Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 286670 286668 2026-08-22T13:36:28Z Funzioni di correlazione 24136 286670 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== <math> V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> <math> V_p=3\ \mathrm{V} </math> Per un rumore gaussiano a media nulla, il valore RMS coincide con la deviazione standard della distribuzione: <math> \sigma=V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> La tensione istantanea <math>V</math> segue quindi una distribuzione normale: <math> V\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) </math> La densità di probabilità è: <math> p(V)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{V^2}{2\sigma^2}\right) </math> Vogliamo calcolare la frazione di tempo durante la quale l'ampiezza assoluta della tensione raggiunge almeno <math>3\ \mathrm{V}</math>: <math> |V|\geq 3\ \mathrm{V} </math> Normalizzando rispetto alla deviazione standard: <math> z=\frac{V}{\sigma} </math> si ottiene: <math> z=\frac{3\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{V}}=3 </math> Quindi il livello di interesse corrisponde a <math>3\sigma</math>. Per una distribuzione gaussiana standard, la probabilità che il valore superi <math>3\sigma</math> sul lato positivo è: <math> P(V\geq3\sigma)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Per <math>z=3</math>: <math> \Phi(3)\approx0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(V\geq3\sigma)=1-0.9986501 </math> <math> P(V\geq3\sigma)\approx0.0013499 </math> Espressa in percentuale: <math> P(V\geq3\sigma)\times100\approx0.13499\% </math> Se per "raggiunga livelli di ampiezza di 3 Vp" si intende il superamento in valore assoluto, cioè sia il picco positivo sia quello negativo, bisogna considerare entrambe le code della distribuzione: <math> P(|V|\geq3\sigma)=2P(V\geq3\sigma) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)=2(0.0013499) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)\approx0.0026998 </math> Convertendo in percentuale: <math> P(|V|\geq3\sigma)\times100\approx0.26998\% </math> Quindi, per un rumore gaussiano con <math>1\ \mathrm{V_{rms}}</math>, il livello di <math>3\ \mathrm{V}</math> corrisponde a <math>3\sigma</math>. Considerando sia i picchi positivi sia quelli negativi, la tensione supera in valore assoluto <math>3\ \mathrm{V}</math> per circa: <math> \boxed{0.27\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.0027 </math> oppure, in termini temporali, circa: <math> 0.0027\times1000=2.7 </math> millisecondi ogni secondo. Perciò il rumore supera <math>\pm3\ \mathrm{V}</math> per circa <math>2.7\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. Se invece si considera soltanto il superamento del livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>, la percentuale è la metà: <math> 0.135\% </math> ossia circa <math>1.35\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> riho2yzm0rrmwv5tnbchl50vfqptkzl 286671 286670 2026-08-22T13:40:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286671 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza di 3 Vp <math> V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> <math> V_p=3\ \mathrm{V} </math> Per un rumore gaussiano a media nulla, il valore RMS coincide con la deviazione standard della distribuzione: <math> \sigma=V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> La tensione istantanea <math>V</math> segue quindi una distribuzione normale: <math> V\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) </math> La densità di probabilità è: <math> p(V)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{V^2}{2\sigma^2}\right) </math> Vogliamo calcolare la frazione di tempo durante la quale l'ampiezza assoluta della tensione raggiunge almeno <math>3\ \mathrm{V}</math>: <math> |V|\geq 3\ \mathrm{V} </math> Normalizzando rispetto alla deviazione standard: <math> z=\frac{V}{\sigma} </math> si ottiene: <math> z=\frac{3\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{V}}=3 </math> Quindi il livello di interesse corrisponde a <math>3\sigma</math>. Per una distribuzione gaussiana standard, la probabilità che il valore superi <math>3\sigma</math> sul lato positivo è: <math> P(V\geq3\sigma)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Per <math>z=3</math>: <math> \Phi(3)\approx0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(V\geq3\sigma)=1-0.9986501 </math> <math> P(V\geq3\sigma)\approx0.0013499 </math> Espressa in percentuale: <math> P(V\geq3\sigma)\times100\approx0.13499\% </math> Se per "raggiunga livelli di ampiezza di 3 Vp" si intende il superamento in valore assoluto, cioè sia il picco positivo sia quello negativo, bisogna considerare entrambe le code della distribuzione: <math> P(|V|\geq3\sigma)=2P(V\geq3\sigma) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)=2(0.0013499) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)\approx0.0026998 </math> Convertendo in percentuale: <math> P(|V|\geq3\sigma)\times100\approx0.26998\% </math> Quindi, per un rumore gaussiano con <math>1\ \mathrm{V_{rms}}</math>, il livello di <math>3\ \mathrm{V}</math> corrisponde a <math>3\sigma</math>. Considerando sia i picchi positivi sia quelli negativi, la tensione supera in valore assoluto <math>3\ \mathrm{V}</math> per circa: <math> \boxed{0.27\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.0027 </math> oppure, in termini temporali, circa: <math> 0.0027\times1000=2.7 </math> millisecondi ogni secondo. Perciò il rumore supera <math>\pm3\ \mathrm{V}</math> per circa <math>2.7\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. Se invece si considera soltanto il superamento del livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>, la percentuale è la metà: <math> 0.135\% </math> ossia circa <math>1.35\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 273s3eurn12a3bhksziptb580wmktbn 286672 286671 2026-08-22T13:42:47Z Funzioni di correlazione 24136 286672 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza di 3 Vp <math> V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> <math> V_p=3\ \mathrm{V} </math> Per un rumore gaussiano a media nulla, il valore RMS coincide con la deviazione standard della distribuzione: <math> \sigma=V_{\mathrm{rms}}=1\ \mathrm{V} </math> La tensione istantanea <math>V</math> segue quindi una distribuzione normale: <math> V\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) </math> La densità di probabilità è: <math> p(V)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{V^2}{2\sigma^2}\right) </math> Vogliamo calcolare la frazione di tempo durante la quale l'ampiezza assoluta della tensione raggiunge almeno <math>3\ \mathrm{V}</math>: <math> |V|\geq 3\ \mathrm{V} </math> Normalizzando rispetto alla deviazione standard: <math> z=\frac{V}{\sigma} </math> si ottiene: <math> z=\frac{3\ \mathrm{V}}{1\ \mathrm{V}}=3 </math> Quindi il livello di interesse corrisponde a <math>3\sigma</math>. Per una distribuzione gaussiana standard, la probabilità che il valore superi <math>3\sigma</math> sul lato positivo è: <math> P(V\geq3\sigma)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Per <math>z=3</math>: <math> \Phi(3)\approx0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(V\geq3\sigma)=1-0.9986501 </math> <math> P(V\geq3\sigma)\approx0.0013499 </math> Espressa in percentuale: <math> P(V\geq3\sigma)\times100\approx0.13499\% </math> Se per "raggiunga livelli di ampiezza di 3 Vp" si intende il superamento in valore assoluto, cioè sia il picco positivo sia quello negativo, bisogna considerare entrambe le code della distribuzione: <math> P(|V|\geq3\sigma)=2P(V\geq3\sigma) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)=2(0.0013499) </math> <math> P(|V|\geq3\sigma)\approx0.0026998 </math> Convertendo in percentuale: <math> P(|V|\geq3\sigma)\times100\approx0.26998\% </math> Quindi, per un rumore gaussiano con <math>1\ \mathrm{V_{rms}}</math>, il livello di <math>3\ \mathrm{V}</math> corrisponde a <math>3\sigma</math>. Considerando sia i picchi positivi sia quelli negativi, la tensione supera in valore assoluto <math>3\ \mathrm{V}</math> per circa: <math> {0.27\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.0027 </math> oppure, in termini temporali, circa: <math> 0.0027\times1000=2.7 </math> millisecondi ogni secondo. Perciò il rumore supera <math>\pm3\ \mathrm{V}</math> per circa <math>2.7\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. Se invece si considera soltanto il superamento del livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>, la percentuale è la metà: <math> 0.135\% </math> ossia circa <math>1.35\ \mathrm{ms}</math> ogni secondo. ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> ``` ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 867inh7duwdzcjqg7p0qfcdxscf5agk 286673 286672 2026-08-22T13:48:41Z Funzioni di correlazione 24136 286673 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> \boxed{0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> dghxy480iamkui31z0q29nssnpyejnn 286674 286673 2026-08-22T13:52:20Z Funzioni di correlazione 24136 286674 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bbzahig09p3r0xgvt5b3budjlj3eqcm 286675 286674 2026-08-22T13:55:02Z Funzioni di correlazione 24136 286675 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lpelp33705ryt4lvpm4r81pqgt2guv0 286684 286675 2026-08-23T06:16:09Z Funzioni di correlazione 24136 286684 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> <math> BW = 1000\ \mathrm{Hz} </math> <math> RC = 1\ \mathrm{s} </math> <math> P_{fa} = 10\% = 0{,}10 </math> Si assume che <math>RC</math> rappresenti il tempo di integrazione/correlazione del ricevitore e che il valore di <math>S/N</math> sia riferito all'ingresso dell'elaborazione di integrazione. In tale ipotesi, il prodotto tempo-banda determina il guadagno di elaborazione. === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> \boxed{\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> joc4l5jc1d2cke8113m283fip4hhab7 286685 286684 2026-08-23T06:17:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7. Risultato finale */ 286685 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> <math> BW = 1000\ \mathrm{Hz} </math> <math> RC = 1\ \mathrm{s} </math> <math> P_{fa} = 10\% = 0{,}10 </math> Si assume che <math>RC</math> rappresenti il tempo di integrazione/correlazione del ricevitore e che il valore di <math>S/N</math> sia riferito all'ingresso dell'elaborazione di integrazione. In tale ipotesi, il prodotto tempo-banda determina il guadagno di elaborazione. === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hyn045hl297buok10yhvwashbaa7k4b 286686 286685 2026-08-23T06:20:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dati di progetto */ 286686 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> okw7ym0wv4sfi11peoouvgivyy5j3c3 286687 286686 2026-08-23T06:26:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio */ 286687 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia)''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> arx3tjryzstqca77s71teazcs8a540e 286688 286687 2026-08-23T06:28:12Z Funzioni di correlazione 24136 286688 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia)''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jrfolqhhxqdhybws0fietvpehqieslp 286692 286688 2026-08-23T06:33:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286692 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' == Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo == === Dati di progetto === <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) === 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare === <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> === 2. Calcolo del prodotto tempo-banda === Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> === 3. Guadagno di elaborazione === Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> === 4. SNR dopo l'integrazione === Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> === 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa === Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> === 6. Probabilità di scoperta === Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> === 7. Risultato finale === <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. === Nota sull'interpretazione di S/N === Il risultato precedente è valido se i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> rappresentano lo SNR prima dell'integrazione su <math>BW\cdot RC</math>. Se invece i <math>+6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR ''dopo'' l'integrazione di <math>1\ \mathrm{s}</math>, non bisogna applicare nuovamente il guadagno <math>10\log_{10}(BW\cdot RC)</math>. In quel caso il calcolo della probabilità di scoperta deve essere effettuato direttamente con: <math> \mathrm{SNR}_{int}=10^{6/10}\simeq3{,}981 </math> e quindi: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(0{,}10)-\sqrt{2\cdot3{,}981}\right] </math> <math> P_d=Q\left[1{,}2816-2{,}821\right] </math> <math> P_d=Q(-1{,}5394) </math> <math> P_d\simeq0{,}938 </math> In questa seconda interpretazione: <math> P_d\simeq93{,}8\% </math> Pertanto, per il problema così formulato, il valore <math>P_d\simeq100%</math> presuppone che i <math>6\ \mathrm{dB}</math> siano lo SNR ''prima'' dell'integrazione tempo-banda, mentre se i <math>6\ \mathrm{dB}</math> sono già lo SNR integrato il risultato è circa <math>93{,}8%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 7oi57j59oymhnb70uvd1uxiv6b2oj2v 286693 286692 2026-08-23T06:40:20Z Funzioni di correlazione 24136 286693 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo Dati di progetto <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> 2. Calcolo del prodotto tempo-banda Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> 3. Guadagno di elaborazione Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> 4. SNR dopo l'integrazione Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> 6. Probabilità di scoperta Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> 7. Risultato finale <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jzl3qg5ovl93wrmy56ngcsyr2c6djlm 286698 286693 2026-08-23T08:13:59Z Funzioni di correlazione 24136 286698 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = - 8 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' '''Calcolo parametro d con : d = 2 BW RC (s/n)^4 ( s/n in decimali) <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. Il parametro (d) si calcola direttamente dai dati forniti. Per ottenere poi (P_d), nel modello ROC del sonar passivo, occorre leggere la corrispondente curva ROC per (P_{fa}=10%). La documentazione di riferimento riporta, ad esempio, che per (d=2) e (P_{fa}=10%) si ha (P_d=50%); quindi per (d=1{,}26) il valore va ricavato dalla curva ROC e non da una formula algebrica unica. ([Wikipedia][1]) Con i dati indicati, (d\approx1{,}26). La lettura/interpolazione della curva ROC porta a una probabilità di scoperta di circa **(P_d\approx40%)**. Poiché il valore preciso dipende dalla specifica curva ROC adottata, è opportuno indicarlo come valore approssimato. ([Wikipedia][1]) ```text {{Percorso di calcolo}} Dati: <math>S/N=-8\ \mathrm{dB}</math> <math>BW=1000\ \mathrm{Hz}</math> <math>RC=1\ \mathrm{s}</math> <math>P_{fa}=10\%=0{,}10</math> 1. Conversione del rapporto S/N da dB a valore decimale Poiché nel calcolo del parametro d il rapporto S/N deve essere espresso come numero decimale: <math>\frac{S}{N}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{20}}</math> <math>\frac{S}{N}=10^{\frac{-8}{20}}</math> <math>\frac{S}{N}=10^{-0{,}4}</math> <math>\frac{S}{N}\approx0{,}398107</math> 2. Calcolo della quarta potenza del rapporto S/N La formula richiesta per il parametro ROC è: <math>d=2\cdot BW\cdot RC\cdot\left(\frac{S}{N}\right)^4</math> Si calcola innanzitutto la quarta potenza: <math>\left(\frac{S}{N}\right)^4=(0{,}398107)^4</math> <math>(0{,}398107)^2\approx0{,}158489</math> <math>(0{,}158489)^2\approx0{,}0251189</math> quindi: <math>\left(\frac{S}{N}\right)^4\approx0{,}0251189</math> 3. Sostituzione dei valori nella formula di d <math>d=2\cdot1000\cdot1\cdot0{,}0251189</math> <math>d=2000\cdot0{,}0251189</math> <math>d\approx50{,}2378</math> 4. Risultato del parametro d <math>d\approx50{,}24</math> 5. Determinazione della probabilità di scoperta La probabilità di scoperta <math>P_d</math> non viene ricavata direttamente dalla formula del parametro d. Il parametro d identifica la curva ROC corrispondente; fissato il valore di falso allarme: <math>P_{fa}=10\%=0{,}10</math> si cerca sulla curva ROC il punto corrispondente a: <math>d\approx50{,}24</math> La lettura della curva ROC fornisce una probabilità di scoperta molto elevata, prossima al 100%. Pertanto: <math>P_d\approx100\%</math> 6. Risultato finale <math>\frac{S}{N}=-8\ \mathrm{dB}</math> <math>\frac{S}{N}=0{,}398107</math> <math>BW=1000\ \mathrm{Hz}</math> <math>RC=1\ \mathrm{s}</math> <math>P_{fa}=10\%</math> <math>d=2\cdot1000\cdot1\cdot(0{,}398107)^4</math> <math>d\approx50{,}24</math> <math>P_d\approx100\%</math> Nota: il valore numerico esatto di <math>P_d</math> deve essere letto dalla curva ROC specifica del modello di rivelatore adottato. Il parametro d determina la curva ROC, mentre <math>P_{fa}</math> determina il punto di lavoro sulla curva. ``` **Correzione importante:** con la conversione standard di un rapporto **S/N espresso in dB come rapporto di ampiezze/pressioni**, si usa (10^{\mathrm{dB}/20}), ottenendo (S/N=0,3981) e quindi **(d=50,24)**. La fonte che hai indicato per questa particolare formula precisa inoltre che il rapporto (S_i/N_i) viene trattato come numero decimale. ([Wikipedia][1]) Se invece nel tuo esercizio **“S/N in dB” è inteso come rapporto di potenza**, la conversione sarebbe (10^{-8/10}=0,15849), e si otterrebbe (d=1,262). Quindi la distinzione è fondamentale. [1]: https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0_di_scoperta_sonar?utm_source=chatgpt.com "Probabilità di scoperta sonar" xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 97t8gf19t2dhkqysf9n36joix7yw7dc 286700 286698 2026-08-23T08:30:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286700 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' Esempio di calcolo di probabilità: compleanno In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno. Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> olcft74d6qn2jyvgcxwhk5lnvc9c6mm 286701 286700 2026-08-23T08:31:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286701 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' Esempio di calcolo di probabilità: compleanno In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno. Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8kovwu2jkz10sem8hvd9df3endt44zv 286702 286701 2026-08-23T08:33:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, date di compleanno */ 286702 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno. Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> kgnjjfviqayw36b8evo6ld4x3lotm6t 286703 286702 2026-08-23T08:40:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, date di compleanno */ 286703 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> aezg999iennivov4lq7jgws3skmjrbl 286705 286703 2026-08-23T08:47:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, date di compleanno */ 286705 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' Si estrae casualmente un componente. 1. 2. Sapendo che il controllo lo ha segnalato come difettoso, qual è la probabilità che sia **effettivamente difettoso**? ### Dati * (P(D)=0,04) → componente difettoso * (P(\overline D)=0,96) → componente non difettoso * (P(S|D)=0,95) → segnalato difettoso se è difettoso * (P(S|\overline D)=0,03) → segnalato difettoso se non è difettoso ### Soluzione Per il **teorema della probabilità totale**: [ P(S)=P(S|D)P(D)+P(S|\overline D)P(\overline D) ] [ P(S)=0,95\cdot0,04+0,03\cdot0,96 ] [ P(S)=0,038+0,0288=0,0668 ] Quindi: [ \boxed{P(S)=6,68%} ] Per il secondo punto utilizziamo il **teorema di Bayes**: [ P(D|S)=\frac{P(S|D)P(D)}{P(S)} ] [ P(D|S)=\frac{0,95\cdot0,04}{0,0668} ] [ P(D|S)\approx0,569 ] Quindi: [ \boxed{P(D|S)\approx56,9%} ] **Conclusione:** anche se il controllo segnala un componente come difettoso, la probabilità che lo sia realmente è circa **56,9%**. Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 84kuz59p0ouf8tmkyatid69pj7xy1hs 286706 286705 2026-08-23T08:48:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, date di compleanno */ 286706 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' Si estrae casualmente un componente. 1. 2. Sapendo che il controllo lo ha segnalato come difettoso, qual è la probabilità che sia **effettivamente difettoso**? ### Dati * (P(D)=0,04) → componente difettoso * (P(\overline D)=0,96) → componente non difettoso * (P(S|D)=0,95) → segnalato difettoso se è difettoso * (P(S|\overline D)=0,03) → segnalato difettoso se non è difettoso ### Soluzione Per il **teorema della probabilità totale**: [ P(S)=P(S|D)P(D)+P(S|\overline D)P(\overline D) ] [ P(S)=0,95\cdot0,04+0,03\cdot0,96 ] [ P(S)=0,038+0,0288=0,0668 ] Quindi: [ \boxed{P(S)=6,68%} ] Per il secondo punto utilizziamo il **teorema di Bayes**: [ P(D|S)=\frac{P(S|D)P(D)}{P(S)} ] [ P(D|S)=\frac{0,95\cdot0,04}{0,0668} ] [ P(D|S)\approx0,569 ] Quindi: [ \boxed{P(D|S)\approx56,9%} ] **Conclusione:** anche se il controllo segnala un componente come difettoso, la probabilità che lo sia realmente è circa **56,9%**. Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 3brgtqi9e78r3vw2i5hs3d2e4zglz78 286707 286706 2026-08-23T08:53:20Z Funzioni di correlazione 24136 286707 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' Si estrae casualmente un componente. Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 6oz49k20jamv48kmtrrq5cna4ox9hx7 286708 286707 2026-08-23T08:55:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° Esercizio, controllo di produzione */ 286708 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> dac30ecp1zsi7dl8dult0r4nhug4c6f 286713 286708 2026-08-23T09:41:35Z Funzioni di correlazione 24136 286713 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bakihlfxm9pl7488mp98yfxsewmpy0x 2 37479 286683 282820 2026-08-22T19:44:54Z Abstract RebC 46303 /* */ 286683 wikitext text/x-wiki <indicator name="Crystal Clear action lock3.png">[[File:Crystal Clear action lock3.png|30px|Come vedi, qui c'è un lucchetto BLU. Questo significa che la pagina non è protetta, ma ti prego di non apportare correzioni. Se vedi qualcosa che non torna, segnalalo sulla mia pagina di discussione. Ah, tieni presente che alcuni "errori" sono solo espressioni ironiche... :-)|link=WP:PU#Modifiche]]</indicator>{{pagina utente}}Sto tentando di sistemare la pagina utente. {{#babel:it| en-4| ja-1}} {{Utente latex-2}}{{SchedaBabelfish|Sigla=[[File:Tower of Babel cropped square.jpg|90px]]|Testo=Nel corso della mia vita ho avuto la possibilità di studiare anche le seguenti lingue: latino classico, greco antico, sanscrito vedico, tedesco, spagnolo, cinese mandarino e coreano. 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La mia attività su [[Wikiversità]] riguarderà principalmente le pagine legate alla [[Matematica]], alla [[Filosofia]] e al mondo classico, dato che sono le aree che maggiormente mi competono. ''Su Wikiversità dal 2026/01/19.'' '''Progetti:''' *[https://it.wikipedia.org/wiki/Progetto:Matematica Matematica] *[https://it.wikipedia.org/wiki/Progetto:Filosofia Filosofia] *[https://it.wikipedia.org/wiki/Progetto:Letteratura Letteratura] *[https://it.wikipedia.org/wiki/Progetto:Linguistica Linguistica] [[w:Utente:Abstract_RebC|Pagina utente italiana]] [[:en:User:Abstract_RebC#|English user page]] nmm5o0sxl5101es0ybxo031nmgybg2z 102 37619 286678 286648 2026-08-22T14:00:36Z Funzioni di correlazione 24136 286678 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 19 materie di matematica con più di 200 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] 1028aghyz6fiv4imdw99hwm43g960kj 0 37795 286676 286669 2026-08-22T13:56:56Z Funzioni di correlazione 24136 286676 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` nli7rncwzxzq7l3be3bqfcgrqp1ytbk 286677 286676 2026-08-22T13:58:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286677 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` 5r4tgi6e6hk6nvf58p5akv9h4tupphl 286679 286677 2026-08-22T14:27:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286679 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita percentuale del tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` 24j25g13653xjv004oqr8jw5qrsa6np 286680 286679 2026-08-22T14:29:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286680 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la percentuale di probabilita nel tempo che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` cu9e2xzz3opa60z3xf1ab8glfu6nagi 286681 286680 2026-08-22T14:31:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286681 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la percentuale di probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` l9xrtpozhfug2ede8aqip8ta5bxnua6 286682 286681 2026-08-22T14:38:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° Esercizio */ 286682 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` maynhhy2lh1yqepz6x014r6pgy3m9wa 286689 286682 2026-08-23T06:28:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° Esercizio */ 286689 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` 4ijl9z2odoq5qttals5uuct53lekodb 286690 286689 2026-08-23T06:31:09Z Funzioni di correlazione 24136 286690 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tito a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` enuwee49jetvmd4hbvdsxzfnvown5jb 286691 286690 2026-08-23T06:32:21Z Funzioni di correlazione 24136 286691 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> ``` p8st69zd383edzs0onhyjgbvhbpoa8y 286694 286691 2026-08-23T06:44:57Z Funzioni di correlazione 24136 286694 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo Dati di progetto <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> 2. Calcolo del prodotto tempo-banda Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> 3. Guadagno di elaborazione Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> 4. SNR dopo l'integrazione Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> 6. Probabilità di scoperta Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> 7. Risultato finale <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. ``` 351ui3r8uz3p495yzc2w5ftiqmg2dfj 286695 286694 2026-08-23T06:46:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286695 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = + 6 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' '''Mostra il valore del parametro (d)''' Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo Dati di progetto <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> 2. Calcolo del prodotto tempo-banda Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> 3. Guadagno di elaborazione Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> 4. SNR dopo l'integrazione Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> 6. Probabilità di scoperta Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> 7. Risultato finale <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. ``` sy8r7zd49n1vx2edl7ns297i8vvjdo3 286696 286695 2026-08-23T07:02:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286696 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = - 8 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' '''Mostra il valore del parametro (d)''' Calcolo della probabilità di scoperta di un sonar passivo Dati di progetto <math> S/N = +6\ \mathrm{dB} </math> (allingresso rivelatore) 1. Conversione del rapporto segnale/rumore in forma lineare <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{S/N_{\mathrm{dB}}}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{\frac{6}{10}} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}=10^{0{,}6} </math> <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}9811 </math> Quindi il rapporto segnale/rumore lineare è: <math> \mathrm{SNR}_{lin}\simeq3{,}981 </math> 2. Calcolo del prodotto tempo-banda Il numero equivalente di campioni indipendenti o il prodotto tempo-banda è: <math> BT=BW\cdot RC </math> <math> BT=1000\cdot1 </math> <math> BT=1000 </math> 3. Guadagno di elaborazione Il guadagno di elaborazione associato all'integrazione è: <math> G_p=BT </math> In decibel: <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(BT) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(1000) </math> <math> G_{p,\mathrm{dB}}=30\ \mathrm{dB} </math> 4. SNR dopo l'integrazione Il rapporto segnale/rumore lineare dopo l'integrazione è: <math> \mathrm{SNR}_{int}=\mathrm{SNR}_{lin}\cdot BT </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}=3{,}9811\cdot1000 </math> <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq3981{,}1 </math> In decibel: <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}=10\log_{10}(3981{,}1) </math> <math> \mathrm{SNR}_{int,\mathrm{dB}}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> 5. Soglia di rivelazione corrispondente a Pfa Per un rivelatore gaussiano normalizzato, la probabilità di falso allarme è legata alla soglia tramite la funzione <math>Q</math>: <math> P_{fa}=Q(\eta) </math> da cui: <math> \eta=Q^{-1}(P_{fa}) </math> Con: <math> P_{fa}=0{,}10 </math> si ottiene: <math> \eta=Q^{-1}(0{,}10) </math> <math> \eta\simeq1{,}2816 </math> 6. Probabilità di scoperta Per un rivelatore coerente con rumore gaussiano, la probabilità di scoperta può essere espressa come: <math> P_d=Q\left[Q^{-1}(P_{fa})-\sqrt{2\,\mathrm{SNR}_{int}}\right] </math> Sostituendo i valori calcolati: <math> P_d=Q\left[1{,}2816-\sqrt{2\cdot3981{,}1}\right] </math> <math> 2\cdot3981{,}1=7962{,}2 </math> <math> \sqrt{7962{,}2}\simeq89{,}23 </math> Pertanto: <math> P_d=Q(1{,}2816-89{,}23) </math> <math> P_d=Q(-87{,}9484) </math> Utilizzando la relazione: <math> Q(-x)=1-Q(x) </math> si ha: <math> P_d=1-Q(87{,}9484) </math> Per un argomento così elevato, il termine <math>Q(87{,}9484)</math> è praticamente nullo rispetto alla precisione numerica normalmente utilizzata. Quindi: <math> P_d\simeq1 </math> ovvero: <math> P_d\simeq100\% </math> 7. Risultato finale <math> {\displaystyle P_d\simeq1} </math> <math> P_d\simeq100\% </math> Il risultato deriva dalle tre condizioni principali: <math> S/N=6\ \mathrm{dB} </math> <math> BT=1000 </math> <math> P_{fa}=0{,}10 </math> Il prodotto tempo-banda produce un guadagno di elaborazione di: <math> G_p=30\ \mathrm{dB} </math> e porta lo SNR utilizzato nel calcolo della rivelazione a: <math> \mathrm{SNR}_{int}\simeq36\ \mathrm{dB} </math> Con questa SNR e con una probabilità di falso allarme del <math>10%</math>, la probabilità di scoperta calcolata dal modello gaussiano risulta praticamente pari al <math>100%</math>. ``` s6yvhmxzkcpeg6l89gkrct8237815q2 286697 286696 2026-08-23T07:03:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286697 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, dati per sonar== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcola la probabilità di scoperta Pd di un sonar passivo sotto le condizioni:''' '''s/n = - 8 db (all'ingresso dei rivelatori)''' '''BW = 1000 Hz (banda di ricezione rettangolare)''' '''RC = 1 s (costante di tempo integratore del rivelatore''' '''Pfa = 10% ( probabilità di falso allarme accettata con la soglia del sonar )''' '''Mostra il valore del parametro (d)''' 05fcphi0amoqxtn7op5l0vwc6hnblsp 286699 286697 2026-08-23T08:23:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° Esercizio, dati per sonar */ 286699 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> fnjxksha49fuv59i1kxl6nbwyxrmz4t 286704 286699 2026-08-23T08:42:00Z Funzioni di correlazione 24136 286704 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> s51z84nvi6qz618c1ywdr1ve575rqj2 286709 286704 2026-08-23T08:57:34Z Funzioni di correlazione 24136 286709 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> brpbj9vm8bsillagqoredxw1kb5xm9u 286710 286709 2026-08-23T08:59:14Z Funzioni di correlazione 24136 286710 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ia61n2lx8cleexbaki3gqwhpywtiiru 286711 286710 2026-08-23T09:00:02Z Funzioni di correlazione 24136 286711 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(20 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> qf8bc0zshbu349xtz5xfsty8lonf4bl 286712 286711 2026-08-23T09:02:23Z Funzioni di correlazione 24136 286712 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> nrxehy959lw0w0m17jk1w155mth9nuz