzione|patto d'opzione]]. ===La vendita con patto di riscatto=== La vendita può essere conclusa con patto di riscatto: il venditore si riserva il diritto di riacquistare la proprietà della cosa venduta mediante la restituzione del medesimo prezzo,maggiorato delle spese che l'acquirente ha dovuto affrontare per la vendita,per le riparazioni necessarie e,nei limiti dell'aumento,delle spese che hanno aumentato il valore della cosa. Il compratore soggiace ad un [[w:diritto potestativo|diritto potestativo]] del venditore. Il termine per il riscatto non può essere maggiore di 2 anni nella vendita di cose mobili e di 5 anni per gli immobili. Il patto di riscatto crea sulla cosa venduta un vincolo reale: se il compratore vende la cosa, il venditore può riscattarla anche nei confronti del terzo acquirente,purché il patto sia ad esso opponibile. Diversa dalla vendita con patto di riscatto è la vendita con '''patto di retrovendita''',con questo patto il compratore si obbliga nei confronti del venditore a ricedergli il bene in un secondo momento. In questo caso non basta la semplice dichiarazione del venditore per riacquistare il bene, ma serve un ulteriore negozio di trasferimento, in cui oltre alla volontà del venditore c'è quella del compratore. Il patto di retrovendita ha la stessa funzione di un contratto preliminare, con il patto di retrovendita le parti si vincolano reciprocamente a stipulare un nuovo negozio di vendita. Nel caso in cui il compratore non volesse ritrasferire il bene, il venditore può agire in via esecutiva e ottenere (ex art 2932 c.c.) una sentenza costitutiva che produce gli stessi effetti del contratto che si sarebbe dovuto porre in essere. ===La garanzia nella vendita=== Il venditore deve garantire il bene venduto sia da '''vizi occulti''' sia dall{{'}}'''evizione''' (art 1476), ossia che la cosa venduta non appartiene ad altri che la possano rivendicare. La '''garanzia per l'evizione''' è funzionale alla tutela del compratore per eventuali "vizi giuridici", non conosciuti al momento della conclusione del contratto, che limitano il godimento del diritto o del bene.Si distinguono tre tipi di evizione: *Totale *Parziale *Limitativa L{{'}}'''evizione totale''' si ha nel caso in cui il compratore subisce l'accoglimento di un'azione di rivendicazione proposta da un terzo, perdendo così la proprietà del bene. In tal caso è previsto che il compratore possa proporre l'azione di risoluzione del contratto, condannando il venditore alla restituzione del prezzo e al risarcimento del danno. L{{'}}'''evizione parziale''' si ha nel caso in cui una cosa sia soltanto di proprietà parizlamente altrui.Se al momento della conclusione del contratto il compratore avrebbe ugualmente acquistato il bene nonostante fosse a conoscenza di tale situazione, allora ha diritto alla sola riduzione del prezzo oltre al risarcimento del danno, nel caso in cui il compratore non avesse acquistato il bene allora può chiedere la risoluzione e il risarcimento del danno. L{{'}}'''evizione limitativa''' si ha quando sul bene i terzi vantino diritti reali minori, in tal caso la disciplina opera come per l'evizione parziale. Il compratore ha l'onere di chiamare a testimoniare il venditore nella eventualità che un terzo vanti diritti sul bene acquistato, qualora non lo facesse perderebbe la garanzia per l'evizione. Ciò si spiega con il fatto che il venditore può eccepire in giudizio la validità dell'atto traslativo e smentire le pretese del terzo. Come la garanzia per l'evizione la '''garanzia per i vizi''' è un effetto naturale della compravendita. Con tale tipo di garanzia il venditore garantisce l'assenza di [[w:vizi materiali|vizi materiali]] del bene che non ne consentano l'uso per il quale è destinato. La garanzia opera quindi solo se i vizi sono tali da rendere la cosa inidonea, in tutto o in parte, all'uso cui è destinata o sono tali da diminuire sensibilmente il valore del bene. La mancanza delle ''qualità promesse'' o delle ''qualità necessarie'' per l'uso cui la cosa è destinata, può portare alla [[w:risoluzione|risoluzione]] contrattuale se la mancanza delle qualità eccede il limite di tollerabilità determinato dagli usi, ma non alla sostituzione o alla riparazione. La garanzia per i vizi può essere contrattualmente limitata, la limitazione non opera però per i vizi che sono stati in malafede taciuti dal venditore, né per i vizi che erano, al momento della stipulazione del contratto, conosciuti o conoscibili usando la diligenza dell'uomo medio. I rimedi in caso di vizi sono: la riduzione del prezzo ('''azione estimatoria''') e la risoluzione contrattuale ('''azione redibitoria'''). La garanzia deve essere fatta valere dal compratore entro 8 giorni dal momento della scoperta dei vizi a pena di [[w:decadenza|decadenza]], dopodiché il diritto di far valere la garanzia si [[w:prescrizione|prescrive]] in 1 anno dalla data di consegna della cosa. ===L'acquisto da parte del consumatore=== Gli articoli 1469 bis/1469 sexies e gli articoli 1519 bis/1519 nonies hanno introdotto la disciplina della vendita ai consumatori e della '''vendita dei beni di consumo'''. *Il [[w:consumatore|consumatore]] è colui il quale, al di fuori della sua attività professionale, acquista beni o servizi. *Il [[w:professionista|professionista]] è colui il quale nell'esercizio della sua attività imprenditoriale o professionale offre beni o servizi. *Il [[w:bene di consumo|bene di consumo]] è un bene mobile (anche da assemblare o futuro) destinato ad essere messo sul mercato e consumato. Fanno eccezione acqua, gas ed energia, a meno che non siano confezionati. La ''ratio'' di questi articoli si trova nella necessità di dover garantire il consumatore da eventuali squilibri contrattuali che i venditori possono compiere. Infatti il consumatore si trova in una posizione subordinata, si tratta di un soggetto che aspira a conseguire un bene che pochi offrono, mentre i professionisti si trovano nella posizione di offrire i beni o i servizi a una molteplicità di persone. La disciplina sancisce la nullità di alcune '''clausole''' cosiddette '''vessatorie''' che determinano gravi squilibri contrattuali a meno che queste non siano state oggetto di una seria trattativa (non semplicmenete di sottoscrizione). Si è tuttavia prevista la nullità delle clausole, che sebbene oggetto di trattativa, determinino l'adesione del consumatore a condizioni generali e a clausole che al momento della stipulazione non poteva conoscere, oppure limitino la responsabilità del professionista e le azioni che può esperire il consumatore. L'eventuale sanzione di nullità della clausola vessatoria non determina la nullità del contratto. Il giudizio di vessatorietà non riguarda l'oggetto e il prezzo, salvo questi non siano determinati chiaramente. È stata introdotta anche una disciplina volta a garantire la '''conformità del bene al contratto''' (articolo 129 del ''Codice del Consumo''). La conformità va valutata non soltanto in relazione al contratto, ma anche con riguardo all'informazione pre-contrattuale e alle descrizioni del professionista, nonché alla pubblicità o all'etichettatura del bene. La conformità è comunque fondata su: *l'idoneità all'uso quale servono abitualmente beni dello stesso tipo. *la sussistenza di qualità che il consumatore può ragionevolmente aspettatarsi tnuto conto della natura del bene e delle dichiarazioni fatte al riguardo dal venditore, dal produttore o dal suo agente o dal suo rappresentante (Nella pubblicità ed etichettatura). *l'idoneità all'uso particolare voluto e segnalato dal consumatore e che il venditore abbia accettato ''per fatti concludenti'', ovvero tacitamente. La rilevanza è esclusa se al momento della conclusione del contratto il consumatore ne era a conoscenza o avrebbe dovuto esserlo usando l'ordinaria diligenza. Come rimedio a disposizione del consumatore la sostituzione del bene o la sua riparazione. Resta in piedi la possibilità di richiedere la risoluzione del contratto con restituzione del prezzo. La scelta tra riparazione e sostituzione sono esperibili sono nel caso in cui non siano troppo onerosi, altrimenti subentrerà la scelta tra azione redibitoria o estimatoria. Nel caso dei beni di consumo si ha un termine di decadenza di due mesi dalla scoperta e un termine di prescrizione di due anni dalla consegna. qualora il difetto si manifesti entro 6 mesi dalla consegna allora si presume già presente al momento della consegna, salvo la prova contraria. ===La vendita estimatoria e la vendita a prova=== Con il contratto estimatorio una parte si obbliga nei confronti dell'altra a trasferire la proprietà di una determinata quantità di beni verso corrispettivo di prezzo. L'acquirente ha però la facoltà di liberarsi dall'obbligazione di pagare il prezzo restituendo i beni che ha ricevuto dal venditore. Si tratta di una prassi molto diffusa nei contratti di distribuzione, infatti il fornitore si garantisce una diffusione capillare dei suoi prodotti, mentre il rivenditore non rimane vincolato al pagamento del prezzo, potendo infatti ottenere la liberazione da tale obbligazione restituendo il bene al fornitore. I rischi del perimento dei beni gravano sull'acquirente, il quale sarà ugualmente costretto a pagare anche se i beni periscono per causa a lui non imputabile. La vendita a prova è invece una particolare compravendita sottoposta alla condizione sospensiva che la cosa abbia le qualità pattuite, quindi la vendita produrrà pienamente i suoi effetti solo nel momento in cui si sia palesato che la cosa ha tutte le qualità pattuite ex ante. ===La buona fede dell'acquirente=== In base all'art. 1153 il possessore in buona fede (ossia che ignora di ledere un altrui diritto) di un bene che ha acquistato a titolo oneroso,si considera il legittimo proprietario anche se ha acquistato a non domino. Per i diritti sugli immobili la regola del "possesso vale il titolo" non può trovare applicazione, visto il regime di pubblicità a cui sono soggetti gli immobili. In tal caso se la trascrizione del titolo di trasferimento avviene prima della trascrizione di una qualsiasi azione volta a modificare la situazione del dante causa su quel bene, tali azioni non saranno a lui opponibili. Per la cessione di credito (art. 1260 e ss) la cessione ha efficacia nei confronti del debitore nel momento in cui gli verrà notificata. ===I divieti di comprare=== I divieti di alienazione sono limitazioni all'autonomia contrattuale. Se il divieto di alienazione ha fonte legale, l'eventuale atto traslativo è nullo. Il divieto di alienazione può essere anche pattuito, in tal caso il divieto non ha efficacia erga omnes, l'eventuale alienazione comporterà quindi la sola sanzione di inadempimento contrattuale ex art. 1218. ==Testi Normativi== [[s:Codice Civile|Codice Civile]] 9zra6z8jgtey08xxy8bo3o7ajvuklk9 0 16302 286504 277006 2026-08-19T13:52:06Z Avemundi 2081 Revisione 286504 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Letteratura latina per le superiori 1|avanzamento=100%}} [[File:Ennius.jpeg|miniatura|sinistra|Ennio, immaginato da Raffaello nelle Stanze Vaticane]] Q. '''Ennio''' è il poeta più importante di questa età e in un certo senso la rappresenta. Nacque a Rudiae, vicino a Taranto, nel 239 a.C.. Ennio, vivendo in una regione osca che si intrecciava al greco della colonia dorica di Taranto e poi conquistata dai romani, diceva fieramente di avere tre anime (tria corda, ossia tre cuori, in latino) proprio perché conosceva e parlava tutte e tre le lingue. La grande varietà culturale di Ennio spinta proprio dalla conoscenza di queste tre culture fecero dello stesso un pilastro basilare alla cultura latina. Il suo culto per le personalità, l'ansia per il problema religioso che viene posto alla base della società stessa, la funzione di vigile commento alle vicende storiche e politiche riservate alla poesia, la passione per i monumenti classici greci e il disdegno per le opere arcaiche rozze autoctone. Ma i suoi tre animi lo portavano anche ad avere un carattere dissidente: era un rigido moralista ma contemporaneamente scrisse la ''Sota'' che era una raccolta di componimenti lascivi, disprezza il duro saturnio neviano e diffonde il gusto per la perfezione formale ma allo stesso tempo è meno elegante e più duro di Plauto, si ritiene l'incarnazione di Omero, ma copia il prologo degli ''Αίτια'' callimachei, è il più consapevole e entusiasta della tradizione romana, ma allo stesso tempo non crede negli antichi dei romani e anzi cerca di diffondere il misticismo pitagorico, ammira la struttura di stato romano con la diffidenza contro l'aspirazione al regnum ma allo stesso tempo decanta Scipione Africano che porta a Roma il culto dell'uomo eccezionale al di sopra delle leggi comuni. Nel 204 a.C. era arruolato nelle truppe ausiliare romane in Sardegna dove lo incontrò Catone che lo portò con sé a Roma. Fu proprio Catone ad iniziarlo ma, non sapendolo, creò la più grande smentita ai suoi ideali dato che Ennio importò nella letteratura latina lo spirito della letteratura greca e inoltre supportò il suo nemico Scipione. Secondo S. Girolamo visse sull'Aventino in modeste condizioni servito da una sola ancella. Era amante del vino e soffriva per questo di prodigalità. Fu molto amico di Scipione Africano e Scipione Nasica e si narra che una sua statua sia stata collocata sul sepolcro degli Scipioni lungo la via Appia accanto a quella dell'Africano. ==La produzione drammatica== Anche Ennio si dedica alla produzione drammatica. Delle sue commedie ci restano solo i titoli di due opere, la ''Caupuncula'' o ''Tabernania'' e il ''Pancratiastes''. Più fortuna ebbero le sue tragedie di cui ci sono pervenuti, oltre che frammenti, anche venti titoli: ''Achilles Aristarchi'', ''Aiax'', ''Alcumeo'', ''Alexander'', ''Andromacha aechmalotis'', ''Andromeda'', ''Athamas'', ''Cresphon'', ''Erechtheus'', ''Eumenides'', ''Hectoris lutra'' (Il riascatto del cadavere di Ettore), ''Hecuba'', ''Iphigenia'', ''Medea exul'', ''Melanippa'', ''Nemea'', ''Phoenix'', ''Telamo'', ''Telephus'' e ''Thyestes''. Non sappiamo quale modello seguisse ma sicuramente doveva essere il patetico Euripide ma comunque dai frammenti che ci sono rimasti palesano una grande libertà di rielaborazione e temperamento esuberante. Rimane preferito come modello il ciclo troiano. Ennio compose anche una ''praetexta'', la ''Sabinae'', che raccontava del sacco delle Sabine. Non sappiamo se considerarla una praetexta oppure una ''satura'' drammatica, l{{'}}''Ambraicia'', che invece celebrava la guerra etolica e la presa di Ambracia ad opera di M. Fulvio Nobiliore (189 a.C.). Carme celebrativo, invece, era sicuramente lo Scipio, che celebrava Scipione Africano. ==Gli "Annales"== [[File:Giovanni Battista Tiepolo 038.jpg|miniatura|destra|Enea, con il figlio e il padre in un dipinto di Giambattista Tiepolo.]] Nel 184 a.C. Ennio seguì il figlio di Fulvio Nobiliore, Quinto, che fondò le colonie di Potentia e Pisaurum. Dopo questo ottenne la cittadinanza romana celebrata con un verso famoso degli ''Annales'': ''Nos sumu' Romani qui fuimus ante Rudini''. Gli Annales rappresentano la sua opera principale che gli fece ottenere la palma di poeta nazionale romano fino a Virgilio. Erano un lungo poema in diciotto libri, di circa tremila versi, ed abbracciava le vicende di Roma dalle origini mitiche al secondo secolo. A noi sono pervenuti solo seicento versi, tutti derivati dalla citazione di altri autori. Il titolo, chiaramente, si rifà agli ''Annales pontificum''. La trame invece prende spunto dalle trattazioni private contemporanee, come quella di Nevio, e anch'essa parte dalla vicenda mitica di Enea, procedendo in ordine cronologico e arricchendosi sempre più di dettagli fino alla sua età. La novità assoluta è la sostituzione del metro dal saturnio all'esametro eroico che sarà la più grande rivoluzione compiuta da Ennio e che segnerà il corso anche per l'epica latina successiva che userà sempre il metro omerico. Naturalmente, essendo ancora alle prime armi, tale esametro risulterà molto grezzo, nonostante i tentativi di Ennio di raggiungere effetti rari e preziosi. Un'altra rivoluzione fu sicuramente sotto l'aspetto ideologico. L'opera si apre con l'invocazione alle Muse, come aveva fatto Nevio, e prosegue con il sogno compiuto da Ennio, in cui incontra Omero, che gli narra come la sua anima dopo essere passata da corpi di uomini e animali abbia trovato posto in una stanza del suo corpo. Questo prologo risente sicuramente degli ''Αίτια'' di Callimaco, ma anche introduce, per la prima volta nella letteratura latina, un pensiero filosofico nella cultura romana e temi di natura personali in un'opera che voleva essere il corrispettivo dell'epos omerico. In conclusione, superate le tre difficoltà (il pregiudizio classicistico che sia bello ciò che è fluido e ben tornito, la scarsità di frammenti e i molti versi spuri) l'opera di Ennio va apprezzata soprattutto per lo stile lapidario delle epigrafi per gli argomenti più disparati e la esuberanza e finezza di sfumature sentimentali. ==Le opere minori== Nelle opere minori, pervenuteci soli in pochi frammenti, è racchiusa l'esperienza personale di Ennio. Si ricordino alcuni libri di ''Saturae'', lo ''Scipio'', il ''Sota'', il ''Protrepticus'', l{{'}}''Hedyphagetica'', l{{'}}''Epicharmus'' e l{{'}}''Euhemerus''. Nella Satura non ci sarà ancora il carattere che la poesia satirica ebbe con Lucilio, ma ci sono i primi germi dello stesso, dato che i vari argomenti trattati sono raccontati con il classico spirito di cordiale abbandono, in modo da aprire più facilmente la riflessione su morale e etica. Caratteristica delle ''Saturae'' di Ennio era la polimetria e, stando a quanto dicono alcuni, anche l'alternanza della prosa e i versi sul modello della ''Satura Menippea''. Affine alla Satura era il carme ''Scipio'', anche esso polimetrico, il ''Protrepticus'', sul moralismo essendo un libro di precetti, e il ''Sota'', anche se la moralità era più spregiudicata. Di cultura siceliota era il poemetto ''Hedyphagetica'', manuale di arte culinaria scritto in esametri e su modello di Archestrato di Gela, l{{'}}''Epicharmus'', che rielabora un poemetto del siceliota Epicarmo ed è impregnato di pitagorismo, e l{{'}}''Euhemerus'', traduceva e rielaborava un opera scritta tra il IV e V secolo da Evemero da Messina e ancora conosciuta all'epoca di Ennio in cui si esponeva come gli dei erano solo re o uomini divinizzati per riconoscenza dei loro popoli ed Ennio non poteva non appoggiare una simile teoria, essendo l'opera destinata al popolo romano che aveva divinizzato il suo fondatore. ==La fortuna== Ennio morì nel 169 a.C. o nel 168 a.C. e di lui ci è rimasto un autoepitaffio che sembra autentico per la sua epica austerità e per il pitagorismo che lo ispira: "Contemplate, o cittadini, l'aspetto dell'imago del vecchio Ennio; costui vi espose le festa dei vostri padri antichi. Nessuno mi tributi l'ornamento delle lacrime e mi faccia i funerali col pianto. Perché? Vivo io trascorro sulle bocche dei guerrieri". Nel secolo successivo alla sua morte ebbe l'onore delle pubbliche letture anche se fu già criticato da Virgilio. Nell'ultimo secolo della Repubblica e nel primo Impero fu rispettato come pater Ennio e Lucrezio lo prese a modello. Ma fu così apprezzato soprattutto per la sua decantazione delle glorie antiche non per questo fu usato da Cicerone contro i poeti novi (anche se tra gli stessi alcuni erano ispirati da Ennio come Varrone Atacino e Furio Bibaculo). Nell'età augustea la fama di Ennio fu risollevata e contemporaneamente oscurata da Virgilio che lo rielaborò nell{{'}}''Eneide''. Nel primo secolo dell'Impero la reazione antivirgiliana si esprime con il ritorno di Lucano al poema storico, ma nell'età dei Flavi Quintiliano però afferma che si ammirava Ennio come un bosco sacro in cui le querce ispiravano più santità che bellezza. Dopo un periodo di fortuna nell'età Antonina, l'opera di Ennio fu definitivamente soppiantata dall{{'}}''Eneide'' di Virgilio. ==Testi disponibili su Wikisource in lingua latina== *[[s:la:Annalium fragmenta|Annalium fragmenta]] tp5am98bsxgb31giytmamb6lg8ugefi 8 17236 286499 123682 2026-08-19T12:45:47Z M7 54 rimosso link a statistiche non più funzionante 286499 wikitext text/x-wiki Confronto tra versioni: selezionare le caselle corrispondenti alle versioni desiderate e premere Invio o il pulsante in basso. Legenda: '''({{int:cur}})''' = differenze con la versione attuale, '''({{int:last}})''' = differenze con la versione precedente, '''{{int:minoreditletter}}''' = modifica minore Strumenti esterni: <span class="plainlinks">[http://wikipedia.ramselehof.de/wikiblame.php?project=wikiversity&user_lang=it&lang=it&article={{FULLPAGENAMEE}}&limit=500&searchmethod=int Ricerca nella cronologia]''' · ''' [//tools.wmflabs.org/xtools-articleinfo/?article={{urlencode:{{FULLPAGENAME}}}}&project=it.wikiversity.org Statistiche sulla cronologia (wmflabs.org)]''' · '''[//tools.wmflabs.org/pageviews?pages={{FULLPAGENAMEE}}&project=it.wikiversity.org Numero di visite].</span> akjzqyd4nm5w1jwd0n2low6pinourrw 0 32369 286501 272835 2026-08-19T13:43:23Z Avemundi 2081 Revisione 286501 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea attiva | avanzamento = 100% }} Nell'ambito dei sistemi di comunicazione di un sommergibile si inserisce a buon diritto la funzione del telefono subacqueo che può essere implementata nel sonar. Il telefono subacqueo rappresenta un mezzo molto utile per le comunicazioni bidirezionali tra mezzi navali. Esso si avvale della componente attiva del sonar per l'invio di messaggi e della componente passiva per la loro ricezione. L'implementazione del telefono nel sonar è resa possibile grazie all'impiego di un apposito dispositivo ausiliario (telefono subacqueo) di comunicazione e ascolto. L'operatore che desidera comunicare con un corrispondente, dopo aver acceso il dispositivo, effettua una chiamata dal microfono, contemporaneamente i circuiti di modulazione comandano il cofano trasmettitore che eccita la base degli emettitori. L'energia acustica emessa si propaga in mare e viene captata dal sonar del corrispondente che, essendo in ascolto (l'operatore lo è sempre durante la navigazione), risponde alla chiamata con un telefono simile. Le onde acustiche del sonar corrispondente colpiscono la base idrofonica, i segnali da essa generati attraverso il cofano amplificatori e il cofano elaborazione raggiungono i circuiti di demodulazione del telefono che li trasferisce, amplificati, alla cuffia per l'ascolto. Quando un sonar riceve una chiamata telefonica, sullo schermo video del cofano di presentazione compare una traccia luminosa che indica all'operatore la direzione del battello che l'ha inviata. ==Schema a blocchi di un sonar nel quale è implementata la funzione "telefono subacqueo"== L'implementazione della funzione "telefono subacqueo" nel sonar è mostrata, in via di principio, nella figura 1. Nello schema a blocchi sono evidenziate in celeste le componenti del sonar, ed in giallo il cofano che contiene tutta la circuitazione del telefono subacqueo. [[File:tsof1.jpg|thumb|left| 400px|]] {{clear}} Come si vede dalle frecce grigie il telefono subacqueo riceve i segnali esterni dal cofano collegato alla base acustica del sonar, successivamente, dopo l'ascolto, invia il segnale telefonico di risposta direttamente al cofano trasmettitore che lo trasferisce alla base di emissione del sonar. La modalità di trasmissione del telefono è del tipo a banda laterale unica <ref> Nel discorrere dei sistemi di modulazione a banda laterale unica si usano i termini: *SSB- che identifica la modulazione a banda laterale unica indipendentemente se tale banda è superiore od inferiore alla frequenza portante ( Single Side Band ). *USB- che identifica la modulazione a banda laterale unica disposta a frequenze superiori della portante ( Upper Side Band ). *LSB- che identifica la modulazione a banda laterale unica disposta a frequenze inferiori della portante ( Lower Side Band ) </ref> così come mostra lo spettro di figura 2a. [[File:tsof2.jpg|thumb|left| 300px|]] {{clear}} I vantaggi di questo tipo di trasmissione sono evidenti dalla comparazione di figura 2b con figura 2a, da quest'ultima si nota: *non ha la presenza della portante e quindi non disperde energia che non contiene informazione *non avendo la portante non consente l'individuazione della sorgente in assenza di comunicazione *tutta la potenza dell'informazione è concentrata nella banda laterale *in assenza di segnale fonico la tensione inviata al trasmettitore sonar è praticamente nulla Generalmente le frequenze di emissione dei telefoni subacquei sono prossime a quelle dei sonar nei quali sono inseriti; mentre la larghezza della banda laterale è compresa, indicativamente, tra 100 e 2500 Hz. L'emissione del telefono non viene captata soltanto dal battello al quale è destinata ma da tutti i sonar in ascolto nella zona. Questo fatto limita notevolmente l'impiego del telefono se il sommergibile non vuole essere individuato, per diminuire tale probabilità l'operatore può comandare l'emissione direttiva. ==Schema a blocchi del telefono subacqueo in trasmissione== Lo schema del telefono subacqueo in trasmissione è illustrato in figura 3; in essa sono riportati graficamente i seguenti blocchi funzionali (non compaiono i diversi amplificatori di livello e funzioni accessorie): [[File:tsof3.jpg|thumb|left| 500px|]] {{clear}} * m = microfono di servizio * sfa = circuito sfasatore ( 0° / 90°) segnali audio * mp1 - mp2 = moltiplicatori bilanciati * gp = generatore della frequenza portante * sfp = circuito sfasatore ( 0 / 90° ) della portante * sm = sommatore elettronico In linea di massima il funzionamento del circuito di figura 3 è il seguente:<BR> Il segnale audio generato dal microfono "m", opportunamente amplificato e filtrato in banda, è inviato al circuito sfasatore "sfa" che ha il compito di rendere in uscita due segnali audio sfasati tra loro di 90°.<BR> I due segnali sono applicati rispettivamente ai due ingressi dei moltiplicatori "mp1" e "mp2". <BR> Il segnale del generatore della frequenza portante "gp" viene a sua volta sfasato di 90° tramite "sfp" e applicato agli altri due ingressi dei moltiplicatori "mp1" e "mp2".<BR> Infine il sommatore "sm" riceve i due segnali dall'uscita da "mp1" e "mp2" e rende il segnale voluto indicato genericamente con ssb; detto segnale, se rappresenta la parte più alta dello spettro, è indicato come usb, se rappresenta la parte inferiore dello spettro è indicato come lsb.<BR> Il segnale all'uscita di "sm", opportunamente amplificato, è indirizzato al trasmettitore del sonar. <br> Il funzionamento dell'intero circuito si basa sulle caratteristiche dei due moltiplicatori "mp1" e "mp2" che eseguono il prodotto dei segnali ai loro rispettivi ingressi cancellando "completamente" la frequenza portante.<BR> Giocando sugli sfasamenti tra le tensioni applicate un moltiplicatore rende la somma delle bande laterali dovute alla modulazione audio, l'altro rende la loro differenza.<BR> Il segnale a doppia banda laterale in uscita da "mp1" e "mp2" è genericamente indicato con DSB. <BR> È evidente che i due segnali in uscita da "mp1" e "mp2" consentono, tramite la somma con "sm" ,di cancellare la banda laterale non desiderata fornendo la doppia ampiezza di quella voluta.<BR> <br><BR> == Esame del circuito di figura 3 dal punto di vista matematico <ref> Nel contesto delle dimostrazioni matematiche assumiamo le sigle DSB1 e DSB2 come funzioni a carattere trigonometrico necessarie per le dimostrazioni e con la sigla USB vista anch’essa come funzione trigonometrica conclusiva del percorso di calcolo. </ref> == Assegniamo al segnale microfonico di "m" il simbolo fo ed al segnale del generatore "gs" il simbolo f ; le due velocità angolari degli argomenti saranno : <math> \omega o = 2 \pi fo </math> <math> \omega = 2 \pi f </math> e le loro funzioni trigonometriche <math>a1s; \ p1s </math>: <math> a1s = \sin ( \omega o \cdot t) </math> <math> p1s = \sin ( \omega \cdot t) </math> Le due funzioni all'uscita dei rispettivi sfasatori "sfa" e "sfp" saranno: <BR> <math> a1s = \sin ( \omega o \cdot t) </math> <math> a1c = \cos ( \omega o \cdot t) </math> <math> p1s = \sin ( \omega \cdot t) </math> <math> p1c = \cos ( \omega \cdot t) </math> Per DSB1 su "mp1" abbiamo il prodotto tra il segnale a fase 0° (seno) e la portante a fase 90°, (coseno): <math> DSB1 = \sin ( \omega o \cdot t) \cdot \cos ( \omega \cdot t) </math> che sviluppato secondo le formule di Werner dà: <math>DSB1 = (1 / 2) \sin [( \omega o - \omega) \ t] + (1 / 2) \sin [( \omega o + \omega ) \ t] </math> Per DSB2 su "mp2" abbiamo il prodotto tra il segnale a fase 90° , coseno , e la portante a fase 0° seno: <math>DSB2 = \cos ( \omega o \cdot t) \cdot \sin ( \omega \cdot t ) </math> che sviluppato secondo le formule di Werner dà: <math>DSB2 = (1 / 2) \sin [( \omega - \omega o) \ t] + (1 / 2) \sin [( \omega + \omega o ) \ t] </math> Eseguiamo ora la somma tra l'espressione di DSB1 e DSB2, per determinare l'espressione dell'onda SSB : questa operazione è eseguita dal circuito sommatore al quale confluiscono le due uscite dei segnali DSB, abbiamo: <math> USB = DSB1 + DSB2 </math> = <math> (1/2) \sin [(\omega o - \omega) t]+(1/2) \sin [(\omega o + \omega ) t]+(1/2) \sin [(\omega - \omega o) t]+(1 /2) \sin [(\omega + \omega o ) t] </math> raggruppando gli addendi con gli argomenti in differenza e quelli con gli argomenti in somma si ha <math> (1/2) \sin [(\omega o - \omega) t]+(1/2) \sin [(\omega - \omega o) t]+(1/2) \sin [(\omega o + w ) t]+(1 /2) \sin [(\omega + \omega o ) t] </math> ricordando che <math> \sin (-x ) = - \sin (x) </math> si può scrivere: <math> (1/2) \sin [(\omega o - \omega) t] - (1/2) \sin [(\omega o - \omega) t]+ (1/2) \sin [(\omega o + \omega ) t]+ (1 /2) \sin [(\omega + \omega o ) t] </math> con tale passaggio si possono elidere i primi due addendi con argomento differenza <math>(\omega o - \omega)</math> ottenendo infine: <math> USB = DSB1 + DSB2 </math> = <math> (1/2) \sin [(\omega o + \omega ) t]+ (1 /2) \sin [(\omega + \omega o ) t] </math> = <math> \sin [(\omega + \omega o ) t] </math> una funzione semplice nella quale si evidenzia soltanto la banda laterale superiore di pulsazione <math> (\omega + \omega o) </math>, ovvero di frequenza <math>( f + fo ) </math>. In termini numerici: Se la portante è pari a <math> f = 10000 \ Hz </math> e lo spettro della modulante audio è compreso tra <math> 100 </math> a <math> 2000 \ Hz </math> lo spettro della USB sarà esteso da <math> 10100 \ Hz</math> a <math> 12000 Hz </math> così come indicato, non in scala ,in figura 4. [[File:tsof4.jpg|thumb|left| 300px|]] {{clear}} ==Schema a blocchi del telefono subacqueo in ricezione == Lo schema del telefono subacqueo in ricezione è illustrato in figura 5; in essa sono riportati i blocchi funzionali (non compaiono i diversi amplificatori di livello e funzioni accessorie): [[File:tsof5.jpg|thumb|left| 500px|]] {{clear}} Il segnale sr = f + fo ( somma della portante f e del segnale telefonico fo), captato dalla base ricevente del sonar, è applicato all'ingresso del moltiplicatore "mp" ( moltiplicatore con "cancellazione" della frequenza dell'oscillatore locale); il secondo ingresso di "mp" riceve il segnale dall'oscillatore locale "ol" La frequenza f' di "ol" deve essere identica alla frequenza f utilizzata dal corrispondente in fase di modulazione; il segnale audio sa = fo in uscita è ottenuto secondo il seguente processo: indicando con: <math> \omega 1 = 2 \pi \ (f + fo) </math> la pulsazione di "sr" <math> \omega 2 = 2 \pi \ f' </math> la pulsazione di "ol". le loro funzioni trigonometriche sono: <math> sr(trig.) = \sin ( \omega 1 \ t) </math> <math> ol(trig.) = \sin (\omega 2 \ t) </math> all'uscita di "mp" avremo: <math> sump = sr(trg.) \cdot ol(trig.) = \sin(\omega 1 \ t) \cdot \sin(\omega 2 \ t) </math> secondo Werner si ha: <math> sump = (1 / 2) \cos [( \omega 1 - \omega 2) \ t] - (1 / 2) \cos [( \omega 1 + \omega 2 ) \ t] </math> = <math> (1 / 2) \cos [ 2 \pi ( f + fo - f' ) t] - (1 / 2) \cos [ 2 \ \pi \ ( f + fo + f' ) \ t] </math> dovendo essere <math> f' = f </math> si ha: <math> sump = (1 / 2) \ \cos [ ( 2 \pi fo ) \ t] - (1 / 2) \cos [ 2 \pi \ ( 2f' + fo ) \ t] </math> Il segnale sump è applicato all'ingresso del filtro "pb" che ha il compito di bloccare tutte le frequenze di sump superiori a fo; l'azione di "pb" "arresta" pertanto il passaggio del termine : <math> (1 / 2) \cos [ 2 \pi ( 2f' + fo ) t] </math> e rende infine all'uscita di "pb" stesso il segnale audio <math> ( sa = fo ) </math> che giunge all'operatore: <math> sa = (1 / 2) \cos [ (2 \pi \ fo ) \ t] </math> ==Appendice == In appendice due significative osservazioni sulla funzione "telefono subacqueo", nell'ordine: A)-In fase di ricezione il telefono opera come indicato in figura 5; in particolare si dimostra matematicamente come la frequenza f' (dell'oscillatore locale ol) debba essere identica alla frequenza f (della portante di trasmissione) affinché si verifichi la cancellazione di quest'ultima.<BR> Se f' è diverso da f si genera un fenomeno distorsivo che, al limite, può provocare l'intelligibilità del messaggio telefonico.<BR> Se dal punto di vista costruttivo è indubbio che una coppia di telefoni abbia f' = f, nulla invece si può dire in relazione all'effetto Doppler, che modifica, se i mezzi che comunicano sono in movimento,<BR> il valore di f + fo e di conseguenza il valore di f. <BR > Per questa ragione in alcuni telefoni subacquei è disponibile un circuito, che, in funzione della velocità relativa tra i battelli, corregge il valore della frequenza f al fine di ridurre la distorsione dei messaggi a causa dell'effetto Doppler. B)-Generalmente l'implementazione della funzione telefono subacqueo nel sonar è suggerita per il risparmio dell'energia e dello spazio mai eccessivi a bordo dei sommergibili.<BR> Quando il telefono deve essere in dotazione di bordo di navi di superficie questo può assumere struttura autonoma comprensiva di:<BR> - trasduttore direttivo di emissione<BR> - trasduttore omnidirezionale in ricezione<BR> - cofano modulatore, trasmettitore, ricevitore, alimentatore e sicurezze<BR> - pannelli di comunicazione, comando e controllo da disporre nei locali più opportuni della nave<BR> <BR> Di questo tipo di apparati citiamo il modello TS200 della Soc. USEA installato su numerose unità navali della M.M.I. ( Cl. Maestrale )<BR> <BR> ==Note== <references/> ==Bibliografia== * Soc. USEA, ''Monografia telefono subacqueo TS 200'', Archivio Arsenale M.M.I di La Spezia. * C. Del Turco, ''Elettronica generale di bassa frequenza'', testo liberamente scaricabile:[http://www.sonar-info.info/p7/7pagina.html con il link]: j0mh3yl43sp4fkb1pe2y1aiijzi0rbj 2 34010 286500 286498 2026-08-19T13:42:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo di 3 addendi della serie di: +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286500 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> a7ko0xukkcw0synnam215cjpwqxhy4a 286503 286500 2026-08-19T13:48:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286503 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 5nwt07wm3b6ptmyuus76wsysyh3mul9 286505 286503 2026-08-19T13:54:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286505 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> epzo5njop5sf78nz4xv2j86x1j1eu1k 286506 286505 2026-08-19T13:55:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286506 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ts3jkhggg3aubwkcg1xbd4na1cety6l 286507 286506 2026-08-19T13:57:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286507 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> i44km32kiooxlr9p8v4ljq246bun7wq 286508 286507 2026-08-19T13:59:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286508 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A per 0<t<T/2<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> l4rmlz9objy7olvfsdlg9w5041udbjt 286509 286508 2026-08-19T14:01:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286509 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per\ 0<t<T/2<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nevr3tiz7d1ne9hw9bhl75my2uxhux1 286510 286509 2026-08-19T14:02:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286510 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per\ 0<t<T/2\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> dm7nlc74qn2apim29qytyth7h72ra7s 286511 286510 2026-08-19T14:03:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286511 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per\ 0<t<T/2\\ -A \3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} -A \ per </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 10h697ifr6smmrwef99kutss92g3h0h 286512 286511 2026-08-19T14:04:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286512 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per\ 0<t<T/2\\ -A \3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } </math> <math>y(t)=\begin{cases} +A & \text{per } 0<t<\frac{T}{2}\ -A & \text{per } \frac{T}{2}<t<T \end{cases}</math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> glwa03ldydj9s4xb6qbsnaedsobqmh5 286513 286512 2026-08-19T14:06:54Z Funzioni di correlazione 24136 286513 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A\per\ 0<t<T/2\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> e5h2o8e6cx5il846rgd0qq09z5if645 286514 286513 2026-08-19T14:07:36Z Funzioni di correlazione 24136 286514 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1jna3v40b01rkvqkrzy2d662iuuxei9 286515 286514 2026-08-19T14:09:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286515 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A\per\0<t<T/2\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lqae8oy60gn55s5g7id2fklngf1eoy6 286516 286515 2026-08-19T14:10:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286516 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 5pff4dj30wfdr6hajoy0shjyftugpks 286517 286516 2026-08-19T14:11:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286517 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A\\ -A \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 7938rcc3cxzvfxp877431tzhwj2j19h 286518 286517 2026-08-19T14:11:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286518 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \\ -A \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ev1jrfj0h9ivnk38t0c2ab4ojl6ubc2 286519 286518 2026-08-19T14:12:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286519 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \\ -A \ per \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> d1e50autrc3oub1j9m3mmy1kxrg8gqa 286520 286519 2026-08-19T14:13:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286520 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per 0 < t < T/2\\ -A \ per \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4i2wnjszflu47lp4xu1cgzlrahbykgh 286521 286520 2026-08-19T14:14:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286521 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \T/2 < t < T \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 2hgkz4wt0j0x0xdi2jlhqrrwd4lefza 286522 286521 2026-08-19T14:14:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286522 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza A definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 77ebzbtlqx584xg9xnhtgrpqjvtpzj9 286523 286522 2026-08-19T14:16:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286523 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math>== La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bpzalhajz48gi5ht4xwyez3n2l08l97 286524 286523 2026-08-19T14:17:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286524 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> a0y7sah3orz86r11uh40mpa0sgxyxik 286525 286524 2026-08-19T14:21:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286525 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: <math>y(t)=\sum_{\substack{n=1\n\ \mathrm{dispari}}}^{\infty}\frac{4A}{n\pi}\sin(n\omega_0t)</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> oppure, in forma compatta, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1k1ka2oosfjhcykk171z325002agl3w 286526 286525 2026-08-19T14:33:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286526 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto <math>b_n=\begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & \text{se } n \text{ è dispari}\ 0 & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}</math> ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 5j2y9sl5df36syb4esti9z7gwwbupxt 286527 286526 2026-08-19T14:34:55Z Funzioni di correlazione 24136 286527 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto ### Serie di Fourier finale Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> a3h9dotpiz71aa3ojqs33affnoz1js4 286528 286527 2026-08-19T14:37:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286528 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> ### Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. ### Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 6nfwq5gjv99smyfrhr8rsw79tiap62u 286529 286528 2026-08-19T14:40:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286529 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> ### Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nxu06t09xp9rgsr0vggodvhi9q97rma 286530 286529 2026-08-19T14:40:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286530 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ssgt3g6moq0gcjl96i31822izkut4bd 286531 286530 2026-08-19T14:42:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286531 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> k3uq8jw0lxl458bq4letb96l0nykps8 286532 286531 2026-08-19T14:42:51Z Funzioni di correlazione 24136 286532 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ssgt3g6moq0gcjl96i31822izkut4bd 286547 286532 2026-08-20T06:41:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286547 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 3qxtso3rb8ipm89nhf1dmnh7sj4gvx6 286548 286547 2026-08-20T06:43:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286548 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. = Serie di Fourier della funzione = Si considera la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. == Sviluppo in serie di Fourier == La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> La serie di Fourier cercata è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Esplicitando i primi termini, <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{9}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{25}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{49}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> == Convergenza == La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>\boxed{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> tvq1qrme8ichwx7rwvungiom80j4k4p 286549 286548 2026-08-20T06:46:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 286549 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. = Serie di Fourier della funzione = Si considera la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. == Sviluppo in serie di Fourier == La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> La serie di Fourier cercata è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Esplicitando i primi termini, <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{9}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{25}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{49}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> == Convergenza == La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ld2581mltt490x5lr38cquoic061o4x 286550 286549 2026-08-20T06:51:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* Serie di Fourier della funzione */ 286550 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Considerando la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. == Sviluppo in serie di Fourier == La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> La serie di Fourier cercata è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Esplicitando i primi termini, <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{9}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{25}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{49}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> == Convergenza == La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> e2ycv0ws8j0i6rh0k191hsrucp5kojm 286551 286550 2026-08-20T06:52:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286551 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Considerando la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. == Sviluppo in serie di Fourier == La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> La serie di Fourier cercata è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Esplicitando i primi termini, <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{9}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{25}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{49}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> == Convergenza == La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1is2yypnnjdldav2n0r1rb1668t7pql 286552 286551 2026-08-20T06:55:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sviluppo in serie di Fourier */ 286552 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Considerando la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> == Convergenza == La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> n0jys8si3zkoj98dez44fnxe1za1tx8 286553 286552 2026-08-20T06:56:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* Convergenza */ 286553 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Considerando la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> Convergenza La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. == Risultato finale == <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> rzmrfs1owd7rz9dyrlo5uj88y77vr0x 286554 286553 2026-08-20T06:57:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 286554 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Considerando la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Poiché <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, si può scrivere, nella forma matematica esatta, <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di ampiezza <math>\frac{\pi}{2}</math> e periodo <math>2\pi</math>. Di conseguenza, la funzione <math>y(t)</math> ha ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie di Fourier reale di una funzione periodica di periodo <math>T</math> è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]</math> La funzione è dispari, infatti <math>y(-t)=-y(t)</math> Pertanto il termine costante e tutti i coefficienti dei coseni sono nulli: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> Rimangono soltanto i coefficienti <math>b_n</math>. I coefficienti della serie di Fourier sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Essendo <math>y(t)</math> e <math>\sin(2\pi nt/T)</math> entrambe funzioni dispari, il loro prodotto è pari. Quindi <math>b_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}y(t)\sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right),dt</math> Nell'intervallo <math>0\leq t\leq T/4</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{2\pi t}{T}</math> mentre nell'intervallo <math>T/4\leq t\leq T/2</math> si ha <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\pi-\frac{2\pi t}{T}</math> Pertanto <math>y(t)=\frac{4At}{T}</math> per <math>0\leq t\leq T/4</math>, mentre <math>y(t)=2A-\frac{4At}{T}</math> per <math>T/4\leq t\leq T/2</math>. Il calcolo dell'integrale porta a <math>b_n=0</math> per <math>n</math> pari, mentre per <math>n</math> dispari <math>b_n=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}</math> Quindi i soli armonici presenti sono quelli dispari. Ponendo <math>n=2k+1</math> si ottiene <math>b_{2k+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> con <math>k=0,1,2,\ldots</math> Convergenza La serie converge assolutamente perché <math>\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right|=\frac{8|A|}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. Infatti <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. La funzione originale è continua in ogni punto, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Per il teorema di convergenza delle serie di Fourier, la serie converge quindi in ogni punto <math>t</math> al valore della funzione originale: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)=y(t)</math> In particolare, non si verificano discontinuità o fenomeni di Gibbs nel valore della funzione, anche se nei punti angolosi la derivata della funzione presenta una discontinuità. Risultato finale <math>{y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)}</math> La serie converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math> e la sua somma coincide con la funzione <math>y(t)</math> in ogni punto. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9btiv7hklesax8wckas0jbga6ho2zbl 286555 286554 2026-08-20T07:02:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286555 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Si utilizzano le approssimazioni <math>3.14\simeq\pi</math> e <math>6.28\simeq2\pi</math>, ottenendo <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> La funzione <math>\arcsin(\sin x)</math> è un'onda triangolare di periodo <math>2\pi</math>. La sua serie di Fourier è <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin((2n+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> si ottiene <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right)</math> Scritta come insieme di addendi: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> Quindi i primi addendi sono <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> La funzione è dispari rispetto all'origine, quindi non presenta termine costante né termini in coseno: <math>a_0=0</math> <math>a_n=0</math> I soli coefficienti non nulli sono quelli dei seni alle armoniche dispari: <math>b_{2n+1}=\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}</math> mentre <math>b_{2n}=0</math> La serie converge perché i coefficienti in valore assoluto sono maggiorati da una serie armonica generalizzata convergente: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}<\infty</math> Pertanto la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente. Inoltre, poiché la funzione <math>y(t)</math> è continua, la serie converge in ogni punto alla funzione stessa: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right)=y(t)</math> La serie completa richiesta è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right)</math> e converge assolutamente e uniformemente per ogni <math>t</math>. == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9yimdl7kw31v5dga1figeywt18if2c5 286556 286555 2026-08-20T07:07:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286556 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. ```text <math> y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right) </math> La funzione \arcsin(\sin x) genera un'onda triangolare periodica di periodo 2\pi. Poniamo <math> x=\frac{2\pi t}{T} </math> e consideriamo quindi la funzione <math> f(x)=\arcsin(\sin x) </math> Nel tratto fondamentale <math> -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2} </math> si ha semplicemente <math> f(x)=x </math> La funzione è dispari: <math> f(-x)=-f(x) </math> e quindi la sua serie di Fourier contiene solamente termini sinusoidali. La serie di Fourier di \arcsin(\sin x) è <math> \arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin((2n+1)x) </math> Sostituendo <math> x=\frac{2\pi t}{T} </math> si ottiene <math> \arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right) </math> Moltiplicando per il fattore presente nella funzione originale, <math> y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right) </math> si ha <math> y(t)= \frac{8A}{\pi^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \sin\left(\frac{2\pi(2n+1)t}{T}\right) </math> Espandendo la sommatoria come insieme di addendi: <math> y(t)= \frac{8A}{\pi^2} \left[ \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) -\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right) +\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right) -\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right) +\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right) -\cdots \right] </math> Poiché è richiesta l'espressione in termini di coseno, si può usare <math> \sin\theta=\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) </math> ottenendo <math> y(t)= \frac{8A}{\pi^2} \left[ \cos\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) -\frac{1}{9}\cos\left(\frac{6\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) +\frac{1}{25}\cos\left(\frac{10\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) -\frac{1}{49}\cos\left(\frac{14\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) +\frac{1}{81}\cos\left(\frac{18\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) -\cdots \right] </math> In forma generale, esclusivamente mediante coseni: <math> y(t)= \frac{8A}{\pi^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \cos\left( \frac{2\pi(2n+1)t}{T}-\frac{\pi}{2} \right) </math> Questa è equivalente alla serie sinusoidale precedente; la forma con il coseno contiene semplicemente uno sfasamento di \pi/2. La serie converge. Infatti i coefficienti in valore assoluto sono proporzionali a <math> \frac{1}{(2n+1)^2} </math> e la serie <math> \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} </math> è convergente. Di conseguenza la serie di Fourier converge anche assolutamente e uniformemente. Inoltre la funzione y(t) è continua e periodica. Pertanto la serie di Fourier converge in ogni punto al valore della funzione: <math> \lim_{N\to\infty}S_N(t)=y(t) </math> In particolare, non essendoci discontinuità nella funzione triangolare, non compaiono valori medi tra due valori diversi della funzione nei punti di raccordo. La frequenza fondamentale è <math> f_0=\frac{1}{T} </math> e sono presenti solamente le armoniche dispari: <math> f_k=\frac{2k+1}{T},\qquad k=0,1,2,\ldots </math> con ampiezza proporzionale a <math> \frac{1}{(2k+1)^2} </math> e segno alternato. Pertanto la serie completa può essere riassunta come <math> y(t)= \frac{8A}{\pi^2} \left[ \cos\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) -\frac{1}{9}\cos\left(\frac{6\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) +\frac{1}{25}\cos\left(\frac{10\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) -\frac{1}{49}\cos\left(\frac{14\pi t}{T}-\frac{\pi}{2}\right) +\cdots \right] </math> ``` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> e8syazoym7f5wyego2wopvp1txqlqa4 286557 286556 2026-08-20T07:20:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286557 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. ` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> r7kwymx3beesmypk6gfrm2plvuuge71 286558 286557 2026-08-20T07:23:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286558 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. <h2>Calcolo della serie di Fourier</h2> Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> <h2>Serie scritta come insieme di addendi</h2> <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> <h2>Convergenza</h2> La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> n0vlni1mkq0me9g6xntyo5evn4m0pkh 286559 286558 2026-08-20T07:27:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286559 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> <h2>Serie scritta come insieme di addendi</h2> <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> <h2>Convergenza</h2> La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> h19ngmdkjzn0bsv4a692lew5ugu8l0n 286560 286559 2026-08-20T07:28:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286560 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> <h2>Convergenza</h2> La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jim9e3bbi6y339juop3h68rmjhz9fmh 286561 286560 2026-08-20T07:29:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) */ 286561 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ona1klaazbvgfrk3uccklhz0thzfwwv 286563 286561 2026-08-20T07:39:31Z Funzioni di correlazione 24136 286563 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> m95e9yzvsav9nb95u4jgewk93nypnlm 286564 286563 2026-08-20T07:41:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 */ 286564 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> a9ofyx2bq3k2d2rvvvhd2vleey5irpg 286568 286564 2026-08-20T08:01:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 */ 286568 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == ```text <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nnmbwfr29cl8xdkguoh0xsrir4a9ny9 286572 286568 2026-08-20T11:55:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 */ 286572 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^1/2 == ```text <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8ejekj4rl74z5hztuc1kehzpni2cxwj 286573 286572 2026-08-20T11:57:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^1/2 */ 286573 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^1/3 == ```text <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> qlmbv9ukdwz69wy234ig9dk2m1i7jg2 4 35656 286534 286167 2026-08-19T19:54:21Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 286534 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, '''(20 esercizi)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. sd385njf3drzf4mn4w0gq3vuf4ka33x 286535 286533 2026-08-20T06:03:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286535 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni binomiali delle funzioni trascendenti delle fourier '''(4 esercizi sulle funzioni binomiali)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. j4w8ri554exdsk1oawwncrxmq3x4zfj 286536 286535 2026-08-20T06:04:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286536 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni binomiali fourier '''(4 esercizi sulle funzioni binomiali)''' == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. al499g7q9sxc6mfca9ru3fnr0cpt0ky 286537 286536 2026-08-20T06:07:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286537 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni binomiali fourier =='''(10 esercizi sulle funzioni binomiali)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. emi1xtsgifnz92dylguxbom4yary3zz 286538 286537 2026-08-20T06:08:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* (10 esercizi sulle funzioni binomiali) */ 286538 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni binomiali fourier =='''(10 esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. cepx0mkk3i73a0bgzkzgfkobauswmw7 286539 286538 2026-08-20T06:14:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286539 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(10 esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. 4xbplwqpzexmtba383b0hj9iv20vsby 286540 286539 2026-08-20T06:15:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3) */ 286540 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(10 esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> (2 esercizi con le serie di Fourier) == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. 5bknjjna0w8yb3oqvwlwlc8lx7ldt6k 286541 286540 2026-08-20T06:17:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3) */ 286541 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(10 esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(2 esercizi con le serie di Fourier)''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. q54owxb7p4qak40l2vxo5e5dp4em1c9 286542 286541 2026-08-20T06:17:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* '(2 esercizi con le serie di Fourier) */ 286542 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(10 esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(2 esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. gt7n00yrmyzhvm85l2espst57j4yx2k 286543 286542 2026-08-20T06:19:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* (10 esercizi sulle funzioni trascendenti) */ 286543 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(2 esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. tm8fpafo56aw9gc0lji7xgx40idh6tj 286544 286543 2026-08-20T06:20:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* (2 esercizi con le serie di Fourier) */ 286544 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(11° esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. pt3efqum535la2b405vjot5k80bhono 286545 286544 2026-08-20T06:21:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* (11° esercizi con le serie di Fourier) */ 286545 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. 3alyfrjvgg04ivq3frvvyfwff1k8tju 286546 286545 2026-08-20T06:24:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286546 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. 9n1s6sqxm6pau26m6xr4i94dryzjptz 286562 286546 2026-08-20T07:32:27Z Funzioni di correlazione 24136 286562 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` i2vr9vj9l8aezf4n3ivklma3fcsm7ez 286565 286562 2026-08-20T07:50:19Z Funzioni di correlazione 24136 286565 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> ` flny3vn7dlhbwl4tb9epz3zfhurm2d4 286566 286565 2026-08-20T07:55:20Z Funzioni di correlazione 24136 286566 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> ` j3q77d3l0o8q6msb1aphbjclaayoscl 286567 286566 2026-08-20T07:58:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 */ 286567 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^ (-1/3)== ` 6y4zfhvdtbvrj8v5fau7yc67xakpaht 286569 286567 2026-08-20T08:04:37Z Funzioni di correlazione 24136 286569 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == ```text <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` kp66kbh7yybmu33v81du1nsi9dru8xc 286570 286569 2026-08-20T08:05:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 */ 286570 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare, Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` jdrmld3hspui9p981rt3h6p6470pglu 286571 286570 2026-08-20T08:10:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286571 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> ``` lj0u6hh2plkhcnkyvwssrxl76fkobct