Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 102 16986 286744 258864 2026-08-24T07:00:48Z ~2026-46262-82 46886 Correzione errori di battitura e parola non italiana "giusecononomista" 286744 wikitext text/x-wiki {{Corso|6 |dip=Economia |dip2=Giurisprudenza |classe=L14 |cestor=http://www.cestor.it/atenei/l031.htm |presentazione=&nbsp; La Laurea in Diritto e amministrazione pubblica (Classe L-14 "Scienze dei servizi giuridici") integra gli insegnamenti giuridici con lo studio delle loro implicazioni economiche e con le nozioni statistiche essenziali all'elaborazione dei dati e delle informazioni. ===Sbocchi professionali=== Conseguire la Laurea in Diritto e amministrazione pubblica significa essere una figura di giurista e poter ricoprire incarichi dirigenziali in: * Istituzioni pubbliche nazionali ed internazionali; * Autorità indipendenti; * Banche; * Assicurazioni; * Imprese private. |base=&nbsp; ===Area di Diritto privato=== * [[Materia:Diritto privato|Diritto privato]] (IUS/01) * [[Materia:Diritto del lavoro|Diritto del lavoro]] (IUS/07) ===Area di Diritto pubblico=== * [[Materia:Diritto costituzionale|Diritto costituzionale]] (IUS/08) * [[Materia:Diritto amministrativo|Diritto amministrativo]] (IUS/10) ===Area di Diritto internazionale=== * [[Materia:Diritto dell’Unione Europea|Diritto dell’Unione Europea]] (IUS/14) * [[Materia:Fondamenti del diritto europeo|Fondamenti del diritto europeo]] (IUS/18) * [[Materia:Lingua inglese|Lingua inglese]] (L-LIN/12) ===Area di Scienze economiche, sociali, storiche e tecniche=== * [[Materia:Diritto dell’economia|Diritto dell’economia]] (IUS/05) * [[Materia:Diritto pubblico dell’economia|Diritto pubblico dell’economia]] (IUS/09) * [[Materia:Storia dell’amministrazione dello Stato italiano|Storia dell’amministrazione dello Stato italiano]] (IUS/19) * [[Materia:Analisi economica del diritto e teoria dell’interpretazione|Analisi economica del diritto e teoria dell’interpretazione]] (IUS/20) * [[Materia:Economia politica|Economia politica]] (SECS-P/01) * [[Materia:Economia e politica degli appalti e contratti pubblici|Economia e politica degli appalti e contratti pubblici]] (SECS-P/01) * [[Materia:Economia pubblica|Economia pubblica]] (SECS-P/03) * [[Materia:Analisi e verifica di impatto della regolamentazione|Analisi e verifica di impatto della regolamentazione]] (SECS-P/03) * [[Materia:Analisi costi - benefici delle politiche pubbliche|Analisi costi - benefici delle politiche pubbliche]] (SECS-P/03) * [[Materia:Statistica e Informatica|Statistica e Informatica]] (SECS-S/01) * [[Materia:Valutazione e controllo dei risultati|Valutazione e controllo dei risultati]] (SECS-S/01) * [[Materia:Analisi e valutazione delle politiche ambientali|Analisi e valutazione delle politiche ambientali]] (SECS-S/03) * [[Materia:Matematica|Matematica]] (MAT/06) |specializzazione=&nbsp; * [[Materia:Diritto internazionale|Diritto internazionale]] (IUS/13) * [[Materia:Diritto processuale generale|Diritto processuale generale]] (IUS/15) * [[Materia:Diritto penale|Diritto penale]] (IUS/17) }} ten0dls1zfiegbsyc3fns4fujqu69hg 2 32658 286720 284177 2026-08-23T13:45:55Z Funzioni di correlazione 24136 286720 wikitext text/x-wiki Le curve ROC <ref> (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic)</ref>, impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle [[portata di scoperta del sonar| portate di scoperta del sonar]] per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del [[Differenziale di riconoscimento del sonar|differenziale di riconoscimento <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> ==Note== <references/> == Bibliografia == * R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', Mc Graw – hill, 3^ ed. 1968 * J. W. Horton, ''Foundamentals of Sonar'', United States Naval Institute,Annapolis Maryland, 1959 * Cesare Del Turco, ''La correlazione'', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia, 1993 [[Categoria:sonar]] [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} rhva556v52vjzox6r3fav3vgvidwcms 286724 286720 2026-08-23T13:54:29Z Funzioni di correlazione 24136 286724 wikitext text/x-wiki ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC <ref> (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic)</ref>, impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} kqaqa1apkqzrc6geu446zqure1my0az 286725 286724 2026-08-23T13:56:05Z Funzioni di correlazione 24136 286725 wikitext text/x-wiki ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} hi6i6mh6ltnt64zyqe0w3a3pdrw4osg 286728 286725 2026-08-23T14:19:13Z Funzioni di correlazione 24136 286728 wikitext text/x-wiki == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} 5yfi25bh46eaiizqjjronp8fqon6hui 286735 286728 2026-08-24T05:24:55Z Funzioni di correlazione 24136 286735 wikitext text/x-wiki Ah, ho capito: vuoi il testo **in formato wiki**, cioè da copiare direttamente nell'editor di Wikipedia. ```wiki == Esercizio di probabilità == Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio. Si sceglie casualmente una delle 8 parti. Si calcola la probabilità di ottenere ciascuna figura. === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} qheneddg3uxiin5zkovh8ni3ni9baz2 286736 286735 2026-08-24T05:27:35Z Funzioni di correlazione 24136 286736 wikitext text/x-wiki == 9° Esercizio, figure geometriche == Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio. Si sceglie casualmente una delle 8 parti. Si calcola la probabilità di ottenere ciascuna figura. === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} qtpjcmlhtue6o1p8ilm1l36sslj5a0s 286737 286736 2026-08-24T05:31:10Z Funzioni di correlazione 24136 286737 wikitext text/x-wiki == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} btgdm3ano6kq2wj9015er33jc6ltgtg 286740 286737 2026-08-24T05:48:06Z Funzioni di correlazione 24136 286740 wikitext text/x-wiki Problema Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus. Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti. 1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>. 2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti. 3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti. 4. Calcolare il tempo medio di attesa. 5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti. '''Soluzione''' Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> '''1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti''' Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> '''2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti''' Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> '''3. Tempo medio di attesa''' Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> '''4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri''' Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} 2ff43zl09nkz60zsodonx3ora0sq13u 286741 286740 2026-08-24T05:52:39Z Funzioni di correlazione 24136 286741 wikitext text/x-wiki ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} ayuynv585065t5015qrltk3z9gtbul6 286745 286741 2026-08-24T08:42:26Z Funzioni di correlazione 24136 286745 wikitext text/x-wiki == Calcolo delle funzioni di Bessel== ==1° esercizio pe ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} rqn5zbcgs9ab1z7gutjkqgocn2pimdy 2 34010 286714 286713 2026-08-23T13:23:26Z Funzioni di correlazione 24136 286714 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXROCROC Le curve ROC <ref> (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic)</ref>, impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle [[portata di scoperta del sonar| portate di scoperta del sonar]] per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del [[Differenziale di riconoscimento del sonar|differenziale di riconoscimento <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> ==Note== <references/> == Bibliografia == * R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', Mc Graw – hill, 3^ ed. 1968 * J. W. Horton, ''Foundamentals of Sonar'', United States Naval Institute,Annapolis Maryland, 1959 * Cesare Del Turco, ''La correlazione'', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia, 1993 [[Categoria:sonar]] 8wha6s5ktx8empes46c7d5lc8axk2mf 286721 286714 2026-08-23T13:46:31Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286714|286714]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286721 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bakihlfxm9pl7488mp98yfxsewmpy0x 286722 286721 2026-08-23T13:47:11Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286721|286721]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286722 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXROCROC Le curve ROC <ref> (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic)</ref>, impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle [[portata di scoperta del sonar| portate di scoperta del sonar]] per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del [[Differenziale di riconoscimento del sonar|differenziale di riconoscimento <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> ==Note== <references/> == Bibliografia == * R. J. Urick, ''Principles of underwater sound'', Mc Graw – hill, 3^ ed. 1968 * J. W. Horton, ''Foundamentals of Sonar'', United States Naval Institute,Annapolis Maryland, 1959 * Cesare Del Turco, ''La correlazione'', Collana scientifica ed. Moderna La Spezia, 1993 [[Categoria:sonar]] 8wha6s5ktx8empes46c7d5lc8axk2mf 286723 286722 2026-08-23T13:47:51Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286722|286722]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286723 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|corso1=}} ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bakihlfxm9pl7488mp98yfxsewmpy0x 0 36766 286761 275695 2026-08-24T11:14:14Z Marco Ciaramella 14088 /* Avverbi di modo */ +Anscheinend 286761 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=lingua tedesca}} == Avverbi di tempo == *'''Danach''': indica una successione di cose e azioni, sia di tempo che in successione logica. Spesso è posta a inizio frase, ma non necessariamente. * '''Sonst''': indica (oltre ad "altrimenti" è un avverbio di tempo!) un'abitudine ripetuta regolarmente (= di solito). === Esempi === * Ich gehe einkaufen und '''danach''' treffe ich meine Freunde. * '''Sonst''' gehe ich immer am Samstag einkaufen. == Avverbi di conferma == *'''Ausserdings''': serve a confermare un'informazione precedente, con l'aggiunta di precisazione ulteriore (anche in leggero contrasto con l'informazione precedente, ma senza negarla). Si usa più che altro per aggiungere una precisazione ulteriore. * '''Allerdings''': simile al precedente. Però può anche rafforzare l'affermazione, non solo limitarla (comunque senza negarla, appunto). Spesso è posto a inizio frase, oppure nel mezzo. Si usa più che altro per confermare l'affermazione. === Esempi === * Er ist sehr intelligent. '''Ausserdings''' ist er auch sehr faul. (="È molto intelligente. Inoltre, è anche molto pigro.") * Das ist '''allerdings''' eine schwierige Frage. ("=Questa è certamente una domanda difficile.") == Avverbi di modo == *'''Deshalb''': pertanto, quindi. Indica la conseguenza di un'azione. **'''Daher''': simile a ''Deshalb'', ma più formale. La conseguenza è, spesso, intesa più spesso come conseguenza logica, rispetto a ''Deshalb''. *'''Anscheinend''' : a quanto pare (confermativo). === Esempi === * Er hat viel gelernt, deshalb hat er die Prüfung bestanden. (=ha studiato molto, per cui ha superato l'esame). * Er ist müde. Deshalb geht er früh schlafen. (=Egli è stanco. Pertanto, va a dormire presto). * Er hat anscheinend keine Zeit. (=A quanto pare, non ha tempo). == Avverbi di aggiunta == *''außerdem'': inoltre. Altri sono: zusätzlich, ferner, weiterhin, zudem, ebenso, nebenbei, auch, überdies, noch dazu, obendrein. === Esempi === * Ich habe keine Zeit. Außerdem bin ich müde. (="Non ho tempo. Inoltre, sono stanco.") == Avverbi conclusivi == {{s}} * ''schließlich'' (= "Infine".) * ''letztendlich'' * ''endlich'' (= "Finalmente", dopo una lunga attesa.) === Esempi === * Wir haben alles versucht, und schließlich hat es funktioniert. (=Abbiamo provato di tutto e infine ha funzionato). * Schließlich haben wir das Ziel erreicht. (=Infine, abbiamo raggiunto l'obiettivo). == Avverbi di conseguenza == * {{s}} * ''sonst'' (=altrimenti) Sonst è anche "avverbio di condizione, perché la conseguenza (intesa come negativa) avviene anche ad una certa condizione. Nota. Questo è il significato principale di ''sonst'', ma ne ha molti altri. * ''andernfalls'' * ''ansonsten'' * ''infolgedessen'' (= di conseguenza) * ''folglich'' (= di conseguenza) [spiegare la differenza] ===Esempi=== * Wir müssen uns jetzt entscheiden, '''sonst''' wird das Angebot nicht mehr verfügbar sein. (=Dobbiamo decidere ora, altrimenti l'offerta non sarà più disponibile.) == Avverbio di Alternativa == {{s}} ''sonst'' (=altrimenti) esprime anche un'alternativa, ad esempio in una domanda. ===Esempi=== *Kann ich mein Ticket hier kaufen, oder gibt es sonst noch eine Verkauf? == Avverbi pronominali == Sono composti da avverbio + pronome dimostrativo. L'avverbio pronominale si riferisce a qualcosa già detto (per questo è "pronominale"). Fungono anche da connettori. Molto comune è ''dazu'' (="a riguardo"), considerato anche come avverbio di luogo correlativo. Il suffisso -hin indica vicinanza, mentre da- indica lontananza; infine wo- indica proprio quel luogo. Nell'uso della lingua, rende la frase tedesca più concisa e fluida. Essi sono: * dar- (darauf, daran, darüber, dafür, damit, dabei, daraus, darunter, dazwischen) * hin- (hierauf, hieran, hierüber, hierfür, hiermit, hierbei, hieraus, hierunter, hierzwischen) * da- (darauf, daran, darüber, dafür, damit, dabei, daraus, darunter, dazwischen) === Esempi === * Haben Sie noch Fragen ''dazu''? (="Avete ancora domande a riguardo?") * Er hat sein Handy ''dabei''. (="Ha il suo cellulare con sé") * Komm ''damit'' klar. (="affrontalo, gestiscilo", registro molto informale) ixjxijp5si9yuz0ybmpklbuldb15pno 102 37619 286746 286678 2026-08-24T08:51:04Z Funzioni di correlazione 24136 286746 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 19 materie di matematica con più di 200 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} * [[Le funzioni di Bessel]] }} [[categoria: sonar]] opsekya9qspyezpwo5lru3icqrt4t9u 286747 286746 2026-08-24T08:52:30Z Funzioni di correlazione 24136 286747 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 19 materie di matematica con più di 200 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] * [[Le funzioni di Bessel]] [[categoria: sonar]] pt72qq1avctr30z8vrbd5zkhkjee5sh 0 37795 286715 286712 2026-08-23T13:26:14Z Funzioni di correlazione 24136 286715 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> d38ggezuz3u91tw4z2n3vsr5dpsbu42 286716 286715 2026-08-23T13:34:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio, valutazione pesi */ 286716 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° esercizio, valutazione pesi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:''' '''Peso Numero di ragazzi''' '''50–60 kg 20''' '''60–70 kg 35''' '''70–80 kg 30''' '''80–90 kg 10''' '''90–100 kg''' '''Si scelga un ragazzo a caso. '''Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?''' '''Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?''' '''Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?''' Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> b33ghcicg4x4nd151vwxbnyzb47qtj2 286717 286716 2026-08-23T13:37:54Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286716|286716]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286717 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> d38ggezuz3u91tw4z2n3vsr5dpsbu42 286718 286717 2026-08-23T13:39:28Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286715|286715]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286718 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> nrxehy959lw0w0m17jk1w155mth9nuz 286719 286718 2026-08-23T13:39:51Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286712|286712]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286719 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(20 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> qf8bc0zshbu349xtz5xfsty8lonf4bl 286726 286719 2026-08-23T13:57:51Z Funzioni di correlazione 24136 286726 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> jy7y35du9kt2hwtcd3gn385kt03rqks 286727 286726 2026-08-23T13:58:22Z Funzioni di correlazione 24136 286727 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> du5mr1abc557m3vn6nfagn3dk0126cj 286729 286727 2026-08-23T14:22:55Z Funzioni di correlazione 24136 286729 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` a6rcdyxqs3bcl4l9wcwtg5dbwvo5258 286730 286729 2026-08-23T14:23:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* xx lezione, sui pesi */ 286730 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` hmcle702rp89mpaz46zr7tv639moyoi 286731 286730 2026-08-23T14:24:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° lezione, sui pesi */ 286731 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` 3juwcycxl6bm5h4gylx6ptlmkoekknp 286732 286731 2026-08-23T14:28:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Esercizio, sui pesi */ 286732 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` k8szdp4soxawoebw221m7ci54obc03m 286733 286732 2026-08-23T14:33:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Esercizio, sui pesi */ 286733 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` 7piwp87nfradvwcxeymooflk6s38inv 286734 286733 2026-08-23T14:36:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° Esercizio, sui pesi */ 286734 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` frlth08spfmksjcig2gnd3p931okdg3 286738 286734 2026-08-24T05:33:03Z Funzioni di correlazione 24136 286738 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` ``` ornmy1glb04c5rafwfns0h8wueeiy3u 286739 286738 2026-08-24T05:33:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° Esercizio, figure geometriche */ 286739 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in 8 parti uguali. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` ``` 2dc85tmuv4qpgp1ms2e326o0jd6hzia 286742 286739 2026-08-24T05:55:18Z Funzioni di correlazione 24136 286742 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in 8 parti uguali. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> ``` ``` 6u0r4iqkreds3zcvs1bdos9zed1elyh 286743 286742 2026-08-24T05:55:42Z Funzioni di correlazione 24136 286743 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le probabilità| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle Probabilità|corso1=}} '''(10 esercizi)''' ==1° Esercizio, estrazione palline== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un contenitore ci sono 100 palline: 40 nere e 60 bianche. '''Si estraggono contemporaneamente due palline. '''Si vuole calcolare: '''A) la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera; '''B) la probabilità di estrarre due palline bianche; '''C) la probabilità di estrarre due palline nere. Soluzione Poiché le due palline vengono estratte contemporaneamente, l'ordine non è importante. Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da 100 è dato dalle combinazioni: <math> \binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{100}{2} = \frac{100\cdot99}{2} = 4950 </math> Quindi ci sono 4950 possibili coppie di palline. A) Probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera Ci sono 60 palline bianche e 40 palline nere. Per formare una coppia composta da una pallina bianca e una nera, possiamo scegliere: <math> \binom{60}{1} </math> pallina bianca e <math> \binom{40}{1} </math> pallina nera. Il numero di coppie favorevoli è quindi: <math> \binom{60}{1}\binom{40}{1} = 60\cdot40 = 2400 </math> La probabilità è: <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{2400}{4950} </math> Semplificando la frazione: <math> \frac{2400}{4950} = \frac{16}{33} </math> In forma decimale: <math> \frac{16}{33} \approx 0{,}4848 </math> In percentuale: <math> 0{,}4848\cdot100 \approx 48{,}48\% </math> Quindi: <math> P(\text{una bianca e una nera}) \approx 48{,}48\% </math> B) Probabilità di estrarre due palline bianche Ci sono 60 palline bianche. Il numero di modi per scegliere 2 palline bianche tra 60 è: <math> \binom{60}{2} = \frac{60!}{2!(60-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{60}{2} = \frac{60\cdot59}{2} = 1770 </math> Quindi ci sono 1770 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due bianche}) = \frac{1770}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{1770}{4950} = \frac{59}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{59}{165} \approx 0{,}3576 </math> In percentuale: <math> 0{,}3576\cdot100 \approx 35{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due bianche}) \approx 35{,}76\% </math> C) Probabilità di estrarre due palline nere Ci sono 40 palline nere. Il numero di modi per scegliere 2 palline nere tra 40 è: <math> \binom{40}{2} = \frac{40!}{2!(40-2)!} </math> Semplificando: <math> \binom{40}{2} = \frac{40\cdot39}{2} = 780 </math> Quindi ci sono 780 coppie favorevoli. La probabilità è: <math> P(\text{due nere}) = \frac{780}{4950} </math> Semplificando: <math> \frac{780}{4950} = \frac{26}{165} </math> In forma decimale: <math> \frac{26}{165} \approx 0{,}1576 </math> In percentuale: <math> 0{,}1576\cdot100 \approx 15{,}76\% </math> Quindi: <math> P(\text{due nere}) \approx 15{,}76\% </math> Verifica del risultato I tre casi sono tutti i possibili risultati dell'estrazione di due palline: <math> P(\text{una bianca e una nera}) + P(\text{due bianche}) + P(\text{due nere}) = 1 </math> Sostituendo i valori: <math> \frac{2400}{4950} + \frac{1770}{4950} + \frac{780}{4950} = \frac{4950}{4950} </math> Quindi: <math> \frac{4950}{4950} = 1 </math> In percentuale: <math> 48{,}48\% + 35{,}76\% + 15{,}76\% = 100\% </math> Risultati finali <math> P(\text{una bianca e una nera}) = \frac{16}{33} \approx 48{,}48\% </math> <math> P(\text{due bianche}) = \frac{59}{165} \approx 35{,}76\% </math> <math> P(\text{due nere}) = \frac{26}{165} \approx 15{,}76\% </math> ==2° Esercizio, terna di dadi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''Consideriamo un gruppo di 3 dadi, con un unico lancio che probabilità ho di avere un totale di 13 ?''' Per tre dadi a sei facce equi, gli esiti possibili sono <math>6^3=216</math>. Il totale 13 si ottiene con le terne ordinate <math>(1,6,6)</math>, <math>(2,5,6)</math>, <math>(2,6,5)</math>, ecc. Il calcolo completo è: <math> </math> Consideriamo tre dadi a sei facce, equilibrati e indipendenti. Ogni dado può assumere uno dei valori da 1 a 6. Il numero totale di risultati possibili, considerando i dadi distinguibili, è <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216 </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> ==3° Esercizio, tiro a segno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Risolvere il problema: '''Probabilità: '''Al tiro al bersaglio 3 colpi su 10 sona andati a segno, che probabilità ho su ulteriori 10 tiri di avere 2 colpi a segno ? ''' <math>p=\frac{3}{10}=0{,}3</math> <math>q=1-p=1-0{,}3=0{,}7</math> La probabilità di avere esattamente 2 colpi a segno su 10 tiri è data dalla distribuzione binomiale: <math>P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}</math> Nel nostro caso: <math>n=10</math> <math>k=2</math> <math>p=0{,}3</math> <math>q=0{,}7</math> Quindi: <math>P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^8</math> Calcoliamo il coefficiente binomiale: <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!}</math> <math>\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45</math> Calcoliamo la potenza della probabilità di successo: <math>(0{,}3)^2=0{,}09</math> Calcoliamo la probabilità di 8 insuccessi: <math>(0{,}7)^8=0{,}05764801</math> Sostituendo tutti i valori: <math>P(X=2)=45\cdot0{,}09\cdot0{,}05764801</math> <math>P(X=2)=0{,}2334744405</math> Convertiamo il risultato in percentuale: <math>P(X=2)=0{,}2334744405\cdot100\%</math> <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 colpi a segno nei successivi 10 tiri è: <math>P(X=2)\approx23{,}35\%</math> == 4° Esercizio, sul rumore gaussiano== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema:''' '''Calcolare la probabilita che una tensione di rumore gaussiano di 1 V rms raggiunga livelli di apiezza pari a + 3 Vp''' <math> \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si considera una tensione di rumore gaussiano a media nulla, con valore efficace pari a: <math> V_{\mathrm{rms}} = \sigma = 1\ \mathrm{V} </math> Si vuole calcolare la percentuale di tempo durante la quale la tensione supera il livello positivo: <math> V = +3\ \mathrm{V} </math> Poiché il rumore è gaussiano e a media nulla, la tensione normalizzata è: <math> z = \frac{V-\mu}{\sigma} </math> con: <math> \mu = 0 </math> e quindi, per il livello di +3 V: <math> z = \frac{3\ \mathrm{V}-0}{1\ \mathrm{V}} = 3 </math> Il livello di +3 V corrisponde dunque a: <math> +3\sigma </math> Per una variabile gaussiana standard, la probabilità di superare un valore pari a 3 è: <math> P(Z>3)=1-\Phi(3) </math> dove <math>\Phi(z)</math> è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard. Il valore della funzione cumulativa a 3 deviazioni standard è: <math> \Phi(3)\approx 0.9986501 </math> Pertanto: <math> P(Z>3)=1-0.9986501 </math> <math> P(Z>3)\approx 0.0013499 </math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> == 5° Esercizio, date di compleanno== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In una classe ci sono 20 studenti. Di questi, 5 sono nati nel mese di giugno, valutare la probabilità che uno a caso sia nato a giugno ''' Scegliamo uno studente a caso. Calcoliamo la probabilità che lo studente scelto sia nato a giugno. Dati: <math>n = 20</math> <math>n_F = 5</math> Dove <math>n</math> è il numero totale degli studenti e <math>n_F</math> è il numero dei casi favorevoli. La formula della probabilità è: <math>P(A) = \frac{n_F}{n}</math> Sostituiamo i valori: <math>P(A) = \frac{5}{20}</math> Semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per 5: <math>P(A) = \frac{5 \div 5}{20 \div 5}</math> <math>P(A) = \frac{1}{4}</math> Convertiamo la frazione in numero decimale: <math>P(A) = 1 \div 4</math> <math>P(A) = 0{,}25</math> Convertiamo il numero decimale in percentuale: <math>P(A) = 0{,}25 \times 100</math> <math>P(A) = 25%</math> Quindi la probabilità che lo studente scelto a caso sia nato nel mese di giugno è: <math>P(A) = 25%</math> == 6° Esercizio, controllo di produzione== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> ==7° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> == 8° Esercizio, sui pesi== Probabilità: Risolvere il problema: Nel listato inferiore il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo: In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in 8 parti uguali. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> ``` ``` 5g7lj8x63a7xd3ac7mlk8pubgqw1kqt 0 37796 286748 2026-08-24T08:55:33Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "== Calcolo delle funzioni di Bessel== ==1° esercizio, ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math>..." 286748 wikitext text/x-wiki == Calcolo delle funzioni di Bessel== ==1° esercizio, ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> 1boc9ge4yutkbuakqog1i13n7cdh7y7 286749 286748 2026-08-24T08:59:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle funzioni di Bessel */ 286749 wikitext text/x-wiki == Calcolo delle funzioni di Bessel== Procedura per IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 5 step 1''' ==1° esercizio, ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> bzpnlo579ha2ll2zd019cri1mh3e3zy 286750 286749 2026-08-24T09:01:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle funzioni di Bessel */ 286750 wikitext text/x-wiki Procedura per IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 5 step 1''' ==1° esercizio, ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> kqbwlgxpgpzos3wzj2b6k30b4rf3f0n 286751 286750 2026-08-24T09:04:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio, ordine 0 */ 286751 wikitext text/x-wiki Procedura per IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 5 step 1''' ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 5 step 1''' ''' ordine 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ks8qqhoqq7ytd8gu7b2e90u6f38doxc 286752 286751 2026-08-24T09:05:06Z Funzioni di correlazione 24136 286752 wikitext text/x-wiki ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 5 step 1''' ''' ordine 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> gf4ut2lb6ey1bzhtaj2tkfstzfetvbk 286753 286752 2026-08-24T09:05:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio, ordine 0 */ 286753 wikitext text/x-wiki ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 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</math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> 0dwoqc9u3mv3anc30qjp6auchb2v26d 286755 286754 2026-08-24T09:09:53Z Funzioni di correlazione 24136 286755 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di essel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> 0x306wgxt1z9xv24o4yo1lxg02sxior 286756 286755 2026-08-24T09:10:27Z Funzioni di correlazione 24136 286756 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> 2f3m0ofme7806azbopgbrwcvw1s7vho 286757 286756 2026-08-24T09:11:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio, ordine 0 */ 286757 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> orvdit6866xoqum4dq7bgkp2rboaprz 286758 286757 2026-08-24T09:13:00Z Funzioni di correlazione 24136 286758 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel=== ==1° esercizio, ordine 0== Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> d6m236llsiwfsinzhv15s58710zjsue 286759 286758 2026-08-24T09:15:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio, ordine 0 */ 286759 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x e il loro numero sono liberi. Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> 87oq5pu0hha2b44srw4w911kxlp9b86 286760 286759 2026-08-24T09:16:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio, ordine 0 */ 286760 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura per incollare su IA in grassetto: '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> bxzc6ylgjyd1x6olkht4oevjc1cobmi