Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 286628 286624 2026-08-21T12:56:17Z Funzioni di correlazione 24136 286628 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: <math>\left{4,-\frac{4}{3},\frac{4}{5},-\frac{4}{7},\frac{4}{9},-\frac{4}{11}\right}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hf10wnezsh7lexlctjnq9ysg5lotc8l 286629 286628 2026-08-21T13:05:00Z Funzioni di correlazione 24136 286629 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 99mgqllzqn5udvdp4aw9nfmynw75u92 286638 286629 2026-08-21T14:33:05Z Funzioni di correlazione 24136 286638 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> l1t0oh7y4edvc8yuj4j603uf0yvdfzh 286644 286638 2026-08-22T07:54:02Z Funzioni di correlazione 24136 286644 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo probabilità== Problema In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. Si estraggono contemporaneamente due palline. Si vuole calcolare: A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; B) la probabilità di estrarre due palline bianche; C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> q8g3t9rwvxwwls8hujnexbktvil0d75 286645 286644 2026-08-22T08:00:46Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo probabilità */ 286645 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==1° esercizio== In grassetto il esto da copiare su IA '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> on5trhhd61uga6n16nef4n66xkckhf1 286646 286645 2026-08-22T08:03:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 286646 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> b7tr0qzlnxjwayptye05uwpxpm35zro 286658 286646 2026-08-22T08:41:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 286658 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> dfgynmm6k3cxm5r861wt6eiz5hebeu3 286659 286658 2026-08-22T08:41:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286659 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ryalegz2c9y6q7pklz0m5hnoaf2o5z9 286660 286659 2026-08-22T08:42:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle probabilità */ 286660 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 7gisoe5vlkwacy9gmyeo1m5cjysm9cq 286661 286660 2026-08-22T08:44:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286661 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ago4clku6nfsxk3fanbn21p2unpn6o7 286662 286661 2026-08-22T08:46:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286662 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> kggjrpe4j0j0zw24u81hagas81cei7i 286665 286662 2026-08-22T09:00:19Z Funzioni di correlazione 24136 286665 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==3° Esercizio== ```text <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 54cr88kh9lxxpf3agp7l046hsimoy2o 286666 286665 2026-08-22T09:02:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 286666 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> kem4mlaacpplejlubawn5lykb72ll56 286667 286666 2026-08-22T09:05:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 286667 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4cejre9j0kqxf2cbex8e8xpj9dn5rmb 286668 286667 2026-08-22T09:06:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° Esercizio */ 286668 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mu5r4sn2pko4lqm4ejqmhoqnnbe45yk 102 37619 286635 286351 2026-08-21T13:56:42Z Funzioni di correlazione 24136 286635 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 18 materie di matematica con più di 190 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] jgq3t3bbbd9pl2qo679hvfezvrgpedz 286647 286635 2026-08-22T08:06:34Z Funzioni di correlazione 24136 286647 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 18 materie di matematica con più di 190 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] [[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] erwlcu3vkgpv4hzx9er7kd784udnvzc 286648 286647 2026-08-22T08:07:30Z Funzioni di correlazione 24136 286648 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 19 materie di matematica con più di 190 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] mv7m1s7fxvy4v7jj0zm6cuvd71ovb64 0 37789 286627 286626 2026-08-21T12:50:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286627 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== he2p6xtvmfj24njz01i20eh14txjqak 286630 286627 2026-08-21T13:11:45Z Funzioni di correlazione 24136 286630 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. rewgelf23b7yul0cbj0sdvxtmc6u8tq 286631 286630 2026-08-21T13:18:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286631 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== nota (Dato che, come vedremo, con 6 addendi saremo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. 7tpn9r5z0at9pmeg3e4ykm5ap8swqcd 286632 286631 2026-08-21T13:20:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286632 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) pdtdr67ikpzpev1qf4hakr3psdhmres 286633 286632 2026-08-21T13:22:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286633 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) jnhjk9kt7qf821drq9n14x6qdbce29j 286634 286633 2026-08-21T13:24:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...) */ 286634 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) edcg8zkk70h4ns17bfeattr4ts045jg 286636 286634 2026-08-21T14:20:34Z Funzioni di correlazione 24136 286636 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: [[delle funzioni trascendenti|esercizi sulle funzioni trascendenti]] delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) t31m6lujytng2jmgoznsovi1sxroae8 286637 286636 2026-08-21T14:25:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286637 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) edcg8zkk70h4ns17bfeattr4ts045jg 286639 286637 2026-08-21T14:35:17Z Funzioni di correlazione 24136 286639 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni [[#miscelanea di funzioni|calcolo di 5]] La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) q3l04tyvpoqcpp2zkp611fql114fm6s 286640 286639 2026-08-21T14:37:05Z Funzioni di correlazione 24136 286640 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali [[miscelanea di funzioni| 2°]] La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) thmdamxqy7p53tqzfnxxuafb3y5ar39 286641 286640 2026-08-21T14:38:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286641 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali [[2°| miscelanea di funzioni]] La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) t6nz2jrryti154aspm02y5bbebbfg3z 286642 286641 2026-08-21T14:40:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286642 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali [2°| miscelanea di funzioni] La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) 9syu4yn79wcn84nnvtjmw2crkdswe70 286643 286642 2026-08-21T14:41:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* Premessa */ 286643 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) edcg8zkk70h4ns17bfeattr4ts045jg 0 37795 286649 2026-08-22T08:09:38Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità..." 286649 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> sra5umfqcvjew46b20dw1rbhp08jdgt 286650 286649 2026-08-22T08:10:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle probabilità */ 286650 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> mz0wu2w1a6fnnt5s48wz6smqrc5zr6n 286651 286650 2026-08-22T08:11:33Z Funzioni di correlazione 24136 286651 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> l3n73ibnk7bcyb7qt26z2bpdxhagksq 286652 286651 2026-08-22T08:12:21Z Funzioni di correlazione 24136 286652 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> 5aawkx9jrkt1g7hdaier25k519cbneg 286653 286652 2026-08-22T08:14:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 286653 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> cpfuldraglwvxi4tn3iph278dwagtch 286654 286653 2026-08-22T08:15:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 286654 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == Calcolo delle probabilità== ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. 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'''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> dknzosb4z7muw4wmdjw4qcvi9n7rmlw 286656 286655 2026-08-22T08:16:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286656 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: qmcmcpwp79ex0k2fc2g2j2xtmaxaien 286657 286656 2026-08-22T08:17:44Z Funzioni di correlazione 24136 286657 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: stl1hnjdhdais5v776e5b3ksr7nz2bg 286663 286657 2026-08-22T08:47:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286663 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> 1a4nxa8pq1zp2stc8nmmt1ti4c3mxgn 286664 286663 2026-08-22T08:47:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° Esercizio */ 286664 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> 0texhbrrvo6pc36uinhinqrrmldyifq 286669 286664 2026-08-22T09:07:02Z Funzioni di correlazione 24136 286669 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` cdo7ska0rugv8yw2xz9oft1nhimnklv