Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 4 11 286966 285460 2026-08-30T08:07:43Z Vallema 46644 /* itWikiCon 2026: fra qualche giorno sarà disponibile la griglia del programma */ nuova sezione 286966 wikitext text/x-wiki {{bar10}} {{Torna su}} [[Categoria:Bar| ]] [[Categoria:Discussioni]] __NEWSECTIONLINK__ == Idee per un Wikiversitario analfabeta == Salve! Scrivo qui perché è la pagina a cui rimanda lo [[Wikiversità:Sportello informazioni]]: ho una lieve esperienza su [https://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Saver47 it.wikipedia] ma assolutamente zero conoscenze per quanto riguarda il funzionamento di Wikiversità e avevo in mente (con tempi dilatati e sperando di riuscire effettivamente nello scopo) di riportare su questo progetto i contenuti dei corsi di laurea che ho seguito ormai negli anni passati. Non so se sia il giusto approccio per chi si affaccia a Wikiversità, né tantomeno se il contenuto di un corso di laurea (appunti personali presi a lezione e/o estrapolati da libri didattici sugli argomenti) sia adatto al progetto. Chiedo vostri pareri! Si tratterebbe, in ogni caso, di contenuti per il [[Corso:Matematica]]. --[[Utente:Saver47|Saver47]] ([[Discussioni utente:Saver47|Discussione]]) 22:25, 14 gen 2026 (CET) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:45, 16 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 22:02, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Wikimedia Hackathon e Wikimania 2026: apertura borse di partecipazione di Wikimedia Italia == Siamo molto lieti di comunicarvi che Wikimedia Italia ha aperto le '''borse per sostenere i costi di partecipazione a [[:mw:Wikimedia Hackathon 2026|Wikimedia Hackathon 2026]] e [[:wmania:2026:Wikimania|Wikimania 2026]]'''. * Per Wikimedia Hackathon, che si terrà a Milano dal 1º al 3 maggio, vengono messe a disposizione 6 borse da 350 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro venerdì 6 febbraio 2026'''. * Per Wikimania, che si terrà a Parigi dal 21 al 25 luglio, vengono messe a disposizione 13 borse da 800 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro domenica 1º marzo 2026'''. Tutte le richieste pervenute saranno poi valutate da due commissioni appositamente costituite e gli esiti verranno comunicati entro l'11 febbraio per il Wikimedia Hackathon ed entro il 25 marzo per Wikimania. I bandi completi si trovano sul wiki di Wikimedia Italia: * Wikimedia Hackathon: [[:wmit:Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026|Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026]] * Wikimania: [[:wmit:Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026|Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026]] All'interno dei bandi si trovano i link ai form da compilare per la richiesta. Siete tutti invitati a partecipare! Per qualsiasi dubbio, non esitate a [https://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:InviaEmail?wpTarget=Dario_Crespi_(WMIT) scrivermi]. Buona giornata, --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 09:54, 28 gen 2026 (CET) == Sondaggio su microgrant e sportello volontari di Wikimedia Italia == Ciao. Nel corso degli ultimi anni [[:it:w:Wikipedia:Wikimedia Italia|Wikimedia Italia]] ha introdotto alcuni strumenti a sostegno delle attività promosse dai volontari dei progetti Wikimedia e OpenStreetMap. In particolare, dal 2017 con il programma '''microgrant''' finanzia progetti fino a 1000 euro, mentre dal 2021 è attivo lo '''sportello volontari''', che finanzia progetti per importi superiori. Vorremmo capire meglio quanto questi strumenti siano conosciuti e come siano percepiti, oltre a individuare possibili miglioramenti per rispondere sempre di più alle esigenze della comunità. Per questo ti chiediamo di dedicarci qualche minuto compilando un breve sondaggio: il tuo punto di vista per noi è davvero prezioso. Le risposte ci aiuteranno a individuare cosa funziona, cosa può essere migliorato e in che modo Wikimedia Italia può offrire un supporto più efficace. Il sondaggio è disponibile a questo link: https://survey.wikimedia.it/index.php/754139 Ti chiediamo per favore di rispondere entro le ore 23.59 di domenica 15 febbraio. Ti ringrazio e rimango a tua disposizione per qualsiasi informazione, [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 16:43, 9 feb 2026 (CET) == Prima o poi... interveniamo == {{Ping|Mattruffoni|Galessandroni|Smatteo499}} Buongiorno, da qualche anno contribuisco a questo progetto, e fin dai primi giorni ho imparato a conoscere punti di forza e di debolezza di Wikiversità, oltre alle belle persone che la popolano e che mi hanno accolto a braccia aperte. Quest'anno Wikipedia, il nostro fratello maggiore, festeggia 25 anni di attività e lo sta facendo con una molteplicità di eventi: festival della qualità, edit-a-thon, eventi sul territorio, speciali animazioni online, ... L'anno prossimo, precisamente a maggio 2027, saranno 20 anni dall'apertura di Wikiversità in italiano. Ovviamente, data la nostra dimensione, non possiamo certo pretendere ed ambire ad un simile trattamento, ma penso che sarebbe una bellissima cosa utilizzare il tempo che intercorre tra oggi e l'anniversario, per chiudere delle questioni interminabili e organizzare, nel nostro piccolo, una celebrazione. Per questo dividerò le mie considerazioni e proposte, nei due macro-argomenti: #'''Chiusura di problemi e questioni tecniche'''. Basta visitare la pagina [[Dipartimento:Wikiversità]] per capire la quantità di problemi e questioni che affliggono questo progetto. Soprattutto, a causa della discontinuità della contribuzione. ''Tuttavia, prima di continuare il mio intervento, ritengo doveroso chiarire che, non essendo un contributore storico, potrei commettere errori facendo determinate affermazioni.'' Per fare un'esempio, l'interlocuzione tra questo progetto e WMI o MIM mi sembra che si sia arenata da molto tempo, anche se queste relazioni sono fondamentali per cercare di coinvolgere scuole ed istituzioni, che sono il volano per la diffusione di Wikiversità. Anche la relazione interprogetto con Vikidia, dopo una fase iniziale, si è parzialmente arenata, e le pagine di aiuto collegate a questo progetto sono poco accessibili o ancora da terminare. In generale, la stragrande maggioranza delle pagine di aiuto dovrebbe essere completata e/o rivista, dato che alcune sono rimaste il copia-incolla di quelle di Wikipedia. Il restyling delle pagine e altri lavori di questo tipo sono la parte più triste, in quanto alcuni di questi interventi risalgono alla Riorganizzazione 2015, 10 anni fa, oppure al decennale di Wikiversity, 9 anni fa. Pertanto, ritengo che quegli obiettivi vadano completati una volta per tutte. Anche perché in alcuni casi l'infrastruttura è già stata realizzata ed attende solo di essere varata. #'''Celebrazione del ventennale'''. Per quanto riguarda questo secondo punto, avrei qualche idea, più o meno simpatica, per l'anniversario. Innanzitutto, penso che sarebbe positivo realizzare un banner da affiggere in tutte le pagine del nostro progetto. Se poi fosse possibile, si potrebbe portare questo banner su tutti i progetti Wikimedia in italiano, grazie ad apposite pagine che si trovano su Meta. Inoltre, si potrebbe aggiungere un box in homepage e realizzare, finalmente, un festival della qualità o simili, già abbozzati anni fa, ma mai portati fino in fondo. La volontà di questo mio messaggio non è polemizzare su quanto non sia stato fatto in passato, ma cercare di portare a compimento ciò che è stato lasciato in sospeso per celebrare al meglio il ventennale, anche se è una cosa complessa e potrebbe richiedere, nuovamente, di ripensare Wikiversità. Per questo, mi metto a completa disposizione per qualsiasi cosa (io partirei da ricapitolare tutte le cose in sospeso in una pagina). Tuttavia, per quanto riguarda questioni tecniche come template, CCS e simili, dichiaro la mia incapacità di contribuire per mancanza di conoscenze adeguate. Spero di essere stato preciso in questo mio messaggio e mi permetto di concludere pingando due utenti attivi su questo progetto, che potrebbero essere intenzionati a dare una mano. Ma, sicuramente, non sono obbligati =) {{Ping|Samuele2002|Hippias}} [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:25, 22 feb 2026 (CET) :[[File:Tazza Wikiversità (cropped).jpg|thumb|Okay, okay, cercherò di farne una foto più decente.]]'''Maggio 2027''' per programmare un evento ''decente'' è praticamente ''ieri'', ma noi ci proveremo e ci riusciremo. Non è un segreto per nessuno che - da diverso tempo - io stia flirtando con Wikibooks e altri progetti, ma provo a fare la lista della spesa. :* Servono gadget (tazze, spille, matite, adesivi) da fornire a chi organizza eventi. :* Per questo Wikimedia Italia e Wikimedia Foundation forniscono finanziamenti a chi organizza queste cose. Ci sono i microgrant (fino a 1.000 €, abbastanza facili da gestire), poi i finanziamenti volontari (da 1.000 a 10.000 €) mi sembra in due tranche all'anno, mentre i grant della Wikimedia Foundation non li ho mai richiesti. Però @[[Utente:Mattruffoni|Mattruffoni]] e Paolo Mauri (che ha cambiato nome utente), rispettivamente ex presidente e segretario di Wikimedia Italia ne sanno più di me. :* Infine, dobbiamo pensare alla torta: è un compleanno! :[[File:Gadget Wikimedia per Wiki Loves Marche 2024 (2).jpg|thumb|Cose che dovrebbero esserci in ogni banchetto, tutte a tema Wikiversità]]Infine, dovremmo coinvolgere le scuole in ''maratone di scrittura'', per migliorare e scrivere le lezioni mancanti. Questo lo si fa a partire da settembre 2026 scrivendo a tutte le scuole d'Italia proponendo di fare progetti di alternanza scuola/lavoro con Wikimedia Italia aventi per oggetto la scrittura collaborativa di lezioni. :La cosa difficile sarà trovare insegnanti sensibili alla tematica, ma non impossibile. Ricordo che su Commons sono presenti delle [[:c:Category:Wikibussole_by_Wikimedia_Italia|Wikibussole]], brevi video realizzati da Wikimedia Italia per spiegare come utilizzare i vari progetti. Manchiamo solo noi. :Sempre su Commons trovate [[:c:File:Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari.pdf|Le OER Wikimedia per apprendimento tra pari]] un mio talk al Linux Day bolognese del 2023 dove parlavo di Wikiversità e Vikidia, di cosa sono e in cosa differiscono da Wikipedia. :Concludo, non siamo Wikipedia, ma questa differenza può rivelarsi anche la nostra forza. Quindi, creiamo una pagina e scriviamo chi fa cose e dove le fa. Detto questo sapremo quali e quanti fondi chiedere per gli eventi.<br> [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:38, 22 feb 2026 (CET) ::'''Dimenticavo''': dobbiamo vederci faccia a faccia. Quando, raggiungeremo una massa critica, creerò un sondaggio per un giorno comodo a tutti dove fare una conferenza e scambiarci due idee. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 18:41, 22 feb 2026 (CET) :::Per le questioni tecniche ho inaugurato questa discussione, ci sono due cose in sospeso che si possono chiudere relativamente in fretta: [[Discussioni dipartimento:Wikiversità#Memo: da fare 2026]]. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 19:24, 27 feb 2026 (CET) ::::{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Innanzitutto, vi ringrazio per l'interesse mostrato verso questa iniziativa. Mi piace molto l'idea delle maratone di scrittura proposta da Galessandroni, che aiuterebbe a scrivere e migliorare le lezioni per scuole elementari e medie, le quali sono tra le categorie più "vuote" di Wikiversità. Visto che Hippias ha aperto una discussione per le cose tecniche in sospeso che si possono chiudere a stretto giro, forse non è meglio creare un'altra discussione solo ed esclusivamente per gli aspetti organizzativi legati al ventennale? [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 15:41, 1 mar 2026 (CET) :::::E allora cominciamo adesso, subito, ora. Per esempio, le richieste per le borse di studio per State of the Map, Parigi, fine agosto 2026, scadono a marzo, per dare un'idea dei tempi, ma l'organizzazione è stata messa in moto da anni. :::::Se volete io chiedo a Wikimedia Italia che budget possiamo richiedere. Penso che per un ventennale 5.000/10.000 € possiamo chiederli. Tutto a copertura spese. Potremmo chiedere un aiuto a una mia cara amica romagnola, [[:it:w:Utente:Una tantum|Una tantum]], esperta in eventi e realizzazione gadget. :::::Wikimedia ha ufficio stampa, raccolta fondi, ecc. Prepariamo una pagina di progetto dove documentare tutte le proposte e le richieste, così da poter fare delle richieste a Wikimedia. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:25, 1 mar 2026 (CET) ::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Anche per me, ovviamente, si può iniziare adesso. Tuttavia, io, personalmente, preferirei un iniziativa che porta contributi al progetto (come un festival della qualità), invece di un evento fisico di festa, che porta meno frutti. La pagina di progetto si potrebbe realizzare come sottopagina del dipartimento Wikiversità. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:47, 1 mar 2026 (CET) :::::::@[[Utente:DBBBL|DBBBL]] Naturalmente. Per me il festival della qualità si svolgerà nell'intero 2027. Poi, tutto il resto, sarà un corollario. [[Utente:Galessandroni|<span style="color:green">'''Giacomo Alessandroni'''</span>]] ^{[[Discussioni Utente:Galessandroni|<span style="color:blue">'''Parliamone!'''</span>]]} 16:53, 1 mar 2026 (CET) ::::::::@[[Utente:Galessandroni|Galessandroni]] Ottimo! [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 16:58, 1 mar 2026 (CET) {{Rientro}}{{Ping|Galessandroni|Hippias}} Ho appena terminato di stendere la pagina dedicata al progetto, che trovate [[Wikiversità:Ventennale|qui]]. Date le mie scarse abilità nel campo template, la pagina risulta abbastanza bruttina e pertanto apportate pure tutte le modifiche che vi paressero opportune. Inoltre, iniziate pure ad aggiungere le relative proposte. [[Utente:DBBBL|DBBBL]] ([[Discussioni utente:DBBBL|Discussione]]) 17:30, 15 mar 2026 (CET) == Attivazione sportello di supporto legale di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio che Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di supporto legale gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un avvocato in merito a questioni che riguardano la loro attività su Wikipedia e gli altri progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello si articola in due parti: * un documento con "risposte a domande frequenti" che affronta alcune casistiche di carattere generale più ricorrenti (e che potrà essere aggiornata e ampliata in futuro); * la possibilità di richiedere una consulenza legale con un avvocato per chiarimenti sui contenuti del documento o per questioni non trattate nelle FAQ. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello di supporto legale in questa pagina su Wikipedia in italiano: '''[[w:it:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale]]'''. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo di pingarmi) o tramite [[Special:EmailUser/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 17:20, 11 mar 2026 (CET) == Adattare la lezione "Forma e dimensioni della Terra (superiori)" anche per l'università == Ciao a tutti. Sono Faro Antonino, studente di [[Corso:Ingegneria civile|ingegneria civile]] e molto sporadicamente contribuisco sulla piattaforma. Recentemente sto seguendo la materia di '''Geomatica''' e sto creando un Sandbox per la suddetta materia. Durante le lezioni si fa un breve accenno sulla storia e sulle superfici usate per determinare la superficie terrestre, cercando ho trovato la lezione [[Forma e dimensioni della Terra (superiori)]] che, anche se incompleta, parla degli stessi argomenti che vengono evidenziati nella materia di Geodesia. Essendo che la difficolta di questa parte è (a parer mio) uguale tra le superiori e l'università, proporrei di togliere la perentesi cosi da avere una pagina unica e quindi evitare di creare una pagina duplicata che dice la stessa cosa. Fatemi sapere cosa ne pensate ;) [[Utente:Antonino Faro|Antonino Faro]] ([[Discussioni utente:Antonino Faro|Discussione]]) 13:50, 30 mar 2026 (CEST) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 19:11, 3 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Save the Date: itWikiCon 2026 a Vezia (Lugano) – Vi aspettiamo! == Gli organizzatori sono entusiasti di invitarvi '''all’itWikiCon 2026 che si terrà a [[:w:it:Vezia|Vezia]] ([[:w:it:Lugano|Lugano]])'''! È la prima volta che il convegno annuale della comunità italofona dei progetti Wikimedia si terrà nella Svizzera italiana. Dal '''6 all’8 novembre 2026''' insieme a voi trasformeremo Vezia in un vivace punto d’incontro all’insegna della conoscenza libera, della condivisione e della comunità. La sede del convegno, [https://csvn.ch/ Il Centro Studi Villa Negroni], una struttura nota per aver ospitato persone di spicco della cultura italiana si trova molto vicino a Lugano. Non vediamo l'ora di condividere questo luogo con voi e di partecipare a workshop, discussioni e presentazioni stimolanti. L'organizzazione sta procedendo e nel corso delle prossime settimane, vi terremo aggiornati sui principali sviluppi, inclusi la creazione collaborativa del programma e il bando per le borse di partecipazione. Nelle prossime settimane saranno pubblicate ulteriori informazioni sulla [[:meta:ItWikiCon/2026|pagina principale dell’evento]]. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[:meta:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info(at)itwikicon.org. A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:cassinam|Cassinam]], [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:39, 7 apr 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|Discussione]]) 02:58, 26 apr 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == Hiruwiki == Hello everyone, I’d like to ask if there is any interest within Wikiversity Italy in using Hiruwiki. Hiruwiki is a collection of interactive, multilingual geometric and mathematical widgets designed for Wikimedia projects. It was originally developed by the Basque Wikimedia Chapter and later updated for broader international use. The goal is to allow editors to embed dynamic proofs, visualisations, and interactive elements directly into wiki pages, making learning content more engaging and easier to understand. Do you think this could be useful for courses or educational materials on Wikiversity Italy? [[Utente:ItsNyoty|ItsNyoty]] ([[Discussioni utente:ItsNyoty|Discussione]]) 14:55, 2 mag 2026 (CEST) :+1 [[Utente:Valcio|Valcio]] ([[Discussioni utente:Valcio|Discussione]]) 14:56, 2 mag 2026 (CEST) ::+1 -- [[Utente:Sciking|Sciking]] ([[Discussioni utente:Sciking|Discussione]]) 15:07, 2 mag 2026 (CEST) :{{+1}} [[Utente:GiovanniPen|GiovanniPen]] ([[Discussioni utente:GiovanniPen|Discussione]]) 23:48, 2 mag 2026 (CEST) == Attivazione sportello counseling di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio di Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di counseling gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un counselor professionista per affrontare difficoltà relazionali, situazioni di tensione o conflitti legati all’attività sui progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello offre uno spazio sicuro di ascolto e confronto e prevede percorsi individuali gratuiti fino a un massimo di 5 colloqui online per persona. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello counseling in questa pagina: '''[[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Sportello counseling]]'''. Ne approfitto per ricordarvi che è sempre attivo anche lo [[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|sportello di supporto legale gratuito]]. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo cortesemente di pingarmi) o tramite [[Speciale:InviaEmail/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|Discussione]]) 14:59, 7 mag 2026 (CEST) == Apertura delle pre-iscrizioni itWikiCon 2026 == Come saprete già, dal '''6 all'8 novembre 2026''' a [[w:it:Vezia|Vezia]] ([[w:it:Lugano|Lugano]]) si apriranno le porte della [[w:it:Villa Negroni|Villa Negroni]] per '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]'''. Questo convegno unisce ispirazione, innovazione e scambio di idee in un evento di tre giorni. Le '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' sono disponibili da subito ed è il primo passo per manifestare il vostro interesse a partecipare. Inoltre, in questo modo darete un contributo fondamentale al team organizzativo nella pianificazione logistica dell’evento. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info@itwikicon.org. Non vediamo l'ora di accogliervi a Vezia! A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 08:30, 20 mag 2026 (CEST) == Vota ora alle elezioni U4C del 2026 == <section begin="announcement-content" /> Tutti coloro con diritto di voto sono invitati a partecipare alle elezioni 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comitato di coordinamento del codice universale di condotta]]. Maggiori informazioni, compreso il link al tool per verificare il diritto di voto, le informazioni sulle elezioni, sui candidati e il link per votare si trovano su Meta in questa pagina: [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Elezioni 2026 - informazioni]]. Il voto termina il 2 giugno alle [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Per favore, verifica se la tua utenza ha diritto di voto. I risultati staranno disponibili entro il 14 di giugno di 2026. -- In cooperazione con l'U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussione]])</bdi> 19:12, 23 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di raccolta di temi per il programma == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase della raccolta di temi per il '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|programma]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! Queste prime idee serviranno come contenitori per le proposte specifiche in estate. Il convegno si terrà dal '''6 all'8 novembre 2025 a Vezia (Lugano)'''. Il programma lo costruiamo insieme: chiunque può inviare proposte di argomenti per presentazioni, discussioni o workshop. Tutte le informazioni e le istruzioni sono disponibili '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|sulla pagina dedicata al Programma]]'''. Anche quest’anno vogliamo dare particolare spazio ai formati interattivi come workshop o discussioni. Vorremmo cogliere l’occasione del convegno per rafforzare lo spirito di comunità e anche per sviluppare soluzioni alle sfide comuni. La selezione delle proposte avverrà in estate, seguita dalla conferma dei relatori. Aggiornamenti sulle borse di partecipazione seguiranno la prossima settimana. Infine, ti ricordiamo che il periodo delle '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' è ancora in corso. Grazie mille a tutti coloro che si sono già iscritti! Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. Non vediamo l'ora di conoscere le vostre idee! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 17:19, 24 giu 2026 (CEST) == Inserimento di un collegamento ai contatti legali e di sicurezza nel footer della vostra wiki == <section begin="Message"/> '''Contatti legali e di sicurezza''' Salve, la Wikimedia Foundation ha creato una [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|pagina unica di contatto per materie legali e di sicurezza]] che andrà linkata nel footer della vostra wiki, per assicurare l'accesso a informazioni legali accurate. Questa è una necessità di legge. Abbiamo già inserito il link sulle versioni inglese, tedesca, spagnola, italiana e altre ancora di Wikipedia e inseriremo il link anche nel vostro footer presto. Consultate [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|la pagina di progetto]] per saperne di più, per commenti utilizzate questo thread oppure la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|pagina di discussione su Meta]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Sannita (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di richieste per borse di partecipazione == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase delle richieste di '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|borse di partecipazione]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! L’evento si terrà dal '''6 all'8 novembre 2026 a Vezia (Lugano)'''. La fase di candidatura per le borse di partecipazione durerà fino alla fine di luglio '''(29 giugno – 31 luglio)'''. Se vuoi proporre una sessione e hai bisogno di un sostegno per il viaggio e l’alloggio, invia la tua richiesta per tempo. Qui trovi tutte le '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|informazioni sulle borse di partecipazione]]'''. Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:35, 29 giu 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24 lug 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:DreamRimmer@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: potete candidarvi per una borsa di partecipazione entro il 31 luglio == Ciao a tutti! Vi ricordiamo che c’è tempo '''fino al 31 luglio''' per inviare le candidature per ricevere una '''borsa di partecipazione''' per itWikiCon 2026, che si terrà '''a Vezia (Lugano) dal 6 all’8 novembre'''. Troverete tutte le informazioni sulla pagina del progetto '''[[m:ItWikiCon/2026/Borse|nella sezione borse]]'''. Per domande o suggerimenti scriveteci sulla [[metawiki:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 14:14, 28 lug 2026 (CEST) == itWikiCon 2026: fra qualche giorno sarà disponibile la griglia del programma == Ciao a tutti, Fra pochi giorni sarà disponibile la griglia dove inserire gli interventi e i workshop per la conferenza in stile unconference. I temi che avete proposto sulla [[m:ItWikiCon/2026/Programma|pagina del programma]] sono tanti e interessanti. Trasformateli in interventi e workshop. Per domande o suggerimenti scriveteci qua sulla pagina di discussione o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. A presto, Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[User:Vallema|Vallema]], [[User:cassinam|Cassinam]], [[User:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[User:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|Discussione]]) 10:07, 30 ago 2026 (CEST) 3h9eqli2n632h1hzp4d6rhvvcswqpq0 2 31912 286981 281055 2026-08-30T09:02:57Z Funzioni di correlazione 24136 286981 wikitext text/x-wiki Certo. Ecco il percorso completo in wikitesto grezzo, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math> e </math>, senza \boxed. '''Soluzione''' Consideriamo l'equazione <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=1+\sin x</math> '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>Y = {\sqrt{ x }} \ \ </math> Il calcolo del valore numerico degli integrali ellittici non si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti di I° e II° ordine con estremo superiore d'integrazione fissato in <math> \varphi = \pi / 2 </math> Il problema accennato è risolvibile tramite un particolare file.exe che consente il calcolo del valore numerico dell'integrale ellittico di I° o II° ordine una volta fissato l'estremo superiore d'integrazione, diversamente dalle tabelle, in <math> \varphi \le \ge </math> <math> \pi / 2 </math> ; e identico argomento <math> \alpha</math>. Nelle tabelle citate i valori numerici sono definiti con 15 cifre; per evitare tempi di calcolo improponibili per i P.C. ordinari, la routine limita il calcolo a 5 decimali. == Gli integrali ellittici di I° ordine == Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata: :<math>K(\frac{\varphi}{\alpha})=\int_0^\varphi(1-sin^2\alpha \ sin^2\theta)^{\color{red}-{\frac{1}{2}}} d\theta</math> Le variabili che governano l'integrale sono: *Limite inferiore d'integrazione <math> li = 0</math> *Limite superiore d'integrazione <math> \varphi </math> espresso in radianti *Variabile d'integrazione <math> \theta </math> ; espressa in radianti *Argomento di calcolo <math> \alpha </math> espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.<math>3.2 </math>° Con il calcolatore è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di I° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore <math> \varphi </math> ; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento <math> \alpha </math> compreso tra <math> 0 \ e \ 90 </math>°. ==Gli integrali ellittici di II° ordine == Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata: :<math>K(\frac{\varphi}{\alpha})=\int_0^\varphi(1-sin^2\alpha \ sin^2\theta)^{\color{red}{\frac{1}{2}}} d\theta</math> Le variabili che governano l'integrale sono: *Limite inferiore d'integrazione <math> li = 0</math> *Limite superiore d'integrazione <math> \varphi </math>; espresso in radianti<BR> *Variabile d'integrazione <math> \theta </math>; espressa in radianti *Argomento di calcolo <math> \alpha</math> espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2° ) <BR><BR> Con il calcolatore è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di II° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore &#966; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento <math> \alpha</math> compreso tra <math> 0 \ e \ 90 </math>°. == Una tabella dei valori dell'integrale ellittico precompilata == Si mostra una tabella, del tipo già menzionato, con la quale svolgere esercizi di comparazione tra valori precalcolati e valori computati al momento con ELLIPITC secondo tre colonne: *la prima con l'argomento <math> \alpha </math> in un campo compreso tra <math> 0 \ e \ 45 </math>° a passi di un grado *la seconda con il valore dell'integrale ellittico di primo ordine <math> K(a) </math> computato per <math> \varphi = \pi / 2 </math>. *la terza con il valore dell'integrale ellittico di secondo ordine <math> E(a) </math> computato per <math> \varphi = \pi / 2 </math>. [[File:ell3.jpg|thumb|800px|left|]] {{clear}} Come si vede la tabella è a 15 decimali ma parte da un limite d'integrazione superiore prefissato <math> \varphi = \pi / 2 </math> e la variabilità dell'argomento <math> \alpha </math> è di 1° sessagesimale per passo. Questa tabella, che rappresenta uno sforzo notevole per chi si è cimentato nel calcolo con mezzi non paragonabili agli attuali, può risultare utile per il controllo dei calcoli eseguiti nell'ambito delle variabili della tabella stessa, dopo di che assunta dimestichezza col calcolatore computare variabili di necessità non compresi in essa. ==Primo esempio d'impiego del calcolatore == Una volta lanciato l'eseguibile si ha la presentazione della pagina di calcolo così come mostrato in figura 1. [[File:ell4.jpg|thumb|800px|left|figura 1]] {{clear}} Nella pagina compaiono: *il selettore dell'integrale da calcolare; I° ordine o II° ordine *il textbox1 per l'inserimento dell'estremo superiore d'integrazione &#966; espresso in radianti. *il textbox2 per l'inserimento del valore dell'argomento <math>\alpha </math> espresso in gradi sessagesimali. *il pulsante di '''calcolo''' *il label, blu, per l'indicazione del valore dell'integrale calcolato Supponiamo ora di dover calcolare, a titolo d'esercizio, un valore dell'integrale di I° ordine già esposto in tabella per <math> \alpha = 5 </math>° e <math> \varphi = \pi / 2 </math>. *si seleziona l'ordine dell'integrale: I° *si digita in textbox1 il valore di <math> \varphi = 3.1415927 / 2 </math> = <math> 1.5707963 </math> radianti *si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: <math> \alpha = 5 </math>° * si pigia il pulsante '''calcolo''' e si attende il risultato sul label blu. Il valore dell'integrale così calcolato, visibile in figura 2 è: [[File:ell5.jpg|thumb|800px|left|figura 2]] {{clear}} <math> I = 1.57379 </math> contro il valore di tabella che, per lo stesso argomento, indica <math>I = 1.57379 21309 24768</math> Come si vede i primi 5 decimali compmputati coincidono con i primi 5 precalcolati così come previsto.<BR> Data la complessità di elaborazione il valore dell'integrale definito non compare immediatamente nel label celeste ma necessita di un certo tempo d'attesa. ==Secondo esempio d'impiego del calcolatore == Supponiamo di dover calcolare l'integrale ellittico di II° ordine per <math> \varphi = 1.6 </math> radianti per un argomento <math> \alpha = 6.34 </math>° *si seleziona l'ordine dell'integrale: II° *si digita in textbox1 il valore di <math> \varphi = 1.6 </math> radianti *si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: <math> \alpha = 6.34 </math>° *si pigia il pulsante '''calcolo''' e si attende il risultato sul label blu. Il valore dell'integrale così calcolato è: <math> I = 1.56781 </math> così come mostra la figura 3. [[File:ell6.jpg|thumb|800px|left|figura 3]] {{clear}} Questo risultato, non disponibile in tabella, pur con le limitazioni di precisione nel calcolo rappresenta un notevole contributo nella valutazione degli integrali ellittici. ==Bibliografia== Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970 C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic'', Editrice MODERNA La Spezia, 1998. [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] 9x9fe5bz8s0b5xy3aa5o9f72o0pf9in 286986 286981 2026-08-30T09:37:53Z Funzioni di correlazione 24136 286986 wikitext text/x-wiki Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> a ogni espressione e senza \boxed{}: Scrittura <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> Quindi il risultato è: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX <math>Y = {\sqrt{ x }} \ \ </math> Il calcolo del valore numerico degli integrali ellittici non si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti di I° e II° ordine con estremo superiore d'integrazione fissato in <math> \varphi = \pi / 2 </math> Il problema accennato è risolvibile tramite un particolare file.exe che consente il calcolo del valore numerico dell'integrale ellittico di I° o II° ordine una volta fissato l'estremo superiore d'integrazione, diversamente dalle tabelle, in <math> \varphi \le \ge </math> <math> \pi / 2 </math> ; e identico argomento <math> \alpha</math>. Nelle tabelle citate i valori numerici sono definiti con 15 cifre; per evitare tempi di calcolo improponibili per i P.C. ordinari, la routine limita il calcolo a 5 decimali. == Gli integrali ellittici di I° ordine == Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata: :<math>K(\frac{\varphi}{\alpha})=\int_0^\varphi(1-sin^2\alpha \ sin^2\theta)^{\color{red}-{\frac{1}{2}}} d\theta</math> Le variabili che governano l'integrale sono: *Limite inferiore d'integrazione <math> li = 0</math> *Limite superiore d'integrazione <math> \varphi </math> espresso in radianti *Variabile d'integrazione <math> \theta </math> ; espressa in radianti *Argomento di calcolo <math> \alpha </math> espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.<math>3.2 </math>° Con il calcolatore è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di I° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore <math> \varphi </math> ; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento <math> \alpha </math> compreso tra <math> 0 \ e \ 90 </math>°. ==Gli integrali ellittici di II° ordine == Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata: :<math>K(\frac{\varphi}{\alpha})=\int_0^\varphi(1-sin^2\alpha \ sin^2\theta)^{\color{red}{\frac{1}{2}}} d\theta</math> Le variabili che governano l'integrale sono: *Limite inferiore d'integrazione <math> li = 0</math> *Limite superiore d'integrazione <math> \varphi </math>; espresso in radianti<BR> *Variabile d'integrazione <math> \theta </math>; espressa in radianti *Argomento di calcolo <math> \alpha</math> espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2° ) <BR><BR> Con il calcolatore è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di II° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore &#966; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento <math> \alpha</math> compreso tra <math> 0 \ e \ 90 </math>°. == Una tabella dei valori dell'integrale ellittico precompilata == Si mostra una tabella, del tipo già menzionato, con la quale svolgere esercizi di comparazione tra valori precalcolati e valori computati al momento con ELLIPITC secondo tre colonne: *la prima con l'argomento <math> \alpha </math> in un campo compreso tra <math> 0 \ e \ 45 </math>° a passi di un grado *la seconda con il valore dell'integrale ellittico di primo ordine <math> K(a) </math> computato per <math> \varphi = \pi / 2 </math>. *la terza con il valore dell'integrale ellittico di secondo ordine <math> E(a) </math> computato per <math> \varphi = \pi / 2 </math>. [[File:ell3.jpg|thumb|800px|left|]] {{clear}} Come si vede la tabella è a 15 decimali ma parte da un limite d'integrazione superiore prefissato <math> \varphi = \pi / 2 </math> e la variabilità dell'argomento <math> \alpha </math> è di 1° sessagesimale per passo. Questa tabella, che rappresenta uno sforzo notevole per chi si è cimentato nel calcolo con mezzi non paragonabili agli attuali, può risultare utile per il controllo dei calcoli eseguiti nell'ambito delle variabili della tabella stessa, dopo di che assunta dimestichezza col calcolatore computare variabili di necessità non compresi in essa. ==Primo esempio d'impiego del calcolatore == Una volta lanciato l'eseguibile si ha la presentazione della pagina di calcolo così come mostrato in figura 1. [[File:ell4.jpg|thumb|800px|left|figura 1]] {{clear}} Nella pagina compaiono: *il selettore dell'integrale da calcolare; I° ordine o II° ordine *il textbox1 per l'inserimento dell'estremo superiore d'integrazione &#966; espresso in radianti. *il textbox2 per l'inserimento del valore dell'argomento <math>\alpha </math> espresso in gradi sessagesimali. *il pulsante di '''calcolo''' *il label, blu, per l'indicazione del valore dell'integrale calcolato Supponiamo ora di dover calcolare, a titolo d'esercizio, un valore dell'integrale di I° ordine già esposto in tabella per <math> \alpha = 5 </math>° e <math> \varphi = \pi / 2 </math>. *si seleziona l'ordine dell'integrale: I° *si digita in textbox1 il valore di <math> \varphi = 3.1415927 / 2 </math> = <math> 1.5707963 </math> radianti *si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: <math> \alpha = 5 </math>° * si pigia il pulsante '''calcolo''' e si attende il risultato sul label blu. Il valore dell'integrale così calcolato, visibile in figura 2 è: [[File:ell5.jpg|thumb|800px|left|figura 2]] {{clear}} <math> I = 1.57379 </math> contro il valore di tabella che, per lo stesso argomento, indica <math>I = 1.57379 21309 24768</math> Come si vede i primi 5 decimali compmputati coincidono con i primi 5 precalcolati così come previsto.<BR> Data la complessità di elaborazione il valore dell'integrale definito non compare immediatamente nel label celeste ma necessita di un certo tempo d'attesa. ==Secondo esempio d'impiego del calcolatore == Supponiamo di dover calcolare l'integrale ellittico di II° ordine per <math> \varphi = 1.6 </math> radianti per un argomento <math> \alpha = 6.34 </math>° *si seleziona l'ordine dell'integrale: II° *si digita in textbox1 il valore di <math> \varphi = 1.6 </math> radianti *si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: <math> \alpha = 6.34 </math>° *si pigia il pulsante '''calcolo''' e si attende il risultato sul label blu. Il valore dell'integrale così calcolato è: <math> I = 1.56781 </math> così come mostra la figura 3. [[File:ell6.jpg|thumb|800px|left|figura 3]] {{clear}} Questo risultato, non disponibile in tabella, pur con le limitazioni di precisione nel calcolo rappresenta un notevole contributo nella valutazione degli integrali ellittici. ==Bibliografia== Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970 C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic'', Editrice MODERNA La Spezia, 1998. [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] phssvd7zhie4ladkxtxjy0aojnzq0lz 2 34010 286918 286882 2026-08-29T12:50:18Z Funzioni di correlazione 24136 286918 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mnpuy1vk2o2nofjw1bo023uyaufiwy6 286919 286918 2026-08-29T12:51:01Z Funzioni di correlazione 24136 286919 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <big>=A=</big><big><big>Testo grande</big><big><big>Testo grande</big></big></big> ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 83pubjwi9odzqbolwqns368ue6c6z60 286920 286919 2026-08-29T12:52:40Z Funzioni di correlazione 24136 286920 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <big>=A= =</big>A</big>= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> s7kk2irfb2zd4zficnlrw8n31yr567t 286921 286920 2026-08-29T12:53:58Z Funzioni di correlazione 24136 286921 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> k5q08w9tz314znnmcpl3fpqd152amw1 286922 286921 2026-08-29T12:56:46Z Funzioni di correlazione 24136 286922 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= =====A===== ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hb60lunx4q9hbazdq1v184dde7tlcb5 286923 286922 2026-08-29T12:58:36Z Funzioni di correlazione 24136 286923 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gm1k7u1ri1ao7nazeycmwxpdh0izht3 286930 286923 2026-08-29T13:29:25Z Funzioni di correlazione 24136 286930 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza \boxed{}: <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mqruoggjbp2svofj7kw8b8q48mchm9p 286931 286930 2026-08-29T13:29:56Z Funzioni di correlazione 24136 286931 wikitext text/x-wiki Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia, con <math>...</math> a ogni espressione e senza \boxed{}: <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4esqz0exvz6u6o6149ti4wp1b0q8jhl 286932 286931 2026-08-29T13:30:26Z Funzioni di correlazione 24136 286932 wikitext text/x-wiki <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> lpmfpjbbdmlg96hamm15zlsgh1fzyit 286936 286932 2026-08-29T13:50:34Z Funzioni di correlazione 24136 286936 wikitext text/x-wiki sin ⁡ 2 𝑥 + sin ⁡ 4 𝑥 = sin ⁡ 3 𝑥 <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> =A= ==A== ===A=== ====A==== https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> qht7es9kafiumbtplaf4wako3jtpy5m 286939 286936 2026-08-29T16:21:11Z Funzioni di correlazione 24136 286939 wikitext text/x-wiki <math>\sin x\cos y=\frac14</math> <math>\cos x\sin y=\frac34</math> Sommiamo membro a membro le due equazioni. Otteniamo: <math>\sin x\cos y+\cos x\sin y=\frac14+\frac34=1</math> Usiamo la formula di addizione del seno: <math>\sin(x+y)=1</math> Quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>\sin x\cos y-\cos x\sin y=\frac14-\frac34=-\frac12</math> Usiamo la formula della differenza del seno: <math>\sin(x-y)=-\frac12</math> Le soluzioni dell'equazione sono: <math>x-y=-\frac{\pi}{6}+2h\pi,\qquad h\in\mathbb Z</math> oppure: <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi,\qquad h\in\mathbb Z</math> Consideriamo separatamente i due casi. == Primo caso == <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=-\frac{\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Poiché gli interi <math>k+h</math> e <math>k-h</math> hanno la stessa parità, possiamo scrivere questo insieme di soluzioni nella forma: <math>x=\frac{\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. Infatti, aumentando contemporaneamente <math>x</math> e <math>y</math> di <math>\pi</math>, i segni di seno e coseno cambiano in modo tale che i prodotti rimangono invariati. == Secondo caso == <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4rhni9t4jmbnql7befo4iscxm64bv34 286940 286939 2026-08-29T16:38:26Z Funzioni di correlazione 24136 286940 wikitext text/x-wiki Certo. Interpreto la seconda equazione come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Ecco tutto il procedimento in formato grezzo, pronto da copiare in Wikipedia, con <math>...</math> attorno a ogni espressione. Scrittura <math>\begin{cases} \sin x+\sin y=\frac{3}{2}\ x+y=\frac{2}{3}x \end{cases}</math> Dalla seconda equazione ricaviamo <math>y</math>: <math>x+y=\frac{2}{3}x</math> <math>y=\frac{2}{3}x-x</math> <math>y=-\frac{1}{3}x</math> Sostituiamo questo risultato nella prima equazione: <math>\sin x+\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{3}{2}</math> Poiché <math>\sin(-a)=-\sin a</math>, otteniamo: <math>\sin x-\sin\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{3}{2}</math> Poniamo ora: <math>t=\frac{x}{3}</math> da cui: <math>x=3t</math> L'equazione diventa: <math>\sin(3t)-\sin t=\frac{3}{2}</math> Utilizziamo la formula dell'angolo triplo: <math>\sin(3t)=3\sin t-4\sin^3t</math> Quindi: <math>3\sin t-4\sin^3t-\sin t=\frac{3}{2}</math> <math>2\sin t-4\sin^3t=\frac{3}{2}</math> Moltiplichiamo per <math>2</math>: <math>4\sin t-8\sin^3t=3</math> Portiamo tutto a sinistra: <math>8\sin^3t-4\sin t+3=0</math> Poniamo: <math>u=\sin t</math> Otteniamo l'equazione algebrica: <math>8u^3-4u+3=0</math> Dobbiamo quindi trovare le radici reali di: <math>8u^3-4u+3=0</math> L'equazione non ha radici razionali. Inoltre, considerando la funzione: <math>f(u)=8u^3-4u+3</math> la derivata è: <math>f'(u)=24u^2-4</math> I punti critici sono: <math>24u^2-4=0</math> <math>24u^2=4</math> <math>u^2=\frac{1}{6}</math> <math>u=\pm\frac{1}{\sqrt6}</math> Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 2cjesy9un1b87zquiovq53hskluhk7f 286941 286940 2026-08-29T16:47:03Z Funzioni di correlazione 24136 286941 wikitext text/x-wiki Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> h14binl1lyysxuchzxjnzgdh4hl8da8 286942 286941 2026-08-29T16:51:10Z Funzioni di correlazione 24136 286942 wikitext text/x-wiki Certo. Il sistema è: <math>\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases}</math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> bch4m1krfi3j2sv40ad5r0pqpz6211i 286943 286942 2026-08-29T16:52:44Z Funzioni di correlazione 24136 286943 wikitext text/x-wiki <math>\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases}</math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> sp94u31zc7y6jx5ju02yyq4qt97venu 286944 286943 2026-08-30T06:10:02Z Funzioni di correlazione 24136 286944 wikitext text/x-wiki Certo. Il problema principale è il \ alla fine della prima riga: in LaTeX per andare a capo dentro cases devi usare \\. Per Wikipedia prova così: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Oppure, se stai inserendo il testo direttamente nell'editor di Wikipedia, questa forma dovrebbe essere accettata: <math>\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y = \frac{\pi}{2} \end{cases}</math> Nota: nel tuo codice originale avevi \ singolo dopo \frac{1}{2}, mentre cases richiede \\ per separare le due righe. <math>\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases}</math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1zwig0i3tlw8ng1c44kk02w82f2dq1x 286945 286944 2026-08-30T06:10:55Z Funzioni di correlazione 24136 286945 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Nota: nel tuo codice originale avevi \ singolo dopo \frac{1}{2}, mentre cases richiede \\ per separare le due righe. <math>\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases}</math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> neoh984pcfgbnhlzqtximb4ltyje92h 286946 286945 2026-08-30T06:11:59Z Funzioni di correlazione 24136 286946 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> ptr7ckzwmk1yh16qfle62nai1sb6r95 286949 286946 2026-08-30T06:24:24Z Funzioni di correlazione 24136 286949 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x \sin^2 y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> aj5zpmw00sbppwne2wimfmntqqfi9ew 286950 286949 2026-08-30T06:25:13Z Funzioni di correlazione 24136 286950 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 3hch3a5bvd1j0uciia3oi6c3mhuvlf5 286951 286950 2026-08-30T06:26:17Z Funzioni di correlazione 24136 286951 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 79wf6drrwr30iezdnybp0vjxxpk309s 286952 286951 2026-08-30T06:28:20Z Funzioni di correlazione 24136 286952 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4}\\ \sin^2 x - sin^2 y = 1/4 \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> brq10x3dbpeqnrvmf23ilac30eof5de 286953 286952 2026-08-30T06:29:54Z Funzioni di correlazione 24136 286953 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4}\\ \sin^2 x - \sin^2 y = 1/4 \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gjlrg31c6n6k0qt40vbs865jw8a1jcu 286954 286953 2026-08-30T06:32:07Z Funzioni di correlazione 24136 286954 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4}\\ \sin^2 x - \sin^2 y = 1/4 \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mgtrpd1bwbt5k4fetml56yy4014i0bh 286955 286954 2026-08-30T06:41:49Z Funzioni di correlazione 24136 286955 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4}\\ \sin^2 x - \sin^2 y = 1/4 \end{cases} </math> Certo. Dalle due equazioni ricaviamo prima separatamente <math>\sen^2 x</math> e <math>\sen^2 y</math>, poi risolviamo le due equazioni trigonometriche. <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> r13anczqzm0mvdxrsfldt5w1xxhowgq 286956 286955 2026-08-30T06:42:17Z Funzioni di correlazione 24136 286956 wikitext text/x-wiki <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> h401efcvrqoi6em233o3j6qho8gt22k 286957 286956 2026-08-30T06:43:02Z Funzioni di correlazione 24136 286957 wikitext text/x-wiki Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> dmtfn2enmr9mukww75vknkhxay73vbz 286958 286957 2026-08-30T07:20:26Z Funzioni di correlazione 24136 286958 wikitext text/x-wiki Certo. La soluzione generale si ottiene risolvendo separatamente le due equazioni e poi combinando le condizioni. <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\boxed{\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> b7t19ot13fpoiquxx8supsz6x09u59s 286959 286958 2026-08-30T07:21:19Z Funzioni di correlazione 24136 286959 wikitext text/x-wiki Certo. La soluzione generale si ottiene risolvendo separatamente le due equazioni e poi combinando le condizioni. <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 1d0nuhnosnv6ki99h8cnrp3k9jmyl5o 286960 286959 2026-08-30T07:23:53Z Funzioni di correlazione 24136 286960 wikitext text/x-wiki Certo. La soluzione generale si ottiene risolvendo separatamente le due equazioni e poi combinando le condizioni. <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \middle| x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb{Z}\right}</math> <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> jqktepra1sqsgnars7ssr8csmdykft1 286961 286960 2026-08-30T07:25:37Z Funzioni di correlazione 24136 286961 wikitext text/x-wiki Certo. La soluzione generale si ottiene risolvendo separatamente le due equazioni e poi combinando le condizioni. <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \middle| x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb{Z}\right}</math> <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> p6djq6opo0vqi2rbwcw9em8uw61hlo1 286962 286961 2026-08-30T07:26:28Z Funzioni di correlazione 24136 286962 wikitext text/x-wiki Certo. La soluzione generale si ottiene risolvendo separatamente le due equazioni e poi combinando le condizioni. <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> mt2q6z5lucahz7ef95g3nd0tu804ecs 286967 286962 2026-08-30T08:09:59Z Funzioni di correlazione 24136 286967 wikitext text/x-wiki Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \boxed{ \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z } </math> Ho lasciato anche la \boxed solo perché hai chiesto di non metterla: quella riga finale va eliminata. La versione corretta da copiare termina con: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 32px2pl3urkkcc2oswbq99dpmving69 286968 286967 2026-08-30T08:11:00Z Funzioni di correlazione 24136 286968 wikitext text/x-wiki Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> tuydlde78ugayu8ujzoqpes1c29ftvy 286974 286968 2026-08-30T08:35:37Z Funzioni di correlazione 24136 286974 wikitext text/x-wiki Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 7h4kq32dnmtp79x8arouejt8wydzskj 286978 286974 2026-08-30T08:56:42Z Funzioni di correlazione 24136 286978 wikitext text/x-wiki Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> czdc95a5kgzn9vvsvsibcb8c0havfvd 286979 286978 2026-08-30T08:57:56Z Funzioni di correlazione 24136 Annullata la modifica [[Special:Diff/286978|286978]] di [[Special:Contributions/Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] ([[User talk:Funzioni di correlazione|discussione]]) 286979 wikitext text/x-wiki Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 7h4kq32dnmtp79x8arouejt8wydzskj 286980 286979 2026-08-30T08:58:55Z Funzioni di correlazione 24136 286980 wikitext text/x-wiki Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> czdc95a5kgzn9vvsvsibcb8c0havfvd 102 37619 286928 286891 2026-08-29T13:16:37Z Funzioni di correlazione 24136 286928 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} f1o4jlml5wf28dw51b201hq3csga81p 286929 286928 2026-08-29T13:18:46Z Funzioni di correlazione 24136 286929 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} 412l7d8rp27v7b92vuwmw1pke44xk51 0 37799 286924 286917 2026-08-29T13:04:17Z Funzioni di correlazione 24136 286924 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> fuwg3lz3u3srd1ggkywjjmyzwgih3rc 286925 286924 2026-08-29T13:05:14Z Funzioni di correlazione 24136 286925 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadro: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> 2v35bewyuxdsblqjqy3732ejq61zvuv 286926 286925 2026-08-29T13:07:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 286926 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadri. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> dcrbwafssl9gmj78ciprop3x7rd9zgn 286927 286926 2026-08-29T13:09:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4° esercizio */ 286927 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> 5o3fsnyn938eyx8699p189l69wh4jp5 286933 286927 2026-08-29T13:36:13Z Funzioni di correlazione 24136 286933 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' bobaz11yl2sahuxub7eusufe5kkmk16 286934 286933 2026-08-29T13:37:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 286934 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> heto2lt9kkcfc7rm45akqgmdana6txk 286935 286934 2026-08-29T13:38:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5° esercizio */ 286935 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> oz19ntgunflemiwik94nh3p8vc1wrm6 286937 286935 2026-08-29T16:12:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 1 di 5 */ 286937 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> dhbyovla27rkjm38814abbv0bxvazmo 286938 286937 2026-08-29T16:13:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 1 di 5 */ 286938 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> rc3uxuoniryy13s9m9swt5ff4qcf1qh 286947 286938 2026-08-30T06:19:51Z Funzioni di correlazione 24136 286947 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> 7d8r0ypcqkn6jcwtd7umhr317mtzmkx 286948 286947 2026-08-30T06:22:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° esercizio */ 286948 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> o9jpm8b5ik28tkbrl53d9lnr30jkn82 286963 286948 2026-08-30T07:31:22Z Funzioni di correlazione 24136 286963 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno E tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: 5os961fevrz1lg4zfvetqzqk1gbdy6q 286964 286963 2026-08-30T07:33:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio */ 286964 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno E tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> tb8h94spfdxnq4ukmhgrssfdsskoai9 286965 286964 2026-08-30T07:33:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio */ 286965 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> 7p5wzgwxhemtqo3h2lpjzh1p2im23yq 286969 286965 2026-08-30T08:17:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° esercizio */ 286969 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in seno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: 8hft81jylqgwkfpw7ny1kwsrslb32pz 286970 286969 2026-08-30T08:18:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° esercizio */ 286970 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in seno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: 0ls1ej2m1n3g1jt997bql771cd6vc0p 286971 286970 2026-08-30T08:19:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° esercizio */ 286971 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in seno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> akfccj03ih5llb6m755nmapq37h4dzu 286972 286971 2026-08-30T08:20:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° esercizio */ 286972 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> 3xxcevnvtjr6ztql2a3mdvgkf076f8c 286973 286972 2026-08-30T08:29:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 8° esercizio */ 286973 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2) elqyi7zq6n2t5bfy2wb381jl33f8li0 286975 286973 2026-08-30T08:37:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° esercizio */ 286975 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> pemidk01k0oviipmjx76ql243fsjyhj 286976 286975 2026-08-30T08:48:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° esercizio */ 286976 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione m24g5mtv580h1sknbmvtlrgjandvxqw 286977 286976 2026-08-30T08:53:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio */ 286977 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione 4di21vvsp1rl50c14iwruilixy4lfd3 286982 286977 2026-08-30T09:05:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° esercizio */ 286982 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. 658yain4ds7vtpf74omm1nuxxh6girc 286983 286982 2026-08-30T09:07:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 1 di 5 */ 286983 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1xx° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''10 esercizi ''' == 1xx° esercizio == 1rhak8j233vxlbd35qy43fspsy4nlbg 286984 286983 2026-08-30T09:12:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 2 di 5 */ 286984 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1xx° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == 3q9crs1nj7em02odmphhdai79jgtilm 286985 286984 2026-08-30T09:19:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 1 di 5 */ 286985 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == lj8xb4dcis5byuwxn8svk58g6omnd0c 286987 286985 2026-08-30T09:39:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1°/2 esercizio */ 286987 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> Quindi il risultato è: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> p6jyzrdf6zewgwn57eckkkd3d3jyl9w 286988 286987 2026-08-30T09:43:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1°/2 esercizio */ 286988 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> Quindi il risultato è: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> fmmmoyqidbnegwe5gayvwigjkqknun0