Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 4935 286594 225979 2026-08-20T17:43:53Z Fantascienziato 46877 /* Che cosa sono i nomi a dominio */ Typo 286594 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Diritto della proprietà intellettuale}} Uno studio della disciplina giuridica di una nuova categoria di ''proprietà intellettuale'' e delle sue implicazioni con i marchi, quale sono i '''nomi a dominio''', implica un approccio interdisciplinare. ==Che cosa sono i ''nomi a dominio''== '''Domain Name System''' (spesso indicato con '''DNS''') è un servizio utilizzato per la risoluzione di nomi di [[host|host]] in [[w:Indirizzo IP|indirizzi IP]] e viceversa. Il servizio è realizzato tramite un [[w:database|database]] [[w:databse distribuito|distribuito]], costituito dai [[w:server|server]] DNS. Il nome DNS denota anche il protocollo che regola il funzionamento del servizio, i programmi che lo implementano, i [[server]] su cui questi girano, l'insieme di questi server che cooperano per fornire il servizio. I nomi DNS, o "nomi di dominio", sono una delle caratteristiche più visibili di [[w:Internet|Internet]]. C'è confusione in merito alla definizione dell'acronimo: la S spesso viene interpretata come ''service'', ma la definizione corretta è ''system''. L'operazione di convertire un nome in un indirizzo è detta '''risoluzione''' DNS, convertire un indirizzo IP in nome è detto '''risoluzione inversa'''. ==Motivazioni ed utilizzi== * La possibilità di attribuire un nome testuale facile da memorizzare a un server (ad esempio un sito [[w:world wide web|world wide web]]) migliora di molto l'uso del servizio, in quanto gli esseri umani trovano più facile ricordare nomi testuali (mentre gli host e i [[w:router|router]] sono raggiungibili utilizzando gli indirizzi IP numerici). Per questo, il DNS è fondamentale per l'ampia diffusione di internet anche tra utenti non tecnici, ed è una delle sue caratteristiche più visibili. * È possibile attribuire più nomi allo stesso indirizzo IP (o viceversa) per rappresentare diversi servizi o funzioni forniti da uno stesso host (o più host che erogano lo stesso servizio. Questa '''flessibilità''' risulta utile in molti casi: ** Nel caso il server debba sostituire il server che ospita un servizio, o si debba modificare il suo indirizzo IP, è sufficiente modificare il record DNS, senza dover intervenire sui client. ** Un utilizzo molto popolare di questa possibilità è il cosiddetto [[w:virtual host|virtual hosting]] basato sui nomi, una tecnica per cui un [[web server]] dotato di una singola interfaccia di rete e di singolo indirizzo IP può ospitare più siti web, usando l'indirizzo alfanumerico trasmesso nell'header [[w:HTTP|HTTP]] per identificare il sito per cui viene fatta la richiesta. ** Utilizzando nomi diversi per riferirsi ai diversi servizi erogati da un host, è possibile spostare una parte dei servizi su un altro host, e spostare i client su questo nuovo host modificando il suo record nel DNS. ** Facendo corrispondere più indirizzi IP a un nome, il carico dei client viene distribuito su diversi server, ottenendo un aumento delle prestazioni complessive del servizio e una tolleranza ai guasti (ma è necessario assicurarsi che i diversi server siano sempre allineati, ovvero offrano esattamente lo stesso servizio ai client). * La risoluzione inversa è utile per identificare l'identità di un host, o per leggere il risultato di un [[traceroute]]. * Il DNS viene usato da numerose tecnologie in modo poco visibile agli utenti, per organizzare le informazioni necessarie al funzionamento del servizio. ==Storia== [[Immagine:Domain name space.svg|right|thumb|400px|]] Il DNS fu ideato il [[23 giugno]] [[1983]] da [[Paul Mockapetris]], [[Jon Postel]] e [[Craig Partrige]]; le specifiche originali sono descritte nello standard [[Request for Comments|RFC]] 882. Nel [[1987]] vennero pubblicati commenti allo standard RFC del DNS, con i nomi RFC 1034 e RFC 1035 rendendo obsolete le specifiche precedenti. ==Nomi DNS== Un nome a dominio è costituito da una serie di stringhe separate da punti, ad esempio ''it.wikipedia.org''. A differenza degli indirizzi IP, dove la parte più importante del numero è la prima partendo da sinistra, in un nome DNS la parte più importante è la prima partendo da destra. Questa è detta [[dominio di primo livello]] (o TLD, ''Top Level Domain''), per esempio <code>[[.org]]</code> o <code>[[.it]]</code>. Un [[w:dominio di secondo livello|dominio di secondo livello]] consiste in due parti, per esempio <code>wikipedia.org</code>, e così via. Ogni ulteriore elemento specifica un'ulteriore suddivisione. Quando un dominio di secondo livello viene registrato all'assegnatario, questo è autorizzato a usare i nomi di dominio relativi ai successivi livelli come <code>'''it'''.wikipedia.org</code> (dominio di terzo livello) e altri come <code>some.other.stuff.wikipedia.org</code> (dominio di quinto livello) e così via. ==Record DNS== ===Tipologie di record=== [[Immagine:An example of theoretical DNS recursion.svg|right|thumb|400px|]] Ad un nome DNS possono corrispondere diversi tipi di informazioni. Per questo motivo, esistono diversi [[tipo di dato|tipi]] di record DNS. Ogni voce del database DNS deve essere caratterizzata da un tipo. I principali tipi sono: * Il più comune è il cosiddetto record "A", che indica la corrispondenza tra un nome ed uno (o più) indirizzi IP (per la precisione indirizzi [[IPv4]], ovvero la versione attualmente in uso). * I record di tipo "MX" (''Mail eXchange'') indicano a quali server debba essere inviata la [[posta elettronica]] per un certo dominio. * I record di tipo "CNAME" sono usati per creare un alias, ovvero per fare in modo che lo stesso calcolatore sia noto con più nomi. Lo scopo principale di tale record è quello di poter dare dei nomi a dei servizi, così da poter raggiungere il servizio stesso senza dover per forza conoscere la macchina (il suo nome od il suo indirizzo IP) sulla quale è ospitato. * Il DNS viene utilizzato anche per realizzare la [[risoluzione inversa]], ovvero per far corrispondere ad un indirizzo IP il corrispondente nome a dominio. Per questo si usano i record di tipo "PTR" (e una apposita zona dello spazio dei nomi ''in-addr.arpa''). * Gli indirizzi [[IPv6]] sono registrati con record di tipo "AAAA" (questo richiama che un indirizzo IPv6 è 4 volte più lungo di un indirizzo IPv4). * I record di tipo "SRV" servono ad identificare il server per un determinato servizio all'interno di un dominio. Possono essere considerati una generalizzazione dei record MX. Vi sono anche tipi di record "di servizio", necessari al funzionamento del database distribuito: * I record "NS" (''Name Server'') sono utilizzati per indicare quali siano i server DNS autoritativi per un certo dominio, ovvero per delegarne la gestione. * I record "SOA" (''Start of Authority'') sono usati per la gestione delle zone DNS. Nel DNS possono essere immessi altri tipi di record, alcuni folcloristici, come "LOC", usato (poco) per riportare le coordinate geografiche di un sito, altri aggiungono funzioni di sicurezza per evitare manomissioni. ===Record multipli=== Ad uno stesso nome di dominio, possono essere associati contemporaneamente record di tipo diverso, o più record dello stesso tipo. Questo generalmente viene fatto per suddividere il carico di un [[server]] molto frequentato su più computer che offrono lo stesso servizio. ===Time to live=== [[Immagine:DNS in the real world.svg|right|thumb|400px|]] I record associati ad un nome di dominio possono cambiare nel tempo, permettendo ad esempio di assegnare un nuovo indirizzo IP ad un server, facendo in modo che questo continui a rispondere al nome già noto agli utenti. A ciascun record DNS è associato un parametro detto "time to live" o TTL (tempo di vita), che indica per quanto tempo questo record può venire memorizzato in un sistema di [[cache]] DNS prima che venga considerato scaduto. Quando un server risponde ad una richiesta con un record preso dalla propria cache, assegna alla risposta il time to live residuo del record. Quindi se il record originalmente ha un TTL di 12 ore, e un server risponde ad una richiesta con un dato che ha ottenuto due ore prima, nella risposta metterà un TTL di 10 ore. ==Utilizzo dei nomi DNS== Un nome di dominio, come per esempio ''it.wikipedia.org'', può essere parte di un [[Uniform Resource Locator|URL]], come <nowiki>http://it.wikipedia.org/wiki/Treno</nowiki>, o di un indirizzo [[w:e-mail|e-mail]], come per esempio ''apache@it.wikipedia.org''. Questi sono gli strumenti più utilizzati per identificare una risorsa su Internet, il che spiega la pervasività dei nomi di dominio. Molti nomi di dominio utilizzati per server [[web]] hanno nella parte sinistra la stringa di caratteri "www", ma non è sempre necessario averla. In molti casi, ma non sempre, il nome privato del prefisso "www." porta comunque alla stessa pagina, come per esempio "ns.nl" e "www.ns.nl". Il nome di dominio più breve (e di conseguenza l'URL più breve) è p.ro. == Realizzazione == I DNS implementano uno spazio dei nomi gerarchico, per permettere che parti di uno spazio dei nomi, conosciute come "zone", possano essere delegate da un [[name server]] ad un altro name server che si trova più in basso nella gerarchia. I nomi di dominio sono soggetti a determinate restrizioni: per esempio ogni parte del nome (quella cioè limitata dai punti nel nome) non può superare i 63 caratteri e il nome complessivo non può superare i 255 caratteri. I nomi di dominio sono anche limitati ad un sottoinsieme di caratteri [[ASCII]]; in questo modo si impedisce di scrivere nomi e parole con caratteri che non tutti hanno sulla propria tastiera. Per superare questa limitazione, il sistema di [[Applicazione Internazionale dei Nomi di Dominio|IDNA]] e basato sul modello [[Punycode]], rileva stringhe [[Unicode]] in un insieme di caratteri DNS validi, venne approvato dall'[[ICANN]] e adottato da alcuni [[registri di nomi di dominio|registri]]. === Zone, deleghe e repliche === Una '''zona''' DNS è una parte dello spazio dei nomi, costituita da un dominio e i suoi sottodomini che non sono a loro volta delegati, che è sotto una stessa gestione amministrativa e quindi è gestita da uno o più server. La gestione di una zona è '''delegata''' dalla zona superiore tramite dei record di tipo NS. Ad esempio, nella zona [[.org]] ci sarà una delega per la zona ''wikipedia.org'' ai server DNS che la gestiscono. Per ragioni di ridondanza, ciascuna zona è '''replicata''' su più server, e di conseguenza la delega è costituita da più record NS, che indicano che ciascuno dei server indicati contiene le informazioni per quella zona (ovvero è '''autoritativo''' per la zona). All'interno di una zona possono essere delegate delle zone di livello inferiore, ad esempio in ''wikipedia.org'' potrebbero esistere deleghe per ''devel.wikipedia.org'' o per ''accounting.admin.wikipedia.org''. I diversi server che sono delegati per una zona dovrebbero contenere le stesse informazioni, in modo che uno qualsiasi di questi possa rispondere ad una query per un record della zona. Lo schema di replica tipicamente prevede che ci sia un server ''master'' (primario), che è quello sul quale vengono aggiornate le informazioni, e uno o più server ''slave'' (secondari), che copiano le informazioni dal master quando necessario. Per tener traccia delle diverse "versioni" di una zona che possono esserci in circolazione, ed in particolare per permettere ad un secondario di decidere se deve trasferire la zona dal primario, ogni zona ha un numero di serie, che deve essere aumentato ogni volta che vengono fatte modifiche sul primario. Per ottenere il numero di serie di una zona presente su un server, si effettua una interrogazione di tipo SOA. Il secondario confronta il proprio numero di serie con quello del primario, e se quello del primario è superiore trasferisce la zona. L'operazione di copia di tutti i record di una zona dal master ad uno slave è detta ''zone transfer'', e può essere completo (tutto il contenuto della zona viene copiato) o incrementale (vengono copiati solo i record modificati rispetto alla versione già presente. Alcune implementazioni di DNS permettono di modificare le zone da qualsiasi server autoritativo, propagando le modifiche sugli altri server. La radice (root) dell'albero dei nomi DNS è la zona . (punto), che è gestita da un insieme di server chiamati appunto [[Root nameserver|root servers]]. === Ricorsione === In generale, per ottenere la risoluzione di un nome è necessario partire dalla radice, interrogare uno dei root server nel dominio di primo livello, ottenere il server che lo gestisce, interrogarlo nel dominio di secondo livello, fino a raggiungere il server autoritativo per il nome desiderato. Questa tecnica è detta "ricorsione". === Caching === Alcuni server si prestano ad effettuare query ricorsive per conto di alcuni client. Una volta che hanno ottenuto una risposta, memorizzano in una [[cache]] tutte le informazioni che hanno imparato, fino alla loro scadenza. Alcune implementazioni del servizio DNS permettono di realizzare i cosiddetti servers ''caching only'', ovvero privi di database proprio, ma utili per reindirizzare ad un server autoritativo le query di risoluzione. Tale caratteristica è utile soprattutto quando la risoluzione deve essere effettuata attraverso collegamenti lenti (con velocità inferiore a 500 kbps) o [[firewall]]. ===Funzioni dei server=== Un server DNS può essere configurato per assolvere ad una o più delle seguenti funzioni: * '''server autoritativo''' per una o più zone, ovvero il server su cui sono configurati i dati di una zona, e che è delegato a gestirla tramite record NS inseriti nella zona superiore. Normalmente sono presenti più server autoritativi per una zona. Molte implementazioni permettono di modificare i dati di una zona solo su un server: ** '''primario''' - server autoritativo su cui vengono modificati i dati di una zona ** '''secondario''' - server autoritativo che copia i dati di zona da un primario * '''server ricorsivo''' - il server che viene configurato in una popolazione di client, che si occupa di risolvere le query che riceve interrogando i server originali, e mantenendo una [[cache]] delle risposte ricevute ** '''query forwarder''' - un server che viene configurato in una popolazione di client, che risolve le loro query non direttamente ma interrogando un server ricorsivo ===Origine dei dati=== I dati contenuti in una zona possono essere configurati da uno o più operatori, oppure possono essere alimentati da meccanismi automatici: * nelle implementazioni più semplici, i dati di zona sono memorizzati in uno o più '''[[file]]''' sul server primario * implementazioni più raffinate immagazzinano i dati in un '''[[database]]'''. In alcuni casi, questo è accessibile non solo agli operatori del servizio ma anche direttamente ai clienti (è il caso dei servizi DNS commerciali) ==== DNS dinamico ==== Il termine DNS dinamico, o DDNS, indica un insieme di tecnologie che permettono di inserire automaticamente in una zona DNS gli indirizzi di calcolatori che ottengono un indirizzo non predefinito, tipicamente attraverso il protocollo [[DHCP]] o [[Point-to-Point Protocol|PPP]]. A questo scopo, sono definite query DNS di "UPDATE". In una rete locale, questa funzionalità può essere utilizzata direttamente dai client, è presente nei servizi [[Active Directory]] di [[windows]], o può essere configurata usando BIND e il server DHCP di [[Internet Systems Consortium]] (ISC). Il DDNS viene inoltre utilizzato da servizi commerciali per permettere agli utenti dial-up (modem, [[ADSL]]) di registrare un nome corrispondente all'indirizzo che viene loro assegnato di volta in volta dal loro provider. In questo modo, un host con indirizzo IP dinamico è sempre raggiungibile. Esistono client DDNS sia sotto forma di applicazioni che all'interno di [[router]] destinati al mercato domestico. == Utilizzo == Per utilizzare il servizio, è necessario configurare su ciascun client uno o più server DNS di riferimento. Questi sono predisposti a effettuare query ricorsive e che effettuano servizi di caching. Quando un sistema ha la necessità di comunicare con un altro sistema, chiede al server DNS di riferimento di effettuare il processo detto di "risoluzione" del nome in un indirizzo IP. Il server effettua una ricerca all'interno del suo database per ottenere l'indirizzo IP corrispondente al sistema ricercato. Se il server interrogato possiede l'informazione richiesta, il processo di ricerca termina con l'invio dell'indirizzo IP al richiedente. Se la ricerca ha esito negativo il server effettua una richiesta "ricorsiva". == Implementazione == Il [[Protocollo di rete|protocollo]] DNS è implementato da diversi [[software]]. Di seguito alcuni dei più diffusi: * [[BIND]] (Berkeley Internet Name Domain), il nome del più comune [[Demone (informatica)|demone]] DNS usato sui sistemi [[Unix]]. * [[DJBDNS]] (Dan J Bernstein's DNS implementation) * [[MaraDNS]] * [[NSD]] (Name Server Daemon) * [[PowerDNS]] * DDNS (Dynamic Domain Name System) Il servizio DNS alla base dei servizi di directory [[Microsoft]] incluso nelle versioni server da [[Windows 2000]] in poi. Il DNS utilizza il protocollo di trasporto [[User Datagram Protocol|UDP]] e la [[porta (reti)|porta]] 53 per soddisfare le richieste di risoluzione provenienti dagli host. I server DNS effettuano gli zone transfer usando il protocollo di trasporto [[Transmission Control Protocol|TCP]] e la porta 53. Questa porta viene usata anche quando una query ha una risposta molto lunga. Il lato client del servizio DNS è normalmente implementato tramite librerie di sistema, che spesso lo integrano con altri servizi di risoluzione, come ad esempio [[WINS]], [[NIS]], o con la consultazione di file locali, in modo che un utente possa utilizzare un nome simbolico in un'applicazione ed ottenere la sua risoluzione in un indirizzo IP senza preoccuparsi di quale strumento è stato utilizzato per ottenere la risoluzione. == Il sistema DNS in Internet== Qualsiasi rete [[Internet Protocol|IP]] può usare il DNS per implementare un suo sistema di nomi privato. Tuttavia, il termine "nome di dominio" è più comunemente utilizzato quando esso si riferisce al sistema pubblico dei DNS su Internet. Questo è basato su 13 "root server" universali, i cui indirizzi IP sono distribuiti indipendentemente dal DNS tramite un file detto "root hints" (letteralmente: indizi per la radice). Da questi server principali, il DNS viene poi delegato ad altri server DNS che si occupano dei nomi all'interno di parti specifiche dello spazio dei nomi DNS. Dieci dei tredici root server sono, almeno nominalmente, situati negli [[Stati Uniti d'America|USA]]. Tuttavia, dato l'accesso a molti di essi è realizzato tramite indirizzamento [[anycast]], che permette di assegnare a più computer lo stesso indirizzo IP per fornire un servizio uniforme su vaste aree geografiche, la maggior parte dei server sono in effetti localizzati al di fuori degli Stati Uniti. Il proprietario di un nome di dominio è rintracciabile in un database chiamato [[Whois]]: per molti domini di primo livello un Whois base è gestito dalla [[IANA]], con il Whois dettagliato mantenuto dall'autorità di registrazione che controlla quel dominio. Per i più di 240 domini nazionali l'autorità di registrazione gestisce in esclusiva il Whois per il dominio di competenza. == Politica == L'attuale modalità di controllo del sistema DNS offre spesso alcune criticità. Il problema più comune è l'abuso monopolistico da parte di grosse società maintainer, come ad esempio l'americana [[VeriSign|VeriSign, Inc.]]. == Voci correlate == * [[w:Cybersquatting|Squatting (su Wikipedia)]] * [[Dynamic DNS]] * [[ICANN]] * [[DNSSEC]] * [[nslookup]] * [[pagina web]] * [[sito web]] {{ip}} ==Collegamenti esterni== * [http://www.dnssec.net/ DNS Security Extensions (DNSSEC)] * [http://www.root-servers.org/ root-servers.org] * RFC 882 * RFC 883 * RFC 1034 * RFC 1035 * [http://www.giuseppesicari.it/articoli/framework-dot-net/domain-name-system Accesso alle funzioni DNS in .NET] mo32a8t4xcc2p6wwli7u5c7slm8hkuj 2 34010 286574 286573 2026-08-20T12:00:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^1/3 */ 286574 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> g3a7yif9gqzz1n9j7nwuqq0i9k7it72 286575 286574 2026-08-20T12:07:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/3 */ 286575 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1vz1kcf76k3n9bc4m09i6om0w30qbg6 286576 286575 2026-08-20T12:09:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 */ 286576 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gcre70zoqceou7ceb3d4kdz6tg7cohj 286578 286576 2026-08-20T12:19:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 */ 286578 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> feu6ezz2xa91uqv20a3pvyox70q6t0n 286582 286578 2026-08-20T13:15:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 */ 286582 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 15° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> s0ysvovzwvr0jxbrykph4amtp51np5l 286587 286582 2026-08-20T13:33:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) */ 286587 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica di -ln ( 1-x ) == Sviluppo in serie di <math>-ln(1-x)</math>: <math>-ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}+\cdots</math> I primi 6 addendi sono: <math>x</math> <math>\frac{x^2}{2}</math> <math>\frac{x^3}{3}</math> <math>\frac{x^4}{4}</math> <math>\frac{x^5}{5}</math> <math>\frac{x^6}{6}</math> Quindi, come insieme di addendi: <math>\left{x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\frac{x^4}{4},\frac{x^5}{5},\frac{x^6}{6}\right}</math> La serie generale è: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> Per stabilire la convergenza si applica il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n}{n+1}=|x|</math> Pertanto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Per gli estremi: <math>x=1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> Questa è la serie armonica e diverge. <math>x=-1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math> Questa è una serie armonica alternata e converge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>[-1,1)</math> La serie rappresenta la funzione: <math>-ln(1-x)</math> per: <math>-1\leq x<1</math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lwoqpg64rxkmuu9s6giqjgk3w9y9i7m 286588 286587 2026-08-20T13:37:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica di -ln ( 1-x ) */ 286588 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == Sviluppo in serie di <math>-ln(1-x)</math>: <math>-ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}+\cdots</math> I primi 6 addendi sono: <math>x</math> <math>\frac{x^2}{2}</math> <math>\frac{x^3}{3}</math> <math>\frac{x^4}{4}</math> <math>\frac{x^5}{5}</math> <math>\frac{x^6}{6}</math> Quindi, come insieme di addendi: <math>\left{x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\frac{x^4}{4},\frac{x^5}{5},\frac{x^6}{6}\right}</math> La serie generale è: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> Per stabilire la convergenza si applica il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n}{n+1}=|x|</math> Pertanto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Per gli estremi: <math>x=1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> Questa è la serie armonica e diverge. <math>x=-1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math> Questa è una serie armonica alternata e converge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>[-1,1)</math> La serie rappresenta la funzione: <math>-ln(1-x)</math> per: <math>-1\leq x<1</math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 5ug6hgbfcr2jt5firhqva4mwlga91ly 286589 286588 2026-08-20T13:41:54Z Funzioni di correlazione 24136 286589 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == Sviluppo in serie di <math>-ln(1-x)</math>: <math>-ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}+\cdots</math> I primi 6 addendi sono: <math>x</math> <math>\frac{x^2}{2}</math> <math>\frac{x^3}{3}</math> <math>\frac{x^4}{4}</math> <math>\frac{x^5}{5}</math> <math>\frac{x^6}{6}</math> Quindi, come insieme di addendi: <math>\left\}{x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\frac{x^4}{4},\frac{x^5}{5},\frac{x^6}{6}\right}</math> La serie generale è: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> Per stabilire la convergenza si applica il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n}{n+1}=|x|</math> Pertanto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Per gli estremi: <math>x=1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> Questa è la serie armonica e diverge. <math>x=-1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math> Questa è una serie armonica alternata e converge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>[-1,1)</math> La serie rappresenta la funzione: <math>-ln(1-x)</math> per: <math>-1\leq x<1</math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> krg58abm3ye8e6lp2hm47u8g3mq66l5 286590 286589 2026-08-20T13:43:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) */ 286590 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == Sviluppo in serie di <math>-ln(1-x)</math>: <math>-ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}+\cdots</math> I primi 6 addendi sono: <math>x</math> <math>\frac{x^2}{2}</math> <math>\frac{x^3}{3}</math> <math>\frac{x^4}{4}</math> <math>\frac{x^5}{5}</math> <math>\frac{x^6}{6}</math> Quindi, come insieme di addendi: <math>\left\x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\frac{x^4}{4},\frac{x^5}{5},\frac{x^6}{6}\right}</math> La serie generale è: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> Per stabilire la convergenza si applica il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{n}{n+1}=|x|</math> Pertanto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Per gli estremi: <math>x=1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> Questa è la serie armonica e diverge. <math>x=-1:\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}</math> Questa è una serie armonica alternata e converge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>[-1,1)</math> La serie rappresenta la funzione: <math>-ln(1-x)</math> per: <math>-1\leq x<1</math> ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> sibp6atquofpri7hir7w3loj04ky8j4 286591 286590 2026-08-20T13:47:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) */ 286591 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> c1rpa76g8v4v8ejt2nyf2chbbco46er 286595 286591 2026-08-21T08:21:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) */ 286595 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == Certo. Interpreto “serie ipergeometrica” come **serie geometrica**. Ecco un esempio completo, in formato grezzo per Wikipedia, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`. Una serie geometrica è una serie nella quale ogni termine, a partire dal secondo, si ottiene moltiplicando il termine precedente per una costante <math>q</math>, detta ragione della serie. Consideriamo la serie geometrica con primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>q=\frac{1}{2}</math>. I primi cinque addendi sono: <math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}</math> La serie può essere scritta come insieme di addendi: <math>\left{1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots\right}</math> oppure, in forma generale: <math>\left{a q^n\mid n\in\mathbb{N}\right}</math> Nel nostro caso: <math>\left{\left(\frac{1}{2}\right)^n\mid n\in\mathbb{N}\right}</math> La somma dei primi cinque addendi è: <math>S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}</math> <math>S_5=\frac{16}{16}+\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}</math> <math>S_5=\frac{31}{16}</math> <math>S_5=1{,}9375</math> La somma dei primi <math>n</math> termini di una serie geometrica è: <math>S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}</math> Nel caso considerato: <math>S_n=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}</math> <math>S_n=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)</math> Per stabilire se la serie converge, si considera il valore assoluto della ragione: <math>|q|=\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1</math> Poiché <math>|q|<1</math>, la serie geometrica converge. La somma della serie infinita è: <math>S=\frac{a}{1-q}</math> Sostituendo <math>a=1</math> e <math>q=\frac{1}{2}</math>: <math>S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}</math> <math>S=2</math> Quindi: <math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots=2</math> La serie è dunque convergente e la sua somma è <math>2</math>. ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 50sy4kr6031lxlnoa263raknwyz4w9a 286596 286595 2026-08-21T08:25:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) */ 286596 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==1° Sviluppo serie aritmetiche== == ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> t3tajh6u3n1w4y4rq9t80eur8fv3yoy 286597 286596 2026-08-21T08:37:19Z Funzioni di correlazione 24136 286597 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7…== xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> qfhkceta7pzq89pkbznabrhnbtyenuo 286598 286597 2026-08-21T08:39:23Z Funzioni di correlazione 24136 286598 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7…== ```text Titolo: Calcolo di <math>e^{2.7}</math> mediante serie di Taylor La serie di Taylor dell'esponenziale è <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> Ponendo <math>x=2.7</math> si ottiene <math>e^{2.7}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2.7^n}{n!}</math> I primi 5 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4</math>, sono <math>\frac{2.7^0}{0!}=1</math> <math>\frac{2.7^1}{1!}=2.7</math> <math>\frac{2.7^2}{2!}=\frac{7.29}{2}=3.645</math> <math>\frac{2.7^3}{3!}=\frac{19.683}{6}=3.2805</math> <math>\frac{2.7^4}{4!}=\frac{53.1441}{24}=2.2143375</math> La serie scritta come insieme di addendi è <math>\{1,\;2.7,\;3.645,\;3.2805,\;2.2143375,\;\ldots\}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>S_5=1+2.7+3.645+3.2805+2.2143375</math> <math>S_5=12.8398375</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, si ottiene l'approssimazione <math>e^{2.7}\approx12.8398375</math> La serie completa converge. Infatti, considerando il rapporto tra due termini consecutivi, <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2.7}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{2.7}{n+1}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. La sua somma esatta è <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2.7^n}{n!}=e^{2.7}</math> e numericamente <math>e^{2.7}\approx14.879731724872837</math> Pertanto la serie converge a <math>e^{2.7}</math>, mentre la somma dei soli primi 5 addendi è <math>12.8398375</math>. ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mt6ayu20pzv6nnbtiqjpf50jc3t4eym 286599 286598 2026-08-21T08:40:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… */ 286599 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7…== Calcolo di <math>e </math> mediante serie di Taylor La serie di Taylor dell'esponenziale è <math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> Ponendo <math>x=2.7</math> si ottiene <math>e^{2.7}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2.7^n}{n!}</math> I primi 5 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4</math>, sono <math>\frac{2.7^0}{0!}=1</math> <math>\frac{2.7^1}{1!}=2.7</math> <math>\frac{2.7^2}{2!}=\frac{7.29}{2}=3.645</math> <math>\frac{2.7^3}{3!}=\frac{19.683}{6}=3.2805</math> <math>\frac{2.7^4}{4!}=\frac{53.1441}{24}=2.2143375</math> La serie scritta come insieme di addendi è <math>\{1,\;2.7,\;3.645,\;3.2805,\;2.2143375,\;\ldots\}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>S_5=1+2.7+3.645+3.2805+2.2143375</math> <math>S_5=12.8398375</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, si ottiene l'approssimazione <math>e^{2.7}\approx12.8398375</math> La serie completa converge. Infatti, considerando il rapporto tra due termini consecutivi, <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2.7}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{2.7}{n+1}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. La sua somma esatta è <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2.7^n}{n!}=e^{2.7}</math> e numericamente <math>e^{2.7}\approx14.879731724872837</math> Pertanto la serie converge a <math>e^{2.7}</math>, mentre la somma dei soli primi 5 addendi è <math>12.8398375</math>. ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> oi55xm2q4i9qt1b8juz8vvipcnvtgoj 286600 286599 2026-08-21T08:48:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… */ 286600 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4</math>, sono: <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Come insieme di addendi: <math>\left{\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\frac{1}{4!}\right}</math> Sostituendo i fattoriali: <math>\left{1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{24}\right}</math> Somma dei primi 5 addendi: <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2,708333333\ldots</math> Quindi, con i primi 5 addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>e\approx2,708333333\ldots</math> Il valore del numero di Nepero è: <math>e\approx2,718281828\ldots</math> La serie converge perché i suoi termini diventano sempre più piccoli e, in particolare, il rapporto tra due termini consecutivi è: <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di 1, per il criterio del rapporto la serie converge. In conclusione: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> <math>e=2,718281828\ldots</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nbpzivdqoo3rgt8u0bnxygjd706z6tl 286601 286600 2026-08-21T08:50:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero) */ 286601 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi cinque addendi della serie sono: <math>1,\quad 1,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{6},\quad \frac{1}{24}</math> Quindi la serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>\left{1,\ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{24},\ldots\right}</math> La somma dei primi cinque addendi è: <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}\approx2{,}708333333</math> Pertanto, usando solo i primi cinque addendi, otteniamo un'approssimazione di <math>e</math> pari a circa <math>2{,}70833</math>. La serie converge perché è una serie esponenziale: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> Infatti, il rapporto tra due termini consecutivi è: <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, il criterio del rapporto stabilisce che la serie converge. La somma della serie è il numero di Nepero: <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\approx2{,}718281828459045</math> Quindi: <math>\boxed{\text{la serie converge e la sua somma è }e}</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> g0xxo3r3yt5irmxu6phxbkd4ld3v6dn 286602 286601 2026-08-21T08:54:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero) */ 286602 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Certo. Ho corretto anche il punto importante: per il numero di Nepero si usa la serie di Taylor <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> e i **primi 5 addendi**, contando da <math>n=0</math>, sono <math>1,1,\frac12,\frac16,\frac1{24}</math>. La loro somma è <math>2{,}708333\ldots</math>, quindi già approssima bene <math>e\approx2{,}71828</math>. == Calcolo del numero di Nepero == Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> q7jdf5x4e7qd89n8y0wqdwnciosxj15 286603 286602 2026-08-21T08:55:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero) */ 286603 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== == Calcolo del numero di Nepero == Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> iektqxlqbn4x1f1w11g6cc83l5idpln 286604 286603 2026-08-21T08:55:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo del numero di Nepero */ 286604 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9o39yzou12awshcgdpcagih3l42t1sb 286606 286604 2026-08-21T09:03:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero) */ 286606 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi 6 addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> Come insieme di addendi: <math>\left{4,,-\frac{4}{3},,\frac{4}{5},,-\frac{4}{7},,\frac{4}{9},,-\frac{4}{11}\right}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6\approx 2{,}9760461760</math> Quindi, usando i primi 6 addendi: <math>\pi\approx 2{,}9760461760</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0</math> Inoltre, i termini in valore assoluto sono decrescenti: <math>\frac{1}{2n+3}<\frac{1}{2n+1}</math> Per il criterio di Leibniz, la serie converge. La sua somma è: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> Pertanto: <math>\boxed{\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi}</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1xtxvtskj4uyn2x7scb7i1b9dorcamo 286607 286606 2026-08-21T09:05:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286607 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== Sì: c’è **un errore numerico** nella somma dei primi 6 addendi. La serie è corretta, ma [ 4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}\right) ] vale circa **(2{,}9760461760)**, quindi l’approssimazione a (\pi) è molto grossolana. Inoltre, la forma corretta dell’insieme è con le parentesi graffe senza le doppie virgole. Ecco il testo corretto: ## Serie di Leibniz La formula è: [ \pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} ] I primi 6 addendi della serie sono: [ 4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}\right) ] Come insieme di addendi: [ \left{4,-\frac43,\frac45,-\frac47,\frac49,-\frac4{11}\right} ] La somma dei primi 6 addendi è: [ S_6=4-\frac43+\frac45-\frac47+\frac49-\frac4{11} ] e numericamente: [ S_6\approx2{,}9760461760 ] Quindi, usando soltanto i primi 6 addendi, otteniamo: [ \pi\approx2{,}9760461760 ] Questa è però un'approssimazione poco precisa di (\pi), perché la serie converge molto lentamente. La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto tendono a zero: [ \lim_{n\to\infty}\frac1{2n+1}=0 ] Inoltre, i termini in valore assoluto sono decrescenti, infatti: [ \frac1{2n+3}<\frac1{2n+1} ] Pertanto, per il **criterio di Leibniz**, la serie converge. La sua somma è: [ 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi ] Pertanto: [ \boxed{\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi} ] == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gxm29vcpntdty3mbbum0zkouhrco4a2 286608 286607 2026-08-21T09:08:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286608 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4</math> <math>-\frac{4}{3}</math> <math>+\frac{4}{5}</math> <math>-\frac{4}{7}</math> <math>+\frac{4}{9}</math> <math>-\frac{4}{11}</math> La serie, considerata come insieme dei primi 6 addendi, è: <math>\left{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>=\frac{196}{66}</math> <math>=\frac{98}{33}</math> <math>\approx 2{,}9696969697</math> La serie completa è: <math>\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> Questa serie converge, perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto diminuiscono e tendono a zero. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> Per il criterio di Leibniz, la serie converge. La sua somma è proprio <math>\pi</math>: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> Quindi: <math>{\text{La serie converge a }\pi}</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> e3695287apy26g4k74zeuaq4y99424p 286609 286608 2026-08-21T09:12:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286609 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4</math> <math>-\frac{4}{3}</math> <math>+\frac{4}{5}</math> <math>-\frac{4}{7}</math> <math>+\frac{4}{9}</math> <math>-\frac{4}{11}</math> La serie, considerata come insieme dei primi 6 addendi, è: <math>\left\{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right\}</math>` Il problema specifico era **`\left{` → `\left\{`** e **`\right}` → `\right\}`**. <math>\left{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>=\frac{196}{66}</math> <math>=\frac{98}{33}</math> <math>\approx 2{,}9696969697</math> La serie completa è: <math>\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> Questa serie converge, perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto diminuiscono e tendono a zero. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> Per il criterio di Leibniz, la serie converge. La sua somma è proprio <math>\pi</math>: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> Quindi: <math>{\text{La serie converge a }\pi}</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 2oi0d37ktb3zpiwgw157tm4w1v9aw29 286610 286609 2026-08-21T09:13:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286610 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4</math> <math>-\frac{4}{3}</math> <math>+\frac{4}{5}</math> <math>-\frac{4}{7}</math> <math>+\frac{4}{9}</math> <math>-\frac{4}{11}</math> La serie, considerata come insieme dei primi 6 addendi, è: <math>\left\{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right\}</math>` <math>\left{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>=\frac{196}{66}</math> <math>=\frac{98}{33}</math> <math>\approx 2{,}9696969697</math> La serie completa è: <math>\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> Questa serie converge, perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto diminuiscono e tendono a zero. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> Per il criterio di Leibniz, la serie converge. La sua somma è proprio <math>\pi</math>: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> Quindi: <math>{\text{La serie converge a }\pi}</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lapi3lh915ubdqpaxnbp0q353wz6ah7 286611 286610 2026-08-21T09:16:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286611 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>\left{4,,-\frac{4}{3},,\frac{4}{5},,-\frac{4}{7},,\frac{4}{9},,-\frac{4}{11},,\ldots\right}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mi93w94vcm5aslno0atoyb4u20p2pme 286612 286611 2026-08-21T09:18:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286612 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>\left{4,,\frac{4}{3},,\frac{4}{5},,\frac{4}{7},,\frac{4}{9},,-\frac{4}{11},,\ldots\right}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hxljfprgqwjwed4lfpitymptb3gh5h1 286613 286612 2026-08-21T09:20:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286613 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: {{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, -frac{4}{11}, ldots right}} La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> tciy5nldfsxngpr2g6mw7jd1ex1x4oe 286614 286613 2026-08-21T09:23:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286614 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, -frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gag55tl9v83etw8y0vqbjm2xum08d4e 286615 286614 2026-08-21T09:24:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286615 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> r5sjpbhdnim7mao4ikj0mxsr63tkhd9 286616 286615 2026-08-21T09:25:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8^ \,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0 */ 286616 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ma6foroanzdfve91hsviu1q00getamk 286617 286616 2026-08-21T09:26:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286617 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> f30hswwws2oqoy9r0v2rf90w6kfthaf 286618 286617 2026-08-21T09:28:58Z Funzioni di correlazione 24136 286618 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} Certo. L’errore è dovuto alla sintassi LaTeX/MediaWiki corrotta: mancano i comandi con `\` e ci sono parentesi graffe in eccesso. Per una Wiki che supporta la sintassi matematica MediaWiki, usa questa versione: ```wiki <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> ``` Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 5j8h1ju1rwbs2x4209y2gcveg5ba8te 286619 286618 2026-08-21T09:30:38Z Funzioni di correlazione 24136 286619 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4jezlj3y0jcf599qd0yj62zioq33cpx 286620 286619 2026-08-21T09:31:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286620 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: <math>{{displaystyle left{4, frac{4}{3}, frac{4}{5}, frac{4}{7}, frac{4}{9}, frac{4}{11}, ldots right}}</math> La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> Certo. L’errore è dovuto alla sintassi LaTeX/MediaWiki corrotta: mancano i comandi con `\` e ci sono parentesi graffe in eccesso. Per una Wiki che supporta la sintassi matematica MediaWiki, usa questa versione: <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ln99ge1vqew78woslnfh17t10cn7aqc 286621 286620 2026-08-21T09:32:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286621 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> Certo. L’errore è dovuto alla sintassi LaTeX/MediaWiki corrotta: mancano i comandi con `\` e ci sono parentesi graffe in eccesso. Per una Wiki che supporta la sintassi matematica MediaWiki, usa questa versione: <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lt3dnoeyus6497wk4m7oua4edat6kw6 286622 286621 2026-08-21T09:34:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286622 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> p90ko1fb3gwz040l6b42cfmyaci6gpb 286623 286622 2026-08-21T09:36:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286623 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: <math>=\frac{32768}{11011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> q1ums4xri438wvs1y9oydy6q04d3rx9 286624 286623 2026-08-21T09:39:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286624 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: [ \left{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right} ] Se invece la tua Wiki utilizza direttamente `{{math|...}}`, posso adattare la sintassi esattamente a quel formato. ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: <math>=\frac{3.768}{1.1011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==9^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. ==8^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> j0sdj9svfhco6uce2j3wxtbqtnxqbrj 0 37789 286577 286571 2026-08-20T12:12:37Z Funzioni di correlazione 24136 286577 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. ``` c3yr4fsevdrgrgjqghbvh2ogd6o2nmq 286579 286577 2026-08-20T12:22:29Z Funzioni di correlazione 24136 286579 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 15° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> 3omcsbdbchyd3bmxfaq26bv7mdp6k3k 286580 286579 2026-08-20T12:24:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T */ 286580 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 15° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> q71b98yzji51otp5znkn2e7k4uw94mn 286581 286580 2026-08-20T12:25:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 */ 286581 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> 5aj2gksohj83pkt78fzhn676o20ojb5 286583 286581 2026-08-20T13:19:09Z Funzioni di correlazione 24136 286583 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> os8fnk3d9w0zkw1pmq8jjegd334b602 286584 286583 2026-08-20T13:20:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) */ 286584 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> pbny99kq3h5ew7bukjp0s6u1plb6toz 286585 286584 2026-08-20T13:20:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 ( 1-x ) */ 286585 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> g0tjuw1fldqblp5ouf15chgdot1akmv 286586 286585 2026-08-20T13:22:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286586 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> b6t35zgv4ky4n1a41juv1tf8ejv3srr 286592 286586 2026-08-20T13:49:04Z Funzioni di correlazione 24136 286592 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. b7r8cuhdigajsnjmf5cnb72yap3vjad 286593 286592 2026-08-20T13:51:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) */ 286593 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. fkzq70gruf24dm5o0cfd0okoeb3yqcb 286605 286593 2026-08-21T08:57:44Z Funzioni di correlazione 24136 286605 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> j4wie83aumjz4922p84ypeqnwxyrx1h 286625 286605 2026-08-21T09:41:07Z Funzioni di correlazione 24136 286625 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: <math>=\frac{3.768}{1.1011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> 6kjlc77eg6fng12g1ptcrtygluls03p 286626 286625 2026-08-21T09:45:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286626 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== Con soli 5 addendi l'errore di calcolo è elevato, al lettore l'invito ad apliare l'esercizio fino all'ottenimento di una buona precisione. <math>\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> I primi sei addendi della serie sono: <math>4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> La serie, scritta come insieme di addendi, è: La somma dei primi sei addendi è: <math>4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math> \left\{4,\frac{4}{3},\frac{4}{5},\frac{4}{7},\frac{4}{9},\frac{4}{11},\ldots\right\} </math> Il risultato visualizzato sarà: <math>=\frac{3.768}{1.1011}</math> <math>\approx 2{,}9760461767</math> Quindi, con i primi sei addendi, si ottiene l'approssimazione: <math>\pi\approx 2{,}9760461767</math> La serie converge perché è una serie alternata i cui termini in valore assoluto sono decrescenti e tendono a zero. Per il criterio di Leibniz, quindi, la serie converge. In particolare: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n+1}=0</math> e pertanto: <math>4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> 1mhzkuzddi25zsbvgolbqrymc7noajd