Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 102 37619 286803 286747 2026-08-25T15:43:59Z ~2026-31655-25 46663 286803 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 19 materie di matematica con più di 200 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[ Calcolo combinatorio]] * [[Le serie]] *[[ Calcolo delle probabilità]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] * [[Le funzioni di Bessel]] [[categoria: sonar]] ngtvyslee3w83fgbxu6y7dhhzyjx3xw 0 37796 286804 286802 2026-08-26T05:13:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie */ 286804 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: * (J_\nu(x)): funzione di Bessel di **prima specie**; * (Y_\nu(x)): funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie=== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> qid3ae5j41pwrxn9264qmfbecq9g1np 286805 286804 2026-08-26T05:14:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie */ 286805 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: * (J_\nu(x)): funzione di Bessel di **prima specie**; * (Y_\nu(x)): funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> lvj9p3h5drir0uzuialuwz69wvo4e35 286806 286805 2026-08-26T05:16:07Z Funzioni di correlazione 24136 286806 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): /math><funzione di Bessel di **prima specie**; * (Y_\nu(x)): funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> q2y0dtuhty8k11wah6y96tvj2qntsw7 286807 286806 2026-08-26T05:18:16Z Funzioni di correlazione 24136 286807 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> 6uljr9rqh077mufc64il5k7lh3hokby 286808 286807 2026-08-26T05:22:22Z Funzioni di correlazione 24136 286808 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> tox3qzj5nmeb07res0aod190t33sqce 286809 286808 2026-08-26T05:23:36Z Funzioni di correlazione 24136 286809 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' lleqxzuw0xof61nffdktch44dbxrjjs 286810 286809 2026-08-26T05:27:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° esercizio, ordine 0 */ 286810 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' 9ccww4rcqeufy1g8n1s6tfkset29gp0 286811 286810 2026-08-26T05:28:49Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286810|286810]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286811 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' lleqxzuw0xof61nffdktch44dbxrjjs 286812 286811 2026-08-26T05:32:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio, ordine 1 */ 286812 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Per la **funzione di Bessel di seconda specie** di ordine \(n=1\): $$ Y_1(x) $$ con \(x=2.5\), si ottiene: $$ \boxed{Y_1(2.5)\approx -0.145918} $$ Quindi il valore richiesto è **−0,1459** circa. pu24nc7wqj3nyqetb1o7m9t293f4dfe 286813 286812 2026-08-26T05:33:37Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286812|286812]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286813 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' lleqxzuw0xof61nffdktch44dbxrjjs 286814 286813 2026-08-26T05:38:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x) */ 286814 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' 9dapk8du7stvhoqwap2ofq7c0svptan 286815 286814 2026-08-26T05:39:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio, ordine 1 */ 286815 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' <math>Y_1(2.5)</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 può essere calcolata utilizzando la relazione <math>Y_\nu(x)=\frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}</math> Tuttavia, per <math>\nu=1</math> questa espressione presenta una forma indeterminata. Si utilizza quindi lo sviluppo in serie della funzione di Bessel di seconda specie. Per ordine intero <math>n=1</math>, si può utilizzare la relazione <math>Y_1(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\left(\frac{x}{2}\right)+\gamma\right)J_1(x)-\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1}}{k!(k+1)!}\left(H_k+H_{k+1}\right)</math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> sono i numeri armonici. Per <math>x=2.5</math>: <math>\frac{x}{2}=1.25</math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine 1 è <math>J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1}</math> Quindi <math>J_1(2.5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(1.25)^{2k+1}}{k!(k+1)!}</math> I primi termini sono <math>J_1(2.5)=1.25-\frac{1.25^3}{2}+\frac{1.25^5}{12}-\frac{1.25^7}{144}+\frac{1.25^9}{2880}-\cdots</math> <math>J_1(2.5)\approx1.25-0.9765625+0.25431315-0.04139209+0.00431459-\cdots</math> <math>J_1(2.5)\approx0.49709410</math> Per la funzione di Bessel di seconda specie si ottiene numericamente <math>Y_1(2.5)\approx-0.14591814</math> Pertanto il valore richiesto è <math>Y_1(2.5)\approx-0.14591814</math> Quindi la funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 calcolata nel punto <math>x=2.5</math> vale circa <math>-0.1459</math>. 2lrxwmzr6ex8o00vzrii0jlw7a1bql6 286816 286815 2026-08-26T05:44:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio, ordine 1 */ 286816 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> 485awpwqvqxaxcly5rzcg9tt1s3l2fa 286817 286816 2026-08-26T05:45:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio, ordine 1 */ 286817 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' khzq33u1m5ytc0giwsmbg9h4ee1zhn7 286818 286817 2026-08-26T05:51:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° esercizio, ordine 2 */ 286818 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> mm02f2ww8v0o7t06ul3ncxcjra2wnf9 286819 286818 2026-08-26T09:19:24Z Funzioni di correlazione 24136 286819 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempio d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)== 4ev1mbc12szzp4j6psmnj5wjr3gh5r8 286820 286819 2026-08-26T09:20:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x) */ 286820 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempio d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== i9ng2zp7y9oyukplk1qywor94yfd8zw 286821 286820 2026-08-26T09:28:46Z Funzioni di correlazione 24136 286821 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo direttività di una base acustica== Le basi acuatiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === La direttività naturale <ref> Caratteristica intrinseca del gruppo d'idrofoni</ref> di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == La direttività artificiale <ref>Caratteristica indotta dal'inserimento di elementi esterni (strutture di ritardo)</ref> di una cortina idrofonica circolare == I questo caso il suono colpisce la base secondo i raggi del cerchio v. figura 5 : [[File:besselcircolare2.jpg|thumb|left|400px|figura 5 Geometria base circolare]] {{clear}} La caratteristica di direttività nel piano orizzontale si sviluppa dopo la rimessa in coerenza<ref>La rimessa in coerenza consiste nel ritardare artificialmente la tensione degli idrofoni affinché, prima della loro somma, abbiano lo stesso tempo di ritardo</ref>. delle tensioni prodotte dai singoli idrofoni della base. Per il calcolo della caratteristica artificiale di una base circolare non è disponibile alcun algoritmo d'utilità pratica.. Un calcolo sufficientemente preciso della caratteristica di direttività si ottiene con sistemi di elaborazione numerica (calcolo automatico) sviluppando somme vettoriali con le coordinate di ciascun idrofono, la banda della frequenza di lavoro ed i ritardi ad esso attribuiti. == Esempio di risultati con calcolo automatico == Un esempio di risultati con calcolo automatico,<ref>Per calcolo automatico s'intende l'elaborazione su computer delle sommatorie dei vettori (tensioni idrofoniche) con modulo e fase, tenendo conto delle coordinate geometriche degli idrofoni della base cilindrica</ref> del modulo della direttività artificiale per una base circolare nel piano orizzontale, è mostrato per le seguenti variabili: Diametro <math> D = 1 \ m</math> Numero totale degli idrofoni <math> n = 36 </math> Numero degli idrofoni messi a calcolo per una direzione: <math> n_i = 12 </math> Frequenza inferiore della banda <math> F1 = 8000 \ Hz </math> Frequenza superiore della banda <math> F2 =16000 \ Hz </math> Direzione di puntamento di calcolo <math>\alpha = 0 </math>° Il modulo della curva di direttività è mostrato in figura 6: [[File:idro70.jpg|thumb|left|400px|figura 6 Direttività base circolare]] {{clear}} Il grafico mostra l’ampiezza normalizzata del modulo della somma delle tensioni idrofoniche rimesse in coerenza; per <math>\alpha = 0 </math>° si ha il massimo livello del lobo principale. Il primo zero si ha per <math>\alpha = 10 </math>° Una risalita, dopo il primo zero, di ampiezza <math> 0.25,</math> si ha per <math> \alpha = 12.5 </math>°, questo incremento è detto lobo secondario. La presenza così evidente del lobo secondario può nuocere<ref>La problematica in dettaglio discorsivo su Ref-3 para. 3.10</ref> alla ricerca del bersaglio che, in base alla differenza dei livelli tra i due lobi, in alcuni casi, può provocare ambiguità. La parziale soluzione del problema si ha applicando alle tensioni degli idrofoni opportune attenuazioni calibrate; questa procedura è detta di ponderazione. == Ponderazione delle ampiezze delle tensioni idrofoniche == La ponderazione dei livelli, o shading, è una metodologia che consente di modificare il profilo della caratteristica di direttività di un sistema idrofonico. L'impiego della ponderazione dei livelli si rende utile, sia quando si debbano ridurre le ampiezze dei lobi secondari della caratteristica di direttività, sia quando si debba allargare l'ampiezza del lobo principale di detta caratteristica. Entrambi gli effetti si ottengono calibrando opportunamente le ampiezze delle tensioni idrofoniche che concorrono alla formazione della direttività del sistema. Per il computo dei coefficienti di ponderazione sono disponibili numerosi algoritmi da scegliere in base alle esigenze progettuali. Un esempio del processo di ponderazione, mirato alla riduzione dell’ampiezza dei lobi secondari della direttività calcolata in precedenza, si articola sui dati della base ricevente già esposti; figura 6: In figura 7 la curva b) è la stessa mostrata in figura 6 tracciata per paragone con la nuova curva a). [[File:doppiadir70.jpg|thumb|left|400px| figura 7 Curve di direttività a confronto]] {{clear}} La curva a) del tracciato è ottenuta con procedimento analogo al precedente ma con sommatoria di vettori aventi modulo calibrato secondo una particolare legge di ponderazione <math> f(x)</math>; il risultato porta ad una riduzione dell'ampiezza dei lobi secondari nel rapporto <math> r = 1/ 0.09 </math> (circa <math> 20 \ dB </math>). Questo risultato comporta però un incremento della larghezza del lobo principale che passa da <math> \quad 2 \cdot 4.5 = 9 </math>° <math> \quad </math> a <math> \quad 2 \cdot 5.6 = 11.2 </math>°. == La funzione di ponderazione == La funzione di ponderazione <math>f(x) </math>, impiegata nel caso specifico, è detta del coseno quadrato e ha l'espressione: <math> f(x) = 0.333 + 0.667 \cdot \cos^2 (3.14159 \cdot x / L)</math> dove, secondo la figura 8: [[File:ponderazionex.jpg|thumb|left|400px|figura 8 Arco della base per 12 idrofoni]] {{clear}} <math>L =</math> lunghezza della corda della base che sottende i 12 idrofoni <math>x = </math> metà della distanza tra le singole coppie d'idrofoni Le ampiezze<ref>L'ampiezza si riferisce al modulo dei vettori relativi alle tensioni idrofoniche</ref> delle tensioni idrofoniche, ponderate secondo la <math>f(x) </math>, sono riportate di seguito: *idro 1 :<math> f(x)= 0.982 </math> *idro 2: <math>f(x)= 0.849</math> *idro 3: <math>f(x)= 0.650</math> *idro 4: <math>f(x)= 0.471 </math> *idro 5: <math>f(x)= 0.364</math> *idro 6: <math>f(x)= 0.333</math> I valori dei moduli degli idrofoni 1; 2; 3; 4; 5 ;6 sono attribuiti anche agli idrofoni simmetrici 36; 35; 34; 33; 32; 31 == Guadagno di direttività della cortina circolare == Il guadagno di direttività <math> G ( f ) </math> della cortina esprime l'entità dell'abbattimento del rumore<math> ( N ) </math> rispetto al livello del segnale <math> ( S )</math>. Il calcolo del guadagno di cortina circolare non ha riscontro in alcun algoritmo codificato, si deve procedere per analogia con algoritmo noto. Consideriamo in figura 6 la corda <math> L </math>, proiezione dell'arco di cerchio, come una base rettilinea per la quale si può approssimarne il computo con l'algoritmo: <math> G(f) = \left [\frac{1}{ (1/n) + \sum_{p=1}^j [(n-p) \cdot \sin \ (n \cdot p \cdot \pi \cdot d/\lambda) / (n^2 \cdot p \cdot \pi \cdot d/\lambda)]} \right] </math> Dove: <math> d = </math> si assume come media delle distanze tra le proiezioni degli idrofoni sulla corda <math> n = </math> numero degli idrofoni <math>j = n - 1 </math> <math>c = </math> velocità del suono in m / s <math>f = </math>frequenza media della banda <math>\lambda = c / f </math> Osservazione: <math>G(f) </math> è il reciproco del fattore di direttività. b9x77lkgxjsb8ub3zi287vtl54ccvnd 286822 286821 2026-08-26T09:33:23Z Funzioni di correlazione 24136 286822 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo direttività di una base acustica== Le basi acuatiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === La direttività naturale o caratteristica del gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} 8d5gdj4aclyea5fcv35qufbtwd01oj4 286823 286822 2026-08-26T09:34:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° esercizio, calcolo direttività di una base acustica */ 286823 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo direttività di una base acustica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === La direttività naturale o caratteristica del gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} f8g491gb1caumgwysv56rde9idakg5k 286824 286823 2026-08-26T09:38:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° esercizio, calcolo direttività di una base acustica */ 286824 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} 3murjlk3e12zqchc5341kl5dts1ie98 286825 286824 2026-08-26T09:40:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica */ 286825 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} "" 10° esercizio ....= 6mr3m3y5sqrzefcj2oldzomf28g3faa 286826 286825 2026-08-26T09:41:04Z Funzioni di correlazione 24136 286826 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} "" 10° esercizio ....= grhxxwv6otxlfb3y48tlzh5zqkeg7fo 286827 286826 2026-08-26T11:02:53Z Funzioni di correlazione 24136 286827 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei degnali MF== Certo. Un esempio molto utile è l’analisi di un segnale modulato in frequenza (FM), dove le funzioni di Bessel compaiono naturalmente nello spettro del segnale. Esempio: segnale FM Consideriamo 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. 7ww990k95gx1lc3hde2ylevobfct5vl 286828 286827 2026-08-26T11:04:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei degnali MF */ 286828 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. cus77g2r9pd5hrxhzchgn7rne2yolm3 286829 286828 2026-08-26T11:05:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF */ 286829 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. im38vk995955term4y3716cocgwmlmc 286830 286829 2026-08-26T11:07:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF */ 286830 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo una clasica espressione di un segnale modulato in frequenza: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. cxy8c6zegf1238q6et68so89zw3tmj0 286831 286830 2026-08-26T11:08:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF */ 286831 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo una clasica espressione di un segnale modulato in frequenza: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. 70v3giz68mrb8d251pzqghzzmqk98yk 286832 286831 2026-08-26T11:09:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF */ 286832 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo la clasica espressione di un segnale modulato in frequenza: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. 6w7yp4t5ilywv48g3yddsvz1yys9x7a 286833 286832 2026-08-26T11:14:56Z Funzioni di correlazione 24136 286833 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** '''(10 esercizi)''' ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo la clasica espressione di un segnale modulato in frequenza: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. fuuwk1qkue3tryqqhs6h8cyd0qpw52j 286834 286833 2026-08-26T11:16:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie ordine zero: Jn(x) */ 286834 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Calcolo delle funzioni di Bessel || avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} Le **funzioni di Bessel** sono una famiglia di funzioni matematiche che compaiono quando si risolvono alcune **equazioni differenziali**, soprattutto in problemi con **simmetria cilindrica o circolare**. In particolare, sono soluzioni dell’**equazione di Bessel**: [ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ] Le principali sono: *<math> (J_\nu(x)): </math> funzione di Bessel di **prima specie**; * <math>(Y_\nu(x)):</math> funzione di Bessel di **seconda specie**. Si trovano, per esempio, nello studio delle **vibrazioni di membrane circolari**, della **propagazione delle onde**, dell'**elettromagnetismo** e della **conduzione del calore**. 👉 In breve: **sono un po' come seno e coseno, ma adatti a problemi con geometria circolare/cilindrica.** '''(10 esercizi)''' ===Sul calcolo delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)=== ==1° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0 to 10 step 1''' ''' ordine n = 0''' <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> ==3° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 8 step 2''' ''' ordine n = 2''' ```text <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+3)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+2)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+2}</math> <math>J_2(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{3072}-\frac{x^8}{184320}+\frac{x^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>x=1,\ 3,\ 5,\ 7</math> <math>J_2(1)=\frac{1^2}{8}-\frac{1^4}{96}+\frac{1^6}{3072}-\frac{1^8}{184320}+\frac{1^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>J_2(3)=\frac{3^2}{8}-\frac{3^4}{96}+\frac{3^6}{3072}-\frac{3^8}{184320}+\frac{3^{10}}{17694720}-\cdots</math> <math>J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>J_2(5)=\frac{5^2}{8}-\frac{5^4}{96}+\frac{5^6}{3072}-\frac{5^8}{184320}+\frac{5^{10}}{17694720}-\frac{5^{12}}{2322432000}+\cdots</math> <math>J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>J_2(7)=\frac{7^2}{8}-\frac{7^4}{96}+\frac{7^6}{3072}-\frac{7^8}{184320}+\frac{7^{10}}{17694720}-\frac{7^{12}}{2322432000}+\frac{7^{14}}{390168576000}-\cdots</math> <math>J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>x=1\Rightarrow J_2(1)\approx0.1149034849</math> <math>x=3\Rightarrow J_2(3)\approx0.4860912606</math> <math>x=5\Rightarrow J_2(5)\approx0.0465651163</math> <math>x=7\Rightarrow J_2(7)\approx-0.3014172201</math> <math>\begin{array}{c|c} x & J_2(x)\\ \hline 1 & 0.1149034849\\ 3 & 0.4860912606\\ 5 & 0.0465651163\\ 7 & -0.3014172201 \end{array}</math> ==4° esercizio, ordine 3== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.2''' ''' ordine n = 3''' <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ==Sul calcolo delle funzioni di Bessel di seconda specie: Yn(x)== ==6° esercizio, ordine 0== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 5''' ''' ordine n = 0''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 0 per <math>x=5</math> La funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>0</math> si indica con <math>Y_0(x)</math>. Per il calcolo si può utilizzare la relazione <math> Y_0(x)=\frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{x}{2}+\gamma\right)J_0(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> dove <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni e <math>H_k</math> è il numero armonico di ordine <math>k</math>: <math> \gamma\approx0.5772156649 </math> <math> H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m} </math> Per <math>x=5</math> si ha <math> \frac{x}{2}=\frac{5}{2}=2.5 </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> quindi <math> J_0(5)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} </math> I primi termini sono <math> J_0(5)=1-\frac{(2.5)^2}{(1!)^2}+\frac{(2.5)^4}{(2!)^2}-\frac{(2.5)^6}{(3!)^2}+\frac{(2.5)^8}{(4!)^2}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> Il primo termine della funzione <math>Y_0</math> è quindi <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln\frac{5}{2}+\gamma\right)J_0(5) </math> <math> \frac{2}{\pi}\left(\ln(2.5)+0.5772156649\right)(-0.1775967713) \approx-0.219753 </math> Per la serie rimanente si considerano i numeri armonici <math> H_1=1 </math> <math> H_2=\frac{3}{2} </math> <math> H_3=\frac{11}{6} </math> <math> H_4=\frac{25}{12} </math> e si ottiene <math> \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}H_k}{(k!)^2}(2.5)^{2k} \approx-0.088765 </math> Pertanto <math> Y_0(5)\approx-0.219753-0.088765 </math> e quindi <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> ==7° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 2.5''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di seconda specie di ordine 1 per <math>x=2{,}5</math>. La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero <math>n</math> può essere calcolata mediante la serie <math> Y_n(z)=-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{-n}}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z^2}{4}\right)^k+\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{\left(\frac{z}{2}\right)^n}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(n+k+1)\right)\frac{\left(-\frac{z^2}{4}\right)^k}{k!(n+k)!} </math> Per <math>n=1</math> e <math>z=2{,}5</math> si ottiene <math> Y_1(2{,}5)=-\frac{\left(\frac{2{,}5}{2}\right)^{-1}}{\pi}+\frac{2}{\pi}J_1(2{,}5)\ln\frac{2{,}5}{2}-\frac{\frac{2{,}5}{2}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{\left(-\frac{(2{,}5)^2}{4}\right)^k}{k!(k+1)!} </math> Si calcolano innanzitutto le quantità necessarie: <math> \frac{2{,}5}{2}=1{,}25 </math> <math> \frac{(2{,}5)^2}{4}=1{,}5625 </math> <math> \ln(1{,}25)=0{,}2231435513 </math> <math> J_1(2{,}5)=0{,}4970941025 </math> La funzione digamma per gli interi positivi soddisfa <math> \psi(k+1)=H_k-\gamma </math> dove <math>H_k</math> è il numero armonico e <math>\gamma</math> è la costante di Eulero-Mascheroni. Il termine della somma per <math>k=0</math> è <math> \left(\psi(1)+\psi(2)\right)=-0{,}1544313298 </math> Per <math>k=1</math> si ha <math> -\frac{1{,}345568670}{2}(1{,}5625)=-1{,}051225523 </math> Per <math>k=2</math> si ha <math> \frac{2{,}178902003}{12}(1{,}5625)^2\approx0{,}443299 </math> Per <math>k=3</math> si ha <math> -\frac{2{,}762235336}{144}(1{,}5625)^3\approx-0{,}073179 </math> Per <math>k=4</math> si ha <math> \frac{3{,}212235336}{2880}(1{,}5625)^4\approx0{,}006647 </math> Per <math>k=5</math> si ha <math> -\frac{3{,}578902003}{86400}(1{,}5625)^5\approx-0{,}000386 </math> Per <math>k=6</math> si ha <math> \frac{3{,}888425813}{3628800}(1{,}5625)^6\approx0{,}000016 </math> Pertanto la somma converge a <math> \sum_{k=0}^{\infty}\left(\psi(k+1)+\psi(k+2)\right)\frac{(-1{,}5625)^k}{k!(k+1)!}\approx-0{,}82926 </math> Il primo termine della formula vale <math> -\frac{(1{,}25)^{-1}}{\pi}=-\frac{0{,}8}{\pi}\approx-0{,}254647909 </math> Il secondo termine vale <math> \frac{2}{\pi}(0{,}4970941025)(0{,}2231435513)\approx0{,}07062 </math> Il terzo termine vale <math> -\frac{1{,}25}{\pi}(-0{,}82926)\approx0{,}32994 </math> Sostituendo tutti i termini si ottiene <math> Y_1(2{,}5)\approx-0{,}254647909+0{,}07062+0{,}329946 </math> <math> Y_1(2{,}5)\approx0{,}145918138 </math> Quindi il valore della funzione di Bessel di seconda specie di ordine <math>1</math> per <math>x=2{,}5</math> è <math> Y_1(2{,}5)=0{,}14591813796678577 </math> ==8° esercizio, ordine 2== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel seconda specie''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 0.5''' ''' ordine n = 2''' <math> Y_2(x)=\frac{2}{x}Y_1(x)-Y_0(x) </math> Per <math>x=0.5</math> si calcolano prima le funzioni di Bessel di seconda specie di ordine 0 e 1: <math> Y_0(0.5)\approx -0.44451873350670656 </math> <math> Y_1(0.5)\approx -1.471472392670243 </math> Applicando la relazione di ricorrenza: <math> Y_2(0.5)=\frac{2}{0.5}Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> <math> Y_2(0.5)=4Y_1(0.5)-Y_0(0.5) </math> Sostituendo i valori numerici: <math> Y_2(0.5)=4(-1.471472392670243)-(-0.44451873350670656) </math> <math> Y_2(0.5)=-5.885889570680972+0.44451873350670656 </math> <math> Y_2(0.5)=-5.441370837174265 </math> Quindi: <math> Y_2(0.5)\approx -5.441370837174265 </math> ==Esempi d'applicazione delle funzioni di Bessel di prima specie: Jn(x)== == 9° esercizio, calcolo della direttività di una base acustica cilindrica== Le basi acudstiche cilindriche sono un insieme d'idrofoni disposti secondo la superficie di un cilindro in modo che possano ricevere le onde acustiche in ugual modo per tutti i <math>360</math>° dell’orizzonte. Si differenziano dalle basi idrofoniche conformi utilizzate sui sottomarini per le loro dimensioni ridotte dovute agli spazi limitati disponibili sui battelli. Le ridotte dimensioni ne limitano le capacità d’ascolto rispetto alle prime. === Le caratteristiche di direttività delle basi cilindriche === La caratteristica di direttività di una base idrofonica è la variazione della sensibilità in funzione della direzione della sorgente acustica. Le basi cilindriche, vedi figura 1, presentano due caratteristiche di direttività diverse; l’una quando il suono proviene dalla direzione perpendicolare al piano di appoggio del cilindro, l’altra quando il suono proviene secondo i suoi raggi ; in entrambi i casi il suono illumina una circonferenza e si può parlare di cortine idrofoniche circolari. Nel primo caso si parla di direttività naturale nel piano verticale, nel secondo di direttività artificiale nel piano orizzontale. [[File:basebn.jpg|thumb|left|400px|figura 1 Base cilindrica]] {{clear}} === Determinazione della curva di direttività naturale di un gruppo d'idrofoni di una cortina idrofonica circolare === La caratteristica si sviluppa quando i contributi di tensione dei singoli idrofoni sono sommati tra loro e la loro somma viene misurata. In questo caso il suono colpisce la base circolare in direzione perpendicolare al suo piano d'appoggio v. figura 2: [[File:besselcircolare.jpg|thumb|400px|left|figura 2 Geometria base circolare]] {{clear}} Questo sistema è stato impiegato nel passato per le teste acustiche dei siluri autocercanti, non è adatto all'impiego sui sonar delle navi e dei sottomarini. Questo tipo di direttività, indicato con <math> C(a) </math>, è governato dall'algoritmo espresso da una funzione di Bessel ordine zero: <math>C(a) = Jo (Z) </math> <math> J_0 = \int_{0}^{\pi} { \cos \ [z\cdot \cos \ ( q ) ]}{}\, d q </math> Dove <math> z = [ (6.28318 \cdot d / \lambda )\cdot \sin \ (a/2) ] </math> in cui: <math> d = </math> diametro della base <math> a = </math> angolo di provenienza del suono rispetto all'asse del piano dove giace la base <math> \lambda = 1530 / f </math> <math> f = </math> frequenza media geometrica della banda delle frequenze ricevute. Il calco di <math> C(a) </math> è valido se sussiste la condizione <math> n \ge ( 6.28 \cdot d / \lambda ) + 2 </math> dove <math> n </math> è il numero degli idrofoni che compongono la base Un grafico per la <math>C(a)</math>, calcolato per: <math>d = 1 \ m</math> <math>n = 32</math> <math>F1 = 1000 \ Hz</math> <math>F2 = 3000 \ Hz</math> <math>\lambda = (F1 \cdot F2) / 1530 </math> <math>a =</math> variabile da <math> 0 </math>° ad <math> 80</math>° è mostrato in figura 3 : [[File:besseldirettività.jpg|thumb|left|400px|figura 3 Direttività naturale base circolare]] {{clear}} La curva mostra che la funzione cambia segno passando da valori positivi a negativi; tale cambiamento indica una inversione di fase. Se misurassimo strumentalmente il livello di tensione in uscita dal dispositivo che genera la direttività naturale non ne percepiremmo la variazione di fase ma soltanto la variazione d'ampiezza (modulo della somma) così come in figura 4 : [[File:besselcapovolta.jpg|thumb|left|figura 4 Modulo della curva di direttività naturale base circolare]] {{clear}} == 10° esercizio, le funzioni di Bessel nell'analisi dei segnali MF== Consideriamo la clasica espressione di un segnale modulato in frequenza: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑐 𝑡 + 𝛽 sin ⁡ ( 𝜔 𝑚 𝑡 ) ) dove: 𝐴 è l'ampiezza della portante; 𝜔 𝑐 è la frequenza angolare della portante; 𝜔 𝑚 è quella del segnale modulante; 𝛽 è l'indice di modulazione. Grazie all'espansione di Jacobi-Anger, il segnale può essere scritto come una somma di armoniche: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝐴 ∑ 𝑛 = − ∞ + ∞ 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) cos ⁡ ( ( 𝜔 𝑐 + 𝑛 𝜔 𝑚 ) 𝑡 ) dove 𝐽 𝑛 ( 𝛽 ) è la funzione di Bessel di prima specie di ordine 𝑛 . Quindi le funzioni di Bessel ci permettono di determinare l'ampiezza delle diverse componenti spettrali del segnale FM. Esempio numerico Supponiamo: 𝐴 = 1 , 𝑓 𝑐 = 100   kHz , 𝑓 𝑚 = 10   kHz , 𝛽 = 2 Le componenti dello spettro si trovano a: 𝑓 𝑐 + 𝑛 𝑓 𝑚 e le loro ampiezze sono proporzionali a 𝐽 𝑛 ( 2 ) . Per esempio: 𝐽 0 ( 2 ) ≈ 0.224 𝐽 1 ( 2 ) ≈ 0.577 𝐽 2 ( 2 ) ≈ 0.353 Pertanto avremo, tra le altre, componenti a: 100   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 0 ( 2 ) ; 110   kHz e 90   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 1 ( 2 ) ; 120   kHz e 80   kHz , con ampiezza proporzionale a 𝐽 2 ( 2 ) . In questo modo, le funzioni di Bessel permettono di prevedere come l'energia del segnale elettrico si distribuisce tra portante e bande laterali. Perché è utile nel trattamento dei segnali? Questo risultato viene utilizzato, ad esempio, per: analizzare lo spettro dei segnali FM; progettare filtri e sistemi di comunicazione; determinare la larghezza di banda necessaria; calcolare quanta potenza rimane nella portante e quanta viene trasferita alle bande laterali. In sostanza, le funzioni di Bessel trasformano un problema apparentemente complesso di analisi di un segnale modulato in un modo semplice per calcolare le ampiezze delle sue componenti in frequenza. 7a58ynrtusuheizpowd8lbzpotpv1ru