Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 32658 286892 286799 2026-08-29T08:10:38Z Funzioni di correlazione 24136 286892 wikitext text/x-wiki <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> == 1° esercizio ris. sen^x - 1 = 0== Certo. Ecco il procedimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione racchiusa nei tag <math>...</math> e senza \boxed. Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Calcolo unzioni di Bessel seconda specie=== == Calcolo delle funzioni di Bessel== ==1° esercizio pe ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> == 4° Bessel== <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} 7so2hm9m0ea8m86r5q95yt9h2rpstpe 286893 286892 2026-08-29T08:19:20Z Funzioni di correlazione 24136 286893 wikitext text/x-wiki <math> Y_0(5)\approx-0.308517625 </math> Il risultato finale è <math> {Y_0(5)\approx-0.308517625} </math> {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio ris. sen^x - 1 = 0== Certo. Ecco il procedimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione racchiusa nei tag <math>...</math> e senza \boxed. Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> ==5° esercizio, ordine 4== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 4.8''' ''' ordine n = 4''' Calcolo della funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 per <math>x=4.8</math>. La funzione di Bessel di prima specie di ordine intero <math>n</math> è definita dalla serie: <math> J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} </math> Per <math>n=4</math> e <math>x=4.8</math> si ottiene: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(4+k)!}\left(\frac{4.8}{2}\right)^{4+2k} </math> Poiché: <math> \frac{4.8}{2}=2.4 </math> segue: <math> J_4(4.8)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2.4^{4+2k}}{k!(4+k)!} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. Per <math>k=0</math>: <math> T_0=\frac{2.4^4}{4!} </math> <math> 2.4^4=33.1776 </math> <math> 4!=24 </math> <math> T_0=\frac{33.1776}{24}=1.3824 </math> Per <math>k=1</math>: <math> T_1=-\frac{2.4^6}{1!\,5!} </math> <math> 2.4^6=191.102976 </math> <math> 5!=120 </math> <math> T_1=-\frac{191.102976}{120}=-1.5925248 </math> Per <math>k=2</math>: <math> T_2=\frac{2.4^8}{2!\,6!} </math> <math> 2.4^8=1100.75565056 </math> <math> 2!\,6!=2\cdot720=1440 </math> <math> T_2=\frac{1100.75565056}{1440}=0.7644136462 </math> Per <math>k=3</math>: <math> T_3=-\frac{2.4^{10}}{3!\,7!} </math> <math> 2.4^{10}=6340.3541472256 </math> <math> 3!\,7!=6\cdot5040=30240 </math> <math> T_3=-\frac{6340.3541472256}{30240}=-0.2096671345 </math> Per <math>k=4</math>: <math> T_4=\frac{2.4^{12}}{4!\,8!} </math> <math> 2.4^{12}=36520.4398872195 </math> <math> 4!\,8!=24\cdot40320=967680 </math> <math> T_4=\frac{36520.4398872195}{967680}=0.0377441583 </math> Per <math>k=5</math>: <math> T_5=-\frac{2.4^{14}}{5!\,9!} </math> <math> 2.4^{14}=210357.733769583 </math> <math> 5!\,9!=120\cdot362880=43545600 </math> <math> T_5=-\frac{210357.733769583}{43545600}=-0.0048317088 </math> Per <math>k=6</math>: <math> T_6=\frac{2.4^{16}}{6!\,10!} </math> <math> 2.4^{16}=1211650.9460136 </math> <math> 6!\,10!=720\cdot3628800=2612736000 </math> <math> T_6=\frac{1211650.9460136}{2612736000}=0.0004638179 </math> Per <math>k=7</math>: <math> T_7=-\frac{2.4^{18}}{7!\,11!} </math> <math> 2.4^{18}=6975030.6503184 </math> <math> 7!\,11!=5040\cdot39916800=201180672000 </math> <math> T_7=-\frac{6975030.6503184}{201180672000}=-0.0000346708 </math> Sommando i termini calcolati: <math> J_4(4.8)\approx1.3824-1.5925248+0.7644136462-0.2096671345+0.0377441583-0.0048317088+0.0004638179-0.0000346708 </math> <math> J_4(4.8)\approx0.3779633083 </math> I termini successivi sono sempre più piccoli e modificano il risultato solo nelle cifre decimali successive. Quindi: <math> J_4(4.8)\approx0.3779633 </math> Pertanto, la funzione di Bessel di prima specie di ordine 4 calcolata nel punto <math>x=4.8</math> vale circa <math>0.3779633</math>. ===Calcolo unzioni di Bessel seconda specie=== == Calcolo delle funzioni di Bessel== ==1° esercizio pe ordine 0== <math> J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} </math> <math> J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2(2!)^2}-\frac{x^6}{2^6(3!)^2}+\frac{x^8}{2^8(4!)^2}-\cdots </math> Per calcolare i valori per <math>x=0,1,\ldots,10</math> si usa la serie di potenze, sommando un numero sufficiente di termini fino a ottenere la precisione desiderata. <math> J_0(0)=1 </math> <math> J_0(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}-\frac{1}{2304}+\frac{1}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(1)\approx0.7651976866 </math> <math> J_0(2)=1-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{36}+\frac{1}{576}-\cdots </math> <math> J_0(2)\approx0.2238907791 </math> <math> J_0(3)=1-\frac{9}{4}+\frac{81}{64}-\frac{729}{2304}+\frac{6561}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(3)\approx-0.2600519549 </math> <math> J_0(4)=1-4+4-\frac{64}{36}+\frac{256}{576}-\cdots </math> <math> J_0(4)\approx-0.3971498099 </math> <math> J_0(5)=1-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}-\frac{15625}{2304}+\frac{390625}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(5)\approx-0.1775967713 </math> <math> J_0(6)=1-9+\frac{81}{4}-\frac{729}{36}+\frac{6561}{576}-\cdots </math> <math> J_0(6)\approx0.1506452573 </math> <math> J_0(7)=1-\frac{49}{4}+\frac{2401}{64}-\frac{117649}{2304}+\frac{5764801}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(7)\approx0.3000792705 </math> <math> J_0(8)=1-16+64-\frac{4096}{36}+\frac{65536}{576}-\cdots </math> <math> J_0(8)\approx0.1716508071 </math> <math> J_0(9)=1-\frac{81}{4}+\frac{6561}{64}-\frac{531441}{2304}+\frac{43046721}{147456}-\cdots </math> <math> J_0(9)\approx-0.0903336112 </math> <math> J_0(10)=1-25+\frac{625}{4}-\frac{15625}{36}+\frac{390625}{576}-\cdots </math> <math> J_0(10)\approx-0.2459357645 </math> I valori ottenuti sono quindi: <math> \begin{array}{c|c} x & J_0(x)\\ \hline 0 & 1.0000000000\\ 1 & 0.7651976866\\ 2 & 0.2238907791\\ 3 & -0.2600519549\\ 4 & -0.3971498099\\ 5 & -0.1775967713\\ 6 & 0.1506452573\\ 7 & 0.3000792705\\ 8 & 0.1716508071\\ 9 & -0.0903336112\\ 10 & -0.2459357645 \end{array} </math> La funzione di Bessel di prima specie di ordine zero è anche soluzione dell'equazione differenziale di Bessel: <math> x^2y''+xy'+x^2y=0 </math> con le condizioni iniziali: <math> y(0)=1 </math> <math> y'(0)=0 </math> Pertanto la soluzione regolare nell'origine è: <math> y=J_0(x) </math> ==2° esercizio, ordine 1== I valori di x, il loro numero, l'intervallo tra i numeri sono liberi. Procedura: incollare su IA la dizione in grassetto: '''Calcola funzione di Bessel''' '''Inserire il valore dell'argomento x = 1 to 5 step 1''' ''' ordine n = 1''' Calcolo della funzione di Bessel di ordine 1 per x = 1, 2, 3, 4, 5. La funzione di Bessel del primo tipo di ordine 1 è definita dalla serie di potenze <math> J_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1} </math> Sviluppando i primi termini si ottiene <math> J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384}-\frac{x^7}{18432}+\frac{x^9}{1474560}-\cdots </math> Per <math>x=1</math>: <math> J_1(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}-\frac{1}{18432}+\frac{1}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> Per <math>x=2</math>: <math> J_1(2)=1-\frac{8}{16}+\frac{32}{384}-\frac{128}{18432}+\frac{512}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> Per <math>x=3</math>: <math> J_1(3)=\frac{3}{2}-\frac{27}{16}+\frac{243}{384}-\frac{2187}{18432}+\frac{19683}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> Per <math>x=4</math>: <math> J_1(4)=2-\frac{64}{16}+\frac{1024}{384}-\frac{16384}{18432}+\frac{262144}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> Per <math>x=5</math>: <math> J_1(5)=\frac{5}{2}-\frac{125}{16}+\frac{3125}{384}-\frac{78125}{18432}+\frac{1953125}{1474560}-\cdots </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> I valori calcolati sono quindi <math> J_1(1)\approx0.4400505857 </math> <math> J_1(2)\approx0.5767248078 </math> <math> J_1(3)\approx0.3390589585 </math> <math> J_1(4)\approx-0.0660433280 </math> <math> J_1(5)\approx-0.3275791376 </math> Tabella riassuntiva: <math> \begin{array}{c|c} x&J_1(x)\\ \hline 1&0.4400505857\\ 2&0.5767248078\\ 3&0.3390589585\\ 4&-0.0660433280\\ 5&-0.3275791376 \end{array} </math> == 4° Bessel== <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+4)}\left(\frac{4.2}{2}\right)^{2k+3} </math> <math> J_3(4.2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+3)!}(2.1)^{2k+3} </math> Calcoliamo i primi termini della serie. <math> k=0:\qquad \frac{(2.1)^3}{3!}=\frac{9.261}{6}=1.5435 </math> <math> k=1:\qquad -\frac{(2.1)^5}{1!\,4!}=-\frac{40.84101}{24}=-1.70170875 </math> <math> k=2:\qquad \frac{(2.1)^7}{2!\,5!}=\frac{180.1088541}{240}=0.75045355875 </math> <math> k=3:\qquad -\frac{(2.1)^9}{3!\,6!}=-\frac{794.280408591}{4320}=-0.183861205692 </math> <math> k=4:\qquad \frac{(2.1)^{11}}{4!\,7!}=\frac{3502.775400287}{120960}=0.028958? </math> <math> k=5:\qquad -\frac{(2.1)^{13}}{5!\,8!}=-\frac{15447.239?}{4838400}\approx-0.003192 </math> Per ottenere il valore numerico con maggiore precisione si può continuare la serie: <math> J_3(4.2)\approx1.5435-1.70170875+0.75045355875-0.183861205692+0.028958\ldots-0.003192\ldots+\cdots </math> <math> J_3(4.2)\approx0.434? </math> Il valore numerico corretto è: <math> J_3(4.2)\approx0.435? </math> ==10° Esercizio, valutazione di tempi== In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Problema''' '''Un autobus arriva a una fermata ogni 10 minuti. Supponiamo che un passeggero arrivi alla fermata in un istante scelto casualmente e uniformemente tra due arrivi consecutivi dell'autobus.''' '''Sia <math>T</math> il tempo di attesa del passeggero, espresso in minuti.''' '''1. Determinare la distribuzione di probabilità di <math>T</math>.''' '''2. Calcolare la probabilità che il passeggero debba aspettare meno di 3 minuti.''' '''3. Calcolare la probabilità che debba aspettare almeno 7 minuti.''' '''4. Calcolare il tempo medio di attesa.''' '''5. Calcolare la probabilità che, in un gruppo di 5 passeggeri indipendenti, almeno 3 debbano aspettare meno di 3 minuti.''' Soluzione Poiché l'autobus arriva ogni 10 minuti e l'istante di arrivo del passeggero è casuale, il tempo di attesa può assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 10 minuti. La variabile casuale <math>T</math> segue quindi una distribuzione uniforme continua nell'intervallo <math>[0,10]</math>. La densità di probabilità è <math> f_T(t)= \begin{cases} \frac{1}{10} & 0\leq t\leq 10,\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} </math> 1. Probabilità di aspettare meno di 3 minuti Per una variabile uniforme continua, la probabilità che <math>T</math> appartenga a un intervallo è data dal rapporto tra la lunghezza dell'intervallo considerato e la lunghezza totale. L'intervallo favorevole è <math>[0,3)</math>, che ha lunghezza 3. L'intervallo totale è <math>[0,10]</math>, che ha lunghezza 10. Pertanto <math> P(T<3)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T<3)=0,3 </math> cioè <math> P(T<3)=30\% </math> 2. Probabilità di aspettare almeno 7 minuti Il passeggero deve aspettare almeno 7 minuti quando <math> T\geq 7 </math> L'intervallo favorevole è <math>[7,10]</math>, che ha lunghezza <math> 10-7=3 </math> Pertanto <math> P(T\geq 7)=\frac{3}{10} </math> e quindi <math> P(T\geq 7)=0,3=30\% </math> Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la probabilità complementare: <math> P(T\geq 7)=1-P(T<7) </math> Poiché <math> P(T<7)=\frac{7}{10} </math> si ottiene <math> P(T\geq 7)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} </math> 3. Tempo medio di attesa Per una variabile casuale uniforme continua nell'intervallo <math>[a,b]</math>, il valore atteso è <math> E(T)=\frac{a+b}{2} </math> Nel nostro caso <math> a=0 </math> e <math> b=10 </math> quindi <math> E(T)=\frac{0+10}{2}=5 </math> Il tempo medio di attesa è quindi <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> 4. Probabilità per un gruppo di 5 passeggeri Consideriamo ora 5 passeggeri indipendenti. La probabilità che un singolo passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> p=0,3 </math> La probabilità che un passeggero aspetti almeno 3 minuti è <math> 1-p=0,7 </math> Sia <math>X</math> il numero di passeggeri, tra i 5 considerati, che aspettano meno di 3 minuti. La variabile <math>X</math> segue una distribuzione binomiale con parametri <math> n=5 </math> e <math> p=0,3 </math> quindi <math> X\sim\operatorname{Bin}(5,0,3) </math> Vogliamo calcolare la probabilità che almeno 3 passeggeri aspettino meno di 3 minuti: <math> P(X\geq3) </math> Gli eventi possibili sono <math> X=3 </math> oppure <math> X=4 </math> oppure <math> X=5 </math> Pertanto <math> P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) </math> Per la distribuzione binomiale vale <math> P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} </math> Calcoliamo separatamente i tre termini. Per <math>X=3</math>: <math> P(X=3)=\binom{5}{3}(0,3)^3(0,7)^2 </math> Poiché <math> \binom{5}{3}=10 </math> si ha <math> P(X=3)=10(0,3)^3(0,7)^2 </math> Calcolando le potenze: <math> (0,3)^3=0,027 </math> e <math> (0,7)^2=0,49 </math> quindi <math> P(X=3)=10\cdot0,027\cdot0,49 </math> <math> P(X=3)=0,1323 </math> Per <math>X=4</math>: <math> P(X=4)=\binom{5}{4}(0,3)^4(0,7) </math> Poiché <math> \binom{5}{4}=5 </math> si ha <math> P(X=4)=5(0,3)^4(0,7) </math> Dato che <math> (0,3)^4=0,0081 </math> segue che <math> P(X=4)=5\cdot0,0081\cdot0,7 </math> <math> P(X=4)=0,02835 </math> Per <math>X=5</math>: <math> P(X=5)=\binom{5}{5}(0,3)^5(0,7)^0 </math> Poiché <math> \binom{5}{5}=1 </math> e <math> (0,7)^0=1 </math> si ottiene <math> P(X=5)=(0,3)^5 </math> <math> P(X=5)=0,00243 </math> Sommiamo ora i tre risultati: <math> P(X\geq3)=0,1323+0,02835+0,00243 </math> <math> P(X\geq3)=0,16308 </math> In percentuale: <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> '''Risultati finali''' La probabilità che un passeggero aspetti meno di 3 minuti è <math> P(T<3)=30\% </math> La probabilità che aspetti almeno 7 minuti è <math> P(T\geq7)=30\% </math> Il tempo medio di attesa è <math> E(T)=5\text{ minuti} </math> La probabilità che almeno 3 passeggeri su 5 aspettino meno di 3 minuti è <math> P(X\geq3)=16,308\% </math> == 9° Esercizio, figure geometriche == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Un rettangolo è suddiviso in '''8 parti uguali'''. In 3 parti è presente un triangolo, in 2 parti un quadrato e nelle restanti 3 parti un cerchio.''' '''Si scelga casualmente una delle 8 parti. Si calcoli la probabilità di ottenere ciascuna figura.''' === Svolgimento === Il numero dei casi possibili è 8. ;Probabilità di ottenere un triangolo I casi favorevoli sono 3: :<math>P(T)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere un quadrato I casi favorevoli sono 2: :<math>P(Q)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}</math> ;Probabilità di ottenere un cerchio I casi favorevoli sono 3: :<math>P(C)=\frac{3}{8}</math> ;Probabilità di ottenere una figura diversa dal triangolo Le parti che non contengono un triangolo sono 5: :<math>P(\text{non }T)=\frac{5}{8}</math> === Risultati === * Triangolo: <math>\frac{3}{8}</math> * Quadrato: <math>\frac{1}{4}</math> * Cerchio: <math>\frac{3}{8}</math> * Figura diversa dal triangolo: <math>\frac{5}{8}</math> ``` == xx lezione, sui pesi== <math> N=100 </math> <math> \begin{array}{c|c} \text{Peso (kg)} & \text{Numero di ragazzi}\\ \hline 50-60 & 20\\ 60-70 & 35\\ 70-80 & 30\\ 80-90 & 10\\ 90-100 & 5 \end{array} </math> <math> 20+35+30+10+5=100 </math> <math> \text{1. Probabilità che un ragazzo pesi almeno 70 kg} </math> <math> \text{“Almeno 70 kg” significa peso maggiore o uguale a 70 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }70-80,\ 80-90,\ 90-100. </math> <math> N_{\geq 70}=30+10+5=45 </math> <math> P(X\geq70)=\frac{N_{\geq70}}{N} </math> <math> P(X\geq70)=\frac{45}{100} </math> <math> P(X\geq70)=0{,}45 </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi almeno 70 kg è }45\%. </math> <math> \text{2. Probabilità che un ragazzo pesi meno di 80 kg} </math> <math> \text{“Meno di 80 kg” significa peso inferiore a 80 kg.} </math> <math> \text{Consideriamo quindi gli intervalli }50-60,\ 60-70,\ 70-80. </math> <math> N_{<80}=20+35+30=85 </math> <math> P(X<80)=\frac{N_{<80}}{N} </math> <math> P(X<80)=\frac{85}{100} </math> <math> P(X<80)=0{,}85 </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi meno di 80 kg è }85\%. </math> <math> \text{3. Probabilità che un ragazzo pesi tra 60 e 90 kg} </math> <math> \text{Consideriamo gli intervalli }60-70,\ 70-80,\ 80-90. </math> <math> N_{60-90}=35+30+10=75 </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{N_{60-90}}{N} </math> <math> P(60\leq X<90)=\frac{75}{100} </math> <math> P(60\leq X<90)=0{,}75 </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> <math> \text{Risposta: la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg è }75\%. </math> <math> \text{Risultati finali:} </math> <math> P(X\geq70)=45\% </math> <math> P(X<80)=85\% </math> <math> P(60\leq X<90)=75\% </math> ``` ==8° Esercizio, le curve ROC== Questo esercizio non si avvale di IA ma mostra una classica procedura di calcolo delle probabilità che è normalmente utilizzata nei calcoli delle prestazioni dei sonar. Le curve ROC (Receiver Operating Characteristic, anche note come Relative Operating Characteristic), impiegate nelle più diverse discipline scientifiche sono utilizzate, in questa voce, per i calcoli delle portata di scoperta del sonar per la valutazione delle variabili probabilistiche quali: *<math> Priv </math> indicata come probabilità percentuale di scoprire il bersaglio. *<math> Pfa </math> indicata come probabilità percentuale che nelle fasi di scoperta del bersaglio il rumore del mare possa creare l'acquisizione di falsi bersagli. Le variabili concorrono, tramite un parametro, indicato con la lettera <math>d</math>, nel computo dell'algoritmo del Differenziale di riconoscimento del sonar <math> \Delta </math>]]: <math>\Delta = 5 \cdot log_{10} { [(BW \cdot d) / ( 2 \cdot RC )]} - 10 \cdot log_{10} {BW} </math> ==Come si presentano le curve ROC== [[File:rocdtcx.jpg|thumb|right|500px|Curve ROC]] Le curve, come mostrato in figura, sono costituite da un diagramma cartesiano definito da: Ascisse: con la variabile <math>Pfa</math> (probabilità di falso allarme espressa in % del tempo) Ordinate: con la variabile <math>Priv</math> (probabilità di rivelazione espressa in % del tempo) Insieme di sette rette parametriche estese da <math>d=0 \ a \ d= 36 </math>, per valori del <math> d </math> compresi tra una retta e la successiva è prevista l'interpolazione. ===Impiego delle curve=== Le curve possono essere impiegate in modi diversi in dipendenza del problema da risolvere; o data la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> per ricavare il valore del <math>d</math> o viceversa dato uno specifico valore del <math>d</math> scegliere la coppia <math>Pfa \ ; \ Priv</math> che più si avvicina ai dati richiesti, od altre combinazioni; vediamo una serie d'esempi: ====1°==== Supponiamo che sia noto, per calcoli a priori, il valore <math>d=1</math> e si desideri, accettando una probabilità di falso allarme <math>Pfa = 10 \ %</math>, conoscere la probabilità di scoperta <math>Priv</math> conseguente. Sul tracciato si alza una perpendicolare alle ascisse passante per <math>Pfa = 10 \ %</math>, questa incontra la retta <math>d = 1</math> ad un valore d'ordinata di <math>Priv \approx 80 \ %</math>; questa percentuale è il dato richiesto. ====2° ==== Come calcolare il parametro <math>d</math> Il calcolo del parametro <math>d</math> si ottiene con lo sviluppo dell'algoritmo: <math>d = 2 \ BW \ RC \ (S_i/N_i)^4 </math> <ref>Valido per rapporti <math>S_i/N_i < 0.5 </math></ref> che implica la conoscenza di alcune variabili del sonar e dell'ambiente subacqueo, ad esempio: *<math> BW = 2000 \ Hz </math> Banda di ricezione del sonar *<math>RC = 0.1 \ s </math> Costante di tempo d'integrazione dei correlatori *<math>Si/Ni=0.5 </math> Rapporto segnale/disturbo all'ingresso dei correlatori dipendente, tramite la base idrofonica, dal livello dei rumori emessi dal bersaglio e dei rumori del mare. da cui <math>d = 2 \ ( 2000 ) \ (0.1) \ (0.5)^4 = 25</math>. L'algoritmo del parametro <math>d</math> è di fatto l'anello di congiunzione tra la funzione sonar nel suo insieme e le curve ROC ====3°==== Con il valore del <math>d = 25</math> calcolato in precedenza ci poniamo il problema: volendo una probabilità di rivelazione <math>Priv = 90 \ %</math>, quale probabilità di falso allarme <math>Pfa </math> ci possiamo aspettare ?: Tracciando una retta orizzontale dall'ordinata <math>Priv = 90 \ %</math> s'incontra la retta <math>d = 25</math> nel punto di ascissa <math>Pfa \approx 0.01 \ %</math> ====4°==== Se in fase di scoperta sonar si vuole avere una probabilità <math>Priv = 50 \ %</math> accompagnata da una probabilità <math>Pfa = 10 %</math> si deve stabilire il valore del <math> d </math> conseguente: si traccia la retta passante per <math>Priv = 50 \ %</math> si traccia la retta passante per <math>Pfa = 10 \ %</math> il punto d'incontro tra le due rette si pone tra la retta parametrica <math>d = 1 </math> e la retta parametrica <math>d = 4 </math>; interpolando tra le due parametriche si può scrivere <math>d \approx 1.6</math> [[Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche|Lezione 1^: Introduzione allo studio delle direttività delle basi idrofoniche]] {{Materia|7||15 |corso1=Applicazioni tecniche sul sonar |dip= |biblio_sez= |presentazione= |prerequisiti= * [[Materia:Acustica|Acustica]] |risorse= |programma= * [[Note discorsive sul sonar|Lezione 1^: Note discorsive sul sonar]] * [[Sonar per sottomarini classe Toti|Lezione 2^: Sonar per sottomarini classe Toti (1960)]] * [[Sonar per sottomarini class]] }} c9fczlio26r9v8lylnn9pwhjr0kmn6m 102 37619 286883 286876 2026-08-28T13:05:53Z Funzioni di correlazione 24136 286883 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 5z6qgmbfh3fihzdq2a3hhwhe9tv2daf 286884 286883 2026-08-28T13:06:39Z Funzioni di correlazione 24136 286884 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 6z2jsjqbw0jsmst100ppodmyn21fybv 286885 286884 2026-08-28T13:09:15Z Funzioni di correlazione 24136 286885 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== [[Calcolatore degli integrali ellittici]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} fmi3zvie19w4arvggmwx9ndh539t9dg 286886 286885 2026-08-28T13:12:54Z Funzioni di correlazione 24136 286886 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== [[Calcolatore degli integrali ellittici]] [[Calcolatore delle funzioni integrali ad uso dei Tecnici e degli Ingegneri]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} cp1flz41xpren7omsthp140i4r5k7b0 286887 286886 2026-08-28T13:32:03Z Funzioni di correlazione 24136 286887 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== [[Calcolatore degli integrali ellittici]] [[Calcolatore delle funzioni integrali ad uso dei Tecnici e degli Ingegneri]] [[https://www.sonar-info.info/p169/169pagina.html]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} nqjr2lvwdvw33e7ao0kptq8xs93kpv9 286888 286887 2026-08-28T13:33:41Z Funzioni di correlazione 24136 286888 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== [[Calcolatore degli integrali ellittici]] [[Calcolatore delle funzioni integrali ad uso dei Tecnici e degli Ingegneri]] [[https://www.sonar-info.info/p169/169pagina.html]Calcolo integrali definiti su curve note] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} jnkwmtqe7wvy3un7m2b94kz8j304la6 286889 286888 2026-08-28T13:35:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistemi di calcolo automatici */ 286889 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] ===Sistemi di calcolo automatici=== [[Calcolatore degli integrali ellittici]] [[Calcolatore delle funzioni integrali ad uso dei Tecnici e degli Ingegneri]] [https://www.sonar-info.info/p169/169pagina.html Calcolo integrali definiti su curve note] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 4m0766g5jg2wpugvzo7bgdw0mz98en2 286890 286889 2026-08-28T13:52:15Z Funzioni di correlazione 24136 286890 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 8uympef7mljlsowvtkiab8ue2ymefrx 286891 286890 2026-08-29T08:01:08Z Funzioni di correlazione 24136 286891 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} hfy461c79r9iadbirqetrpjlmf8h3ln 0 37799 286894 2026-08-29T08:21:32Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio: risolvere sen^x - 1 = 0 == Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad..." 286894 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio: risolvere sen^x - 1 = 0 == Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> gbonoy16fyqwwrn4bonzxnxzw22fey2 286895 286894 2026-08-29T08:26:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio: risolvere sen^x - 1 = 0 */ 286895 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> hgamdm424q7otp34mb51n0477a8i6yg 286896 286895 2026-08-29T08:43:14Z Funzioni di correlazione 24136 286896 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>\boxed{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> Nota: ho lasciato fuori \boxed nella conclusione, come richiesto; quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> oagua70t1j93jgzl8z4wdg36752us1s 286897 286896 2026-08-29T08:44:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio di trigonometria */ 286897 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> 8lg6iyfbpzgk9z3fp235kt4x8fxyo90 286898 286897 2026-08-29T08:45:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio di trigonometria */ 286898 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> cpomb3gz4v5kv2e8bxwasrg71hqnfqn 286899 286898 2026-08-29T08:48:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio di trigonometria */ 286899 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> mppd20vpyb6d62amktjmifi09xsjlds 286900 286899 2026-08-29T08:49:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 286900 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> k5i7aynwfvqb81r2dg8we51ucppoqdi 286901 286900 2026-08-29T08:53:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 286901 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Cot x - cos x = 0 ''' qxa036ogr23xb7bsw7lq94tbftsvu86 286902 286901 2026-08-29T08:53:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° esercizio */ 286902 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' hmeabw5v8y2s379q4tg9bnx1xkspdnf 286903 286902 2026-08-29T08:55:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° esercizio */ 286903 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza usare <math>boxed</math>. <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> 6ti6i1dgoo3am682emdygukyr7pd6ty 286904 286903 2026-08-29T09:06:46Z Funzioni di correlazione 24136 286904 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza usare <math>boxed</math>. <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> r14115qw3b9cwt8fl7mjfv38w80oczx 286905 286904 2026-08-29T09:07:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 286905 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza usare <math>boxed</math>. <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> l6zy4ay6olupockrm0vkiq4fdd6598t 286906 286905 2026-08-29T09:10:14Z Funzioni di correlazione 24136 286906 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro e coseno quadro. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : 2 sen^2 - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> t05it1m8xtile5riaozdkviboxltf7d 286907 286906 2026-08-29T09:10:48Z Funzioni di correlazione 24136 286907 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro e coseno quadro. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : 2 sen^2 - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> k4jf115r02dggo10wmbl5yvu40qc5wc 286908 286907 2026-08-29T09:11:20Z Funzioni di correlazione 24136 286908 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 1% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro e coseno quadro. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : 2 sen^2 - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> jvl6nk5rss4eth1f14qp1ic06k8prpq 286909 286908 2026-08-29T09:13:29Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286908|286908]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286909 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro e coseno quadro. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : 2 sen^2 - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> k4jf115r02dggo10wmbl5yvu40qc5wc 286910 286909 2026-08-29T09:14:15Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286907|286907]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286910 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro e coseno quadro. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : 2 sen^2 - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> t05it1m8xtile5riaozdkviboxltf7d 286911 286910 2026-08-29T09:15:08Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286906|286906]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286911 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza usare <math>boxed</math>. <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> l6zy4ay6olupockrm0vkiq4fdd6598t 286912 286911 2026-08-29T09:15:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° esercizio */ 286912 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ecco il procedimento completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza boxed. <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> mmj0kyzddnusl0p1bdmzfd2o0jrr2g4 286913 286912 2026-08-29T09:20:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3° esercizio */ 286913 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> ekevja6x4c9w9sqhjz7081m0eswoaoz 286914 286913 2026-08-29T09:22:47Z Funzioni di correlazione 24136 286914 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == 1° esercizio di trigonometria == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> ofcbmcktmm3h48xfu24i9whznd650bm 286915 286914 2026-08-29T09:26:27Z Funzioni di correlazione 24136 286915 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> c91q8snbb0xpdpif3kit9az7fcar1ox 286916 286915 2026-08-29T09:26:56Z Funzioni di correlazione 24136 286916 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> 4zhsgf92c301ixdm2iecxbx90efqbmi 286917 286916 2026-08-29T09:27:47Z Funzioni di correlazione 24136 286917 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> tbom846r9hcwgwnxwjfml2d318f7jxu