Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 286989 286980 2026-08-30T13:33:11Z Funzioni di correlazione 24136 286989 wikitext text/x-wiki Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4yd057zznfesdvr156u2hp810fk6te6 286999 286989 2026-08-31T06:39:21Z Funzioni di correlazione 24136 286999 wikitext text/x-wiki '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> hq3age62hxr5jndyogqtw7xf34u7uol 287035 286999 2026-08-31T08:43:09Z Funzioni di correlazione 24136 287035 wikitext text/x-wiki Elaborato per 14s Certo. Ti lascio tutto in un unico blocco, in formato grezzo compatibile con Wikipedia/MediaWiki, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math> e </math> e senza \boxed{}. Scrittura Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Mostra tutti i passaggi ''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag <math </math> ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra <math>...</math> e senza \boxed{}. == Soluzione == Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo <math>...</math> attorno a ogni espressione. <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\ \sen^2 x-\sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{sommiamo membro a membro le due equazioni:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34+\frac14 </math> <math> 2\sen^2 x=1 </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:} </math> <math> (\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y) =\frac34-\frac14 </math> <math> 2\sen^2 y=\frac12 </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \text{Quindi il sistema diventa:} </math> <math> \begin{cases} \sen^2 x=\frac12\\ \sen^2 y=\frac14 \end{cases} </math> <math> \text{Per la prima equazione:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 </math> <math> \sen x=\pm\sqrt{\frac12} </math> <math> \sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2} </math> <math> \text{Pertanto:} </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi </math> <math> x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{Per la seconda equazione:} </math> <math> \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen y=\pm\frac12 </math> <math> \text{I valori corrispondenti sono:} </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi </math> <math> \text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:} </math> <math> y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z </math> <math> \text{La soluzione generale del sistema è quindi:} </math> <math> \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2} \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> <math> \text{Verifica:} </math> <math> \sen^2 x=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sen^2 y=\frac14 </math> <math> \sen^2 x+\sen^2 y =\frac12+\frac14 =\frac34 </math> <math> \sen^2 x-\sen^2 y =\frac12-\frac14 =\frac14 </math> <math> \text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.} </math> Soluzione generale: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z</math>. Sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> Certo. Interpreto 3.14/2 come <math>\frac{3.14}{2}=1.57</math>. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag <math>...</math>. == Risoluzione del sistema == Consideriamo il sistema: <math> \begin{cases} \sin x\,\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{3.14}{2} \end{cases} </math> Dalla seconda equazione otteniamo: <math> x+y=\frac{3.14}{2}=1.57 </math> Usiamo l'identità trigonometrica: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y </math> Poiché: <math> \sin x\sin y=\frac12 </math> segue che: <math> \cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12 </math> Ma: <math> x+y=1.57 </math> quindi: <math> \cos(x+y)=\cos(1.57) </math> e pertanto: <math> \cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12 </math> Ora osserviamo che: <math> 1.57\approx\frac{\pi}{2} </math> e quindi: <math> \cos(1.57)\approx0 </math> Perciò: <math> \cos x\cos y\approx\frac12 </math> Per trovare <math>x</math> e <math>y</math>, usiamo la formula: <math> \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2} </math> Sostituendo <math>\sin x\sin y=\frac12</math> e <math>x+y=1.57</math>: <math> \frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2} </math> Moltiplicando per <math>2</math>: <math> 1=\cos(x-y)-\cos(1.57) </math> Quindi: <math> \cos(x-y)=1+\cos(1.57) </math> Poiché <math>\cos(1.57)\approx0</math>, otteniamo: <math> \cos(x-y)\approx1 </math> Da cui: <math> x-y\approx2k\pi </math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Abbiamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} x+y=1.57\\ x-y=2k\pi \end{cases} </math> Sommiamo le due equazioni: <math> 2x=1.57+2k\pi </math> e quindi: <math> x=\frac{1.57}{2}+k\pi </math> Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima: <math> 2y=1.57-2k\pi </math> da cui: <math> y=\frac{1.57}{2}-k\pi </math> Pertanto, usando <math>3.14/2</math> come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono: <math> x=0.785+k\pi </math> <math> y=0.785-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math> Se invece si intende esattamente <math>x+y=\frac{\pi}{2}</math>, il sistema diventa: <math> \begin{cases} \sin x\sin y=\frac12\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> e le soluzioni sono: <math> x=\frac{\pi}{4}+k\pi </math> <math> y=\frac{\pi}{4}-k\pi </math> con: <math> k\in\mathbb Z </math>Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre: <math>f(-1)=-8+4+3=-1<0</math> e: <math>f(1)=8-4+3=7>0</math> Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math>. Indichiamo tale radice con <math>u_0</math>. Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> Quindi: <math>\sin t=u_0</math> ovvero: <math>\sin t\approx-0.94717</math> Poniamo: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> con <math>\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>. Numericamente: <math>\alpha\approx-1.2445</math> Le soluzioni generali dell'equazione <math>\sin t=u_0</math> sono: <math>t=\alpha+2k\pi</math> oppure: <math>t=\pi-\alpha+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Poiché <math>x=3t</math>, otteniamo la prima famiglia: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> e la seconda: <math>x=3(\pi-\alpha)+6k\pi</math> Quindi: <math>x=3\alpha+6k\pi</math> oppure: <math>x=3\pi-3\alpha+6k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Dato che: <math>\alpha\approx-1.2445</math> le due famiglie diventano numericamente: <math>x\approx-3.7335+6k\pi</math> oppure: <math>x\approx13.1583+6k\pi</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla relazione: <math>y=-\frac{x}{3}</math> Per la prima famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\alpha-2k\pi</math> Per la seconda famiglia: <math>y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)</math> <math>y=-\pi+\alpha-2k\pi</math> Pertanto la soluzione generale del sistema è: <math>\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)</math> con: <math>k\in\mathbb Z</math> e: <math>\alpha=\arcsin(u_0)</math> dove <math>u_0</math> è l'unica radice reale nell'intervallo <math>[-1,1]</math> dell'equazione: <math>8u^3-4u+3=0</math> Numericamente: <math>u_0\approx-0.94717</math> <math>\alpha\approx-1.2445</math> quindi: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}</math> oppure: <math>\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Per esempio, scegliendo <math>k=0</math>, otteniamo le due soluzioni rappresentative: <math>(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)</math> e: <math>(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)</math> Verifica della seconda equazione per la prima soluzione: <math>x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890</math> e: <math>\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890</math> quindi la seconda equazione è soddisfatta. In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo <math>6\pi</math> per <math>x</math>. Nota: ho interpretato <math>x+y=2/3x</math> come <math>x+y=\frac{2}{3}x</math>. Inoltre ho lasciato fuori i tag <math>boxed</math> nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra. <math>x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> <math>x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi</math> Sommiamo le due equazioni: <math>2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi</math> <math>2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi</math> <math>x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi</math> Sottraiamo la seconda equazione dalla prima: <math>2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi</math> <math>2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi</math> Quindi possiamo scrivere: <math>x=\frac{5\pi}{6}+n\pi</math> <math>y=-\frac{\pi}{3}+n\pi</math> con <math>n\in\mathbb Z</math>. == Verifica == Per la prima famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34</math> Per la seconda famiglia, poniamo <math>n=0</math>: <math>x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}</math> Allora: <math>\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14</math> e: <math>\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34</math> Pertanto le soluzioni sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> oppure: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z</math> Considerando le soluzioni modulo <math>2\pi</math>, si ottengono le quattro coppie: <math>\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)</math> <math>\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)</math> https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione] === Algebra e geometria === [https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]] [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. W Wikiversità Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati. E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo. W Fonti ==7° esercizio, valutazione pesi== In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo: Peso Numero di ragazzi 50–60 kg 20 60–70 kg 35 70–80 kg 30 80–90 kg 10 90–100 kg 5 Si sceglie un ragazzo a caso. Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg? Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg? Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg? Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento? rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema: '''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.''' '''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.''' '''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?''' <math>P(D)=0{,}04</math> <math>P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96</math> <math>P(S\mid D)=0{,}95</math> <math>P(S\mid\overline{D})=0{,}03</math> Dove <math>D</math> indica l'evento «il componente è difettoso» e <math>S</math> indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso». Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, <math>P(S)</math>. Per il teorema della probabilità totale: <math>P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})</math> Sostituiamo i valori del problema: <math>P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96</math> Calcoliamo i due prodotti: <math>0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038</math> <math>0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288</math> Quindi: <math>P(S)=0{,}038+0{,}0288</math> <math>P(S)=0{,}0668</math> Convertiamo in percentuale: <math>0{,}0668\cdot100=6{,}68%</math> Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è: <math>P(S)=6{,}68%</math> Per esprimere il risultato in percentuale: <math> P(Z>3)\times100\% = 0.0013499\times100\% </math> <math> P(Z>3)\approx0.13499\% </math> Arrotondando: <math> P(Z>3)\approx0.135\% </math> Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa: <math> {0.135\%} </math> del tempo. Equivalentemente, la frazione di tempo è: <math> 0.00135 </math> ovvero circa: <math> \frac{1}{741} </math> del tempo. Per esempio, su un intervallo di un'ora: <math> 3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s} </math> quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora. Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo <math>+3\ \mathrm{V}</math>. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè <math>|V|>3\ \mathrm{V}</math>, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio: <math> P(|Z|>3)=2P(Z>3)\approx0.270\% </math> Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13. Indichiamo con <math>x_1</math>, <math>x_2</math> e <math>x_3</math> i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione <math> x_1+x_2+x_3=13 </math> con il vincolo <math> 1\leq x_1,x_2,x_3\leq6 </math> Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo: <math> (1,6,6) </math> <math> (2,5,6) </math> <math> (2,6,5) </math> <math> (3,4,6) </math> <math> (3,5,5) </math> <math> (3,6,4) </math> <math> (4,3,6) </math> <math> (4,4,5) </math> <math> (4,5,4) </math> <math> (4,6,3) </math> <math> (5,2,6) </math> <math> (5,3,5) </math> <math> (5,4,4) </math> <math> (5,5,3) </math> <math> (5,6,2) </math> <math> (6,1,6) </math> <math> (6,2,5) </math> <math> (6,3,4) </math> <math> (6,4,3) </math> <math> (6,5,2) </math> <math> (6,6,1) </math> Pertanto gli esiti favorevoli sono <math> 21 </math> La probabilità cercata è quindi <math> P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216} </math> Semplificando la frazione per 3: <math> \frac{21}{216}=\frac{7}{72} </math> Convertendo in percentuale: <math> \frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\% </math> Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è <math> P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722 </math> ossia circa <math> 9{,}72\% </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx [[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]] # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> Come insieme di addendi: La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6=\frac{196112}{653?}</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> == 7^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y) Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> == 6^ Problema di geometria risolto da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> j4mzjgtfpg6b4vqj0m3yei5zvqz6twk 102 37619 287040 286929 2026-08-31T09:20:21Z Funzioni di correlazione 24136 287040 wikitext text/x-wiki {{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= <div style="background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;"> '''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale''' '''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.''''' Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici. Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico. '''Il corso comprende un'introduzione e 21 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.''' </div> == Obiettivi del corso == Il corso si propone due obiettivi principali: fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica; mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati. L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''. == Come utilizzare il corso == Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento: '''Leggere e comprendere il problema.''' '''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA. '''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.''' '''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati. '''Analizzare eventuali differenze o errori.''' Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale. <div style="background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;"> '''Attenzione''' L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti. Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico. </div> == Percorso del corso == Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico. === Introduzione === [[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] === Algebra e geometria === [[Algebra con IA]] [[Disequazioni_con_IA]] [[Trigonometria]] [[Geometria piana]] [[Applicazioni_di_geometria_analitica]] === Analisi matematica === [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] [[Le derivate: elenchi e calcoli]] [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] [[Studio di funzioni secondo IA]] [[Discussione dei problemi di secondo grado]] [[Integrali definiti]] [[Integrali indefiniti]] === Argomenti avanzati === [[Teoria dei residui]] [[Calcolo combinatorio]] [[Le serie]] [[Calcolo delle probabilità]] [[Calcolatore della trasformata di Fourier]] [[Calcolatore della serie di Fourier]] [[Le funzioni di correlazione]] [[Cenno sulle equazioni differenziali]] [[Le funzioni di Bessel]] == Un laboratorio di matematica == Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''. Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti: '''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato''' Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici. == Prerequisiti == Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati. Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica. Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso. == Bibliografia e testi di approfondimento == G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova. T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino. M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover. C. Del Turco, ''La correlazione''. G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli. A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York. C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia. R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma. == Sviluppi futuri == Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso: nuovi esercizi; applicazioni pratiche della matematica; nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer; esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale; confronti tra diversi metodi di soluzione; esercizi di difficoltà crescente. '''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.''' [[Categoria:Sonar]] [[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]] }} Q }} s50rihvc6njlwfgs9ypxeiok75h9pn4 0 37789 286993 286643 2026-08-31T06:17:24Z Funzioni di correlazione 24136 286993 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Le serie|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle serie|}} == Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer== Da IA, cosa sono ler serie: Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo: **a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …** Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**. === Premessa=== Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA. In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare. Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie: delle funzioni trascendenti delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier delle funzioni binomiali miscelanea di funzioni La voce contiene 20 esercizi. =='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''== == 1° Calcolo di 5 addendi della serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo della serie di Taylor di <math>\sin x</math> per <math>x=0,1</math>, utilizzando i primi 5 termini La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è: <math>\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots</math> Per <math>x=0,1</math> si sostituisce il valore nella serie: <math>\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}</math> I 5 addendi sono: <math>a_1=0,1</math> <math>a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667</math> <math>a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333</math> <math>a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127</math> <math>a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573</math> La somma dei 5 addendi è: <math>S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573</math> <math>S_5\approx0,0998334166468282</math> Il valore della funzione seno è: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa. Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0,1</math> il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Sostituendo <math>x=0,1</math>: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}</math> Questo rapporto tende a zero per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0<1</math> Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di <math>x</math>. Conclusione: <math>\sin(0,1)\approx0,0998334166468282</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 2° Calcolo di 5 addendi della serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)== A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha: Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per <math>\cos x</math>, con <math>x=0,15</math> radianti. <math>\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots</math> Sostituendo <math>x=0,15</math>: <math>\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}</math> Calcoliamo i singoli termini: <math>(0,15)^2=0,0225</math> <math>(0,15)^4=0,00050625</math> <math>(0,15)^6=0,000011390625</math> <math>(0,15)^8=0,0000002562890625</math> Quindi: <math>\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}</math> <math>\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356</math> <math>\cos(0,15)=0,988771077936</math> Risultato numerico: <math>\cos(0,15)\approx0,988771077936</math> La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto. == 3° Calcolo di 7 addendi della serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)== <math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots</math> Per <math>x=0.05</math> radianti, calcoliamo i primi 7 addendi: <math>x=0.05</math> <math>x^3=(0.05)^3=0.000125</math> <math>x^5=(0.05)^5=0.0000003125</math> <math>x^7=(0.05)^7=0.00000000078125</math> <math>x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125</math> <math>x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125</math> <math>x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125</math> Primo addendo: <math>a_1=x=0.05</math> Secondo addendo: <math>a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667</math> Terzo addendo: <math>a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667</math> Quarto addendo: <math>a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984</math> Quinto addendo: <math>a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427</math> Sesto addendo: <math>a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278</math> Settimo addendo: <math>a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385</math> La somma dei 7 addendi è quindi: <math>\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385</math> <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor: <math>\tan(0.05)\approx0.0500417083755388</math> La serie è convergente. == 4° Calcolo di 4 addendi della serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)== <math> \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} </math> <math> x=0.6 </math> Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3</math>. <math> \arcsin(0.6)\approx 0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112} </math> Primo addendo: <math> a_0=0.6 </math> Secondo addendo: <math> a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036 </math> Terzo addendo: <math> a_2=\frac{3(0.6)^5}{40} </math> <math> (0.6)^5=0.07776 </math> <math> a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832 </math> Quarto addendo: <math> a_3=\frac{5(0.6)^7}{112} </math> <math> (0.6)^7=0.0279936 </math> <math> a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143 </math> Somma dei quattro addendi: <math> S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143 </math> <math> S_4\approx0.6430817143 </math> Il valore della funzione è: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6435011088 </math> Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione: <math> \arcsin(0.6)\approx0.6430817143 </math> con errore approssimativo: <math> 0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945 </math> Per quanto riguarda la convergenza, la serie di <math>\arcsin(x)</math> converge per: <math> |x|\leq1 </math> e quindi, poiché: <math> |0.6|<1 </math> la serie converge per <math>x=0.6</math>. Conclusione: <math> {\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143} </math> == 5° Calcolo di 6 addendi della serie per arctan x ; (x = 0.25 radianti)== La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è: <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots</math> Per <math>x=0.25</math>, calcoliamo i primi 6 addendi: <math>S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}</math> Calcolo delle potenze: <math>(0.25)^3=0.015625</math> <math>(0.25)^5=0.0009765625</math> <math>(0.25)^7=0.00006103515625</math> <math>(0.25)^9=0.000003814697265625</math> <math>(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625</math> Quindi: <math>S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}</math> <math>S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163</math> <math>S_6\approx0.244978662039</math> Il valore della funzione è: <math>\arctan(0.25)\approx0.244978663127</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088</math> La serie converge perché la serie di Taylor di <math>\arctan(x)</math> è: <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}</math> e converge per <math>|x|\leq1</math>, con convergenza assoluta per <math>|x|<1</math>. Poiché: <math>|0.25|<1</math> la serie converge assolutamente per <math>x=0.25</math>. Conclusione: <math>{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}</math> <math>S_6\approx0.2449786620</math> La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa. == 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)== <math>\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> Per <math>x=0.25</math> radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie: <math>\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots</math> Primo addendo: <math>a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25</math> Secondo addendo: <math>a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667</math> Terzo addendo: <math>a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333</math> Quarto addendo: <math>a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005</math> Sommiamo i quattro addendi: <math>\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005</math> <math>\sinh(0.25)\approx0.252612316797683</math> Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}</math> Ponendo <math>x=0.25</math> otteniamo: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}</math> Calcolando il limite per <math>n\to\infty</math>: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente. <math>{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}</math> <math>{\text{La serie converge assolutamente.}}</math> == 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)== <math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math> <math>x=1.23</math> I quattro addendi della serie sono: <math>a_1=1.23</math> <math>a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645</math> <math>a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271</math> <math>a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225</math> La somma dei primi quattro addendi è: <math>S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225</math> <math>S_4=0.522521775</math> La serie converge se <math>|x|<1</math>. Per <math>x=1.23</math> si ha: <math>|1.23|>1</math> quindi la serie di Taylor <math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}</math> non converge per <math>x=1.23</math>. Infatti, il termine generale non tende a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty</math> Pertanto la serie diverge. Nota: <math>\ln(1+1.23)=\ln(2.23)</math> esiste, ma la serie di potenze centrata in <math>x=0</math> non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché <math>x=1.23</math> è fuori dal suo raggio di convergenza. == 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)] (per x = 2.5)== <math>\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)</math> <math>x=2.5</math> <math>\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)</math> <math>a_1=\frac{2}{2.5}=0.8</math> <math>a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667</math> <math>a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096</math> <math>a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208</math> <math>a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254</math> <math>a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626</math> <math>a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032</math> <math>S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7</math> <math>S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032</math> <math>S_7\approx0.847297787</math> <math>\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860</math> <math>\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}</math> <math>\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.</math> <math>\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }</math> <math>a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2} =\frac{1}{x^2}</math> <math>\text{Per }x=2.5\text{ si ha }</math> <math>\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16<1</math> <math>\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}</math> <math>{\text{La serie converge per }x=2.5.}</math> <math>\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.</math> == 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x (per x = 1)== La serie di Taylor per la funzione esponenziale è <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> Per <math>x=1</math> si ottiene <math>e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math> Calcoliamo i primi 5 addendi: <math>\frac{1}{0!}=1</math> <math>\frac{1}{1!}=1</math> <math>\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5</math> <math>\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667</math> <math>\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667</math> La somma dei primi 5 addendi è quindi <math>S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> <math>S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667</math> <math>S_4\approx2,7083334</math> Il valore esatto della somma è <math>S_4=\frac{65}{24}</math> Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}</math> <math>=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0</math> Poiché <math>0<1</math> la serie converge assolutamente. Quindi, per <math>x=1</math>, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e</math> e <math>e\approx2,718281828</math> I primi 5 addendi danno l'approssimazione <math>e\approx2,7083333</math> La serie è dunque convergente. == 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x (per x = 1,3)== <math>\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|<1</math> Per <math>x=1,3</math> si ha: <math>x-1=0,3</math> Quindi la serie diventa: <math>\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}</math> Calcoliamo i primi 6 addendi: <math>a_1=\frac{0,3}{1}=0,3</math> <math>a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045</math> <math>a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009</math> <math>a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025</math> <math>a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486</math> <math>a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215</math> <math>S_6=0,2623395</math> Quindi: <math>\ln(1,3)\approx0,2623395</math> Il valore effettivo è circa: <math>\ln(1,3)\approx0,262364264</math> L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa: <math>|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764</math> La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}</math> e i termini in valore assoluto tendono a zero: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0</math> Inoltre, poiché: <math>|0,3|<1</math> la serie converge assolutamente, infatti: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}</math> converge. Conclusione: <math>{\ln(1,3)\text{ converge}}</math> <math>{S_6=0,2623395}</math> <math>{\ln(1,3)\approx0,262364264}</math> =='''(esercizi con le serie di Fourier)'''== == 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = +A per 0 < t < T/2 ; -A per T/2 < t < T == Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Consideriamo la funzione periodica di periodo <math>T</math> e ampiezza <math>A </math> definita nell'intervallo <math>(0,T)</math> da <math> \begin{cases} +A \ per \ 0 < t < T/2\\ -A \ per \ T/2 < t < T \end{cases} </math> La serie di Fourier nella forma trigonometrica è <math>y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]</math> dove la pulsazione fondamentale è <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math> Calcolo del termine medio Il coefficiente <math>a_0</math> è <math>a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt</math> Sostituendo la definizione della funzione, <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]</math> <math>a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0</math> Quindi <math>\frac{a_0}{2}=0</math> Calcolo dei coefficienti <math>a_n</math> I coefficienti <math>a_n</math> sono <math>a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt</math> Separando i due intervalli, <math>a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ottiene <math>a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Con <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi</math> e <math>n\omega_0T=2n\pi</math> perciò <math>\sin(n\pi)=0</math> e <math>\sin(2n\pi)=0</math> Da cui <math>a_n=0</math> per ogni <math>n</math>. Calcolo dei coefficienti <math>b_n</math> I coefficienti <math>b_n</math> sono <math>b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt</math> Sostituendo la funzione, <math>b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]</math> Poiché <math>\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}</math> si ha <math>b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}</math> Calcolando i valori agli estremi, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]</math> Poiché <math>\cos(n\pi)=(-1)^n</math> e <math>\cos(2n\pi)=1</math> segue che <math>b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]</math> Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]</math> <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]</math> Quindi, distinguendo i due casi: per <math>n</math> pari, <math>(-1)^n=1</math> e quindi <math>b_n=0</math> per <math>n</math> dispari, <math>(-1)^n=-1</math> e quindi <math>b_n=\frac{4A}{n\pi}</math> Pertanto '''Serie di Fourier finale''' Poiché <math>a_0=0</math> e <math>a_n=0</math>, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari: Sostituendo <math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>, <math>y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]</math> Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza <math>A</math> e periodo <math>T</math>. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali. == 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) == Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier. Calcolo della serie di Fourier Consideriamo la funzione <math>y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)</math> Approssimiamo <math>3.14</math> con <math>\pi</math> e <math>6.28</math> con <math>2\pi</math>. Quindi possiamo scrivere <math>y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)</math> Poniamo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> e consideriamo la funzione <math>f(x)=\arcsin(\sin x)</math> La funzione <math>f(x)</math> è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo <math>2\pi</math>. Per <math>-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> vale <math>f(x)=x</math> e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni. La serie di Fourier di una funzione dispari è <math>f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)</math> con <math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx</math> Poiché <math>f(x)</math> è dispari e <math>\sin(nx)</math> è dispari, il prodotto è pari, quindi <math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx</math> Nell'intervallo <math>0\leq x\leq\frac{\pi}{2}</math> si ha <math>f(x)=x</math> mentre nell'intervallo <math>\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi</math> si ha <math>f(x)=\pi-x</math> Pertanto <math>b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]</math> Il risultato dell'integrazione è <math>b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}</math> Poiché <math>\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0</math> per <math>n</math> pari, tutti gli armonici pari sono assenti. Per <math>n=2k+1</math> si ha <math>\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k</math> e quindi <math>b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}</math> La serie di Fourier di <math>\arcsin(\sin x)</math> è dunque <math>\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)</math> Sostituendo <math>x=\frac{2\pi t}{T}</math> otteniamo <math>\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Moltiplicando per <math>\frac{2A}{\pi}</math>: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Serie scritta come insieme di addendi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]</math> ovvero <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots</math> In forma compatta: <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> Convergenza La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a <math>\frac{1}{(2k+1)^2}</math> e la serie numerica <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}</math> è convergente. In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché <math>\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}</math> e <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}<\infty</math> Perciò la serie converge uniformemente a <math>y(t)</math> per ogni <math>t</math>, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare. Il risultato finale è quindi <math>y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)</math> =='''Serie per le funzioni binomiali)'''== == 13° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1 == <math>(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}</math> La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica: <math>\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots</math> Ponendo: <math>t=-x</math> si ottiene: <math>\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n</math> Quindi: <math>(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n</math> I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> Pertanto la somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5</math> La serie completa è: <math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots</math> Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale: <math>a_n=(-1)^n x^n</math> e applichiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|</math> La serie converge quando: <math>|x|<1</math> Inoltre, per: <math>|x|>1</math> i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge. Per gli estremi: <math>x=1</math> si ottiene: <math>1-1+1-1+\cdots</math> che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra <math>1</math> e <math>0</math>. Per: <math>x=-1</math> si ottiene: <math>1+1+1+1+\cdots</math> che diverge. Quindi l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x<1</math> e il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> La somma della serie, per <math>|x|<1</math>, è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}</math> == 14° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^-1/3 == <math>(1+x)^{-1/3}</math> <math>(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n</math> <math>\alpha=-\frac{1}{3}</math> <math>(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n</math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math>\binom{-1/3}{0}=1</math> <math>\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}</math> <math>\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}</math> <math>\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}</math> <math>\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}</math> <math>\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}</math> Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> I 6 addendi richiesti sono quindi: <math>1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}</math> Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale: <math>a_n=\binom{-1/3}{n}x^n</math> Usiamo il criterio del rapporto: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|</math> <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|</math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math>|x|<1</math> e diverge se: <math>|x|>1</math> Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi <math>x=1</math> e <math>x=-1</math>. Per <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}</math> La serie converge, poiché rappresenta il valore finito: <math>(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}</math> Per <math>x=-1</math>: <math>(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}</math> L'espressione non è definita e la serie non converge. Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math>-1<x\leq1</math> Il raggio di convergenza è: <math>R=1</math> Conclusione: <math>(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots</math> <math>R=1</math> <math>-1<x\leq1</math> == 15° Calcolo di 5 addendi della serie per (1+x)^-1/2 == Calcolo dei primi 5 addendi della serie <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n</math> La formula del coefficiente binomiale generalizzato è <math>\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math> Ponendo <math>\alpha=-\frac{1}{2}</math>, calcoliamo i primi 5 addendi. Per <math>n=0</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1</math> Per <math>n=1</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x</math> Per <math>n=2</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2</math> Per <math>n=3</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3</math> Per <math>n=4</math>: <math>\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4</math> Quindi i primi 5 addendi sono <math>1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4</math> e la serie completa è <math>(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots</math> Convergenza Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è <math>R=1</math>. Quindi la serie converge sicuramente per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math>. Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots</math> La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots</math> I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge. Pertanto l'intervallo di convergenza è <math>-1<x\leq 1</math> La serie converge assolutamente per <math>|x|<1</math> e converge condizionatamente per <math>x=1</math>. == 16° Calcolo di 6 addendi della serie per (1+x)^1/2 == <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> <math> \binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!} </math> Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per <math>n=0,1,2,3,4,5</math>. <math> n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1 </math> <math> n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x </math> <math> n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2 </math> <math> n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3 </math> <math> n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4 </math> <math> n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5 </math> I primi 6 addendi sono quindi: <math> (1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> La serie binomiale generale è: <math> (1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n </math> Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi: <math> \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right| </math> <math> =\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right| </math> Passando al limite: <math> \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x| </math> Per il criterio del rapporto la serie converge se: <math> |x|<1 </math> e diverge se: <math> |x|>1 </math> Il raggio di convergenza è quindi: <math> R=1 </math> Bisogna controllare separatamente gli estremi. Per <math>x=1</math>: <math> 1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots </math> La serie converge e la sua somma è: <math> (1+1)^{1/2}=\sqrt2 </math> Per <math>x=-1</math>: <math> 1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots </math> Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è: <math> (1-1)^{1/2}=0 </math> Pertanto l'intervallo di convergenza è: <math> [-1,1] </math> In conclusione, la serie di <math>(1+x)^{1/2}</math> è: <math> 1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots </math> e converge per: <math> -1\leq x\leq1 </math> mentre diverge per: <math> x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1 </math> ==''' Miscelanea'''== == 17° Calcolo di 7 addendi della serie geometrica di 1 / ( 1-x ) == <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots</math> La serie geometrica ha primo termine <math>a=1</math> e ragione <math>r=x</math>. I primi 7 addendi sono: <math>1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6</math> La somma dei primi 7 addendi è: <math>S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6</math> Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica: <math>S_n=\frac{1-x^n}{1-x}</math> per <math>n=7</math> si ottiene: <math>S_7=\frac{1-x^7}{1-x}</math> La serie infinita è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n</math> e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1: <math>|x|<1</math> Infatti, in questo caso: <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math> e quindi: <math>\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}</math> Per <math>|x|\geq 1</math> la serie non converge. Conclusione: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|<1</math> == 18° Calcolo di 6 addendi della serie armonica -ln ( 1-x ) == La serie di potenze associata alla funzione <math>-\ln(1-x)</math> è <math>-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> I primi sei addendi sono <math>x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è <math>S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}</math> In generale, la somma parziale di ordine <math>N</math> è <math>S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}</math> La serie converge per <math>|x|<1</math> e diverge per <math>|x|>1</math> Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi. Per <math>x=1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots</math> Questa è la serie armonica e diverge. Per <math>x=-1</math> si ottiene <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots</math> Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è <math>-\ln(2)</math> Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è <math>[-1,1)</math> La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}</math> è quindi convergente per <math>-1\leq x<1</math> e divergente per <math>x\geq1</math> oppure <math>x<-1</math>. ==19° Scrivi i primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)== Il numero di Nepero <math>e</math> può essere calcolato mediante la serie <math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> I primi 5 addendi della serie sono <math>\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}</math> Sviluppando i fattoriali si ottiene <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}</math> La somma dei primi 5 addendi è <math>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}</math> <math>=2+\frac{17}{24}</math> <math>=\frac{65}{24}</math> <math>\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots</math> Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi, <math>e\approx2{,}708333\ldots</math> Il valore di <math>e</math> è <math>e\approx2{,}718281828\ldots</math> La serie converge perché, indicando con <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> il rapporto tra due termini consecutivi è <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}</math> e quindi <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> Poiché il limite è minore di <math>1</math>, per il criterio del rapporto la serie converge. Pertanto, <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero <math>e=2{,}718281828\ldots</math> ==20° Scrivi i primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)== # Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π <math>\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)</math> I primi 6 addendi sono: <math>4\cdot 1</math> <math>-4\cdot\frac{1}{3}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{5}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{7}</math> <math>+4\cdot\frac{1}{9}</math> <math>-4\cdot\frac{1}{11}</math> La somma dei primi 6 addendi è: <math>S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}</math> <math>S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)</math> <math>S_6\approx 3{,}002175954</math> Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da <math>\pi\approx3{,}141592654</math>. La serie è: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}</math> Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini <math>\frac{4}{2n+1}</math> tendono a zero e decrescono monotonamente. Pertanto: <math>\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi</math> La serie converge a <math>\pi</math>, ma molto lentamente. Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.) rcgr9q3k0e7648k7dl2hzymj2fflb9j 0 37799 286990 286988 2026-08-30T13:42:52Z Funzioni di correlazione 24136 286990 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> Quindi il risultato è: == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> 5sidws9tww1gpv6x0j8l21dkipojnth 286991 286990 2026-08-30T13:44:01Z Funzioni di correlazione 24136 286991 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> Quindi il risultato è: == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> edg3nw00a1elq2b0b1jbah96lmwlqcx 286992 286991 2026-08-30T13:46:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1°/2 esercizio */ 286992 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore si ha infine: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> nb7o8nx93w91w1moz2lc3a0zs9qeasf 286994 286992 2026-08-31T06:19:13Z Funzioni di correlazione 24136 286994 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [Funzioni goniometriche]] =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore si ha infine: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> b6l3hb8y646ac6lgo54w7tr2lbl3dwq 286995 286994 2026-08-31T06:19:44Z Funzioni di correlazione 24136 286995 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore si ha infine: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> 9ls5jzewr7h3w4jlaq56qfg2by2f48q 286996 286995 2026-08-31T06:29:17Z Funzioni di correlazione 24136 286996 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] =Sezione 1 di 5= '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore si ha infine: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> dx7xu5k5xr1ao1ai96n0isj8zm6g0dm 286998 286996 2026-08-31T06:36:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sezione 1 di 5 */ 286998 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° 1 esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. =Sezione 2 di 5= '''4 problemi ''' == 1°/2 esercizio == Soluzione di un problema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolovere il problema''' '''sapendo che l'arco alfa del 2° quadrante ha il seno uguale a 3/5 calcolare il seno di alfa/2.''' <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante e sappiamo che: <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math> Dobbiamo calcolare: <math>\sin\frac{\alpha}{2}</math> Utilizziamo la formula di bisezione del seno: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Poiché <math>\alpha</math> appartiene al secondo quadrante, abbiamo: <math>\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}</math> Pertanto <math>\frac{\alpha}{2}</math> appartiene al primo quadrante e il suo seno è positivo. Possiamo quindi scegliere il segno positivo: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}</math> Ora calcoliamo <math>\cos\alpha</math> usando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math> Sostituiamo <math>\sin\alpha=\frac{3}{5}</math>: <math>\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1</math> <math>\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1</math> <math>\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}</math> <math>\cos^2\alpha=\frac{16}{25}</math> Da cui: <math>\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}</math> <math>\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}</math> Essendo <math>\alpha</math> nel secondo quadrante, il coseno è negativo. Quindi: <math>\cos\alpha=-\frac{4}{5}</math> Sostituiamo nella formula di bisezione: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{5}{5}+\frac{4}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}</math> <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}</math> Razionalizzando il denominatore si ha infine: <math>\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}</math> == 2° 2 esercizio == Soluzione di un problema geometrico. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Risolvere il problema''' '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> egn4g5rqex3uxv5qfpzbsq1lkehjflu 287000 286998 2026-08-31T06:41:23Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina sostituita con ' {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]]' 287000 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] 30yhl5emd9bk4v7a41gg4ng6qtkvnmg 287001 287000 2026-08-31T06:43:42Z Funzioni di correlazione 24136 287001 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Problemi di trigonometria]] 5il3pcaxhm8alyaqn2z6trxggz5autw 287006 287001 2026-08-31T07:03:51Z Funzioni di correlazione 24136 287006 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Problemi di trigonometria]] [[Disequazioni trigonometriche]] su3qmanr6bbnxa675s31g5e4lfs2ged 287013 287006 2026-08-31T07:20:38Z Funzioni di correlazione 24136 287013 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] dgcf9inexas437wy418uyb2w2ohmbft 287014 287013 2026-08-31T07:22:13Z Funzioni di correlazione 24136 287014 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] 0qzgx2o0pukrx3iv9a20laesaqnoese 287015 287014 2026-08-31T07:22:30Z Funzioni di correlazione 24136 287015 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] kik0b7heotpdvx956iiw7vvwhoq23yq 287016 287015 2026-08-31T07:22:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* Selettore di pagina */ 287016 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] fwqm0psnmquvb73evuxpxyvk2wtwk7w 287017 287016 2026-08-31T07:23:38Z Funzioni di correlazione 24136 287017 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = Selettore | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] ajl2tcghfte4ub7bve6fsnq6uh9l564 287018 287017 2026-08-31T07:24:14Z Funzioni di correlazione 24136 287018 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = Lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] b06tm1rj7e3ebhmlgmn6aohrq8ung2q 287019 287018 2026-08-31T07:25:36Z Funzioni di correlazione 24136 287019 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Selettore di pagina== [[Funzioni goniometriche]] [[Equazioni e sistemi trigonometrici]] [[Disequazioni trigonometriche]] [[Problemi di trigonometria]] fwqm0psnmquvb73evuxpxyvk2wtwk7w 0 37800 286997 2026-08-31T06:29:44Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\si..." 286997 wikitext text/x-wiki '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9°esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. 366gqbk1f2hpork9betsdzsrxclbwsu 287020 286997 2026-08-31T07:32:21Z Funzioni di correlazione 24136 287020 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9°esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. hzoobsqp40cnsm8bhn7o8fcxo48a1fb 287021 287020 2026-08-31T07:32:53Z Funzioni di correlazione 24136 287021 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi trigonometrici''' == 1° esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen x + tang x = 0 ''' <math>\sin x+\tan x=0</math> Poiché la tangente è definita solo per <math>\cos x\ne0</math>, imponiamo innanzitutto: <math>\cos x\ne0</math> Usiamo la relazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0</math> Portiamo tutto allo stesso denominatore: <math>\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0</math> Raccogliamo <math>\sin x</math> al numeratore: <math>\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0</math> Poiché <math>\cos x\ne0</math>, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo: <math>\sin x(\cos x+1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi. Caso 1: <math>\sin x=0</math> Le soluzioni di questa equazione sono: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Caso 2: <math>\cos x+1=0</math> quindi: <math>\cos x=-1</math> Le soluzioni sono: <math>x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel caso <math>x=k\pi</math>. Pertanto l'insieme delle soluzioni è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Verifica del dominio: <math>\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0</math> quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente. Conclusione: <math>{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}</math> quindi la riga finale da usare effettivamente è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 3° esercizio == Soluzione di una equazione in cotangente e coseno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : cot x - cos x = 0 ''' <math>\cot x-\cos x=0</math> <math>\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0</math> Poiché la cotangente è definita solo per <math>\sin x\ne0</math>, possiamo raccogliere <math>\cos x</math>: <math>\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0</math> Quindi, per la legge di annullamento del prodotto: <math>\cos x=0</math> oppure <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> Prima equazione: <math>\cos x=0</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Questi valori soddisfano anche la condizione <math>\sin x\ne0</math>, quindi sono accettabili. Seconda equazione: <math>\frac{1}{\sin x}-1=0</math> <math>\frac{1}{\sin x}=1</math> <math>\sin x=1</math> <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. Pertanto, l'insieme delle soluzioni è: <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 4° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 ''' <math>2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0</math> Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2 x+\cos^2 x=1</math> Da cui: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo nell'equazione: <math>2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0</math> Sommiamo i termini simili: <math>3\sin^2 x=0</math> Dividiamo per <math>3</math>: <math>\sin^2 x=0</math> Quindi: <math>\sin x=0</math> Il seno è nullo per: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 5° esercizio == Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 ''' <math>3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0</math> Poniamo: <math>t=\tan x</math> L'equazione diventa: <math>3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3</math> <math>\Delta=16\cdot3-36</math> <math>\Delta=48-36=12</math> Poiché: <math>\Delta>0</math> l'equazione ha due soluzioni reali: <math>t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}</math> Poiché: <math>\sqrt{12}=2\sqrt{3}</math> si ottiene: <math>t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}</math> Quindi: <math>t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}</math> e: <math>t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Ricordando che: <math>t=\tan x</math> si hanno le due equazioni: <math>\tan x=\sqrt{3}</math> <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> Per la prima: <math>\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}</math> quindi, tenendo conto del periodo della tangente <math>\pi</math>: <math>x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Per la seconda: <math>\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}</math> quindi: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione è: <math>x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}</math> == 6° esercizio == Soluzione di un sistema in seno. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''x + y = pigreco/2''' ''' sen x sen y = 1/2 Dato il sistema: <math> \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2}\\ x+y=\frac{\pi}{2} \end{cases} </math> sostituiamo <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> nella prima equazione: <math>\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}</math> Usiamo l'identità <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math>: <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}</math> Usiamo la formula dell'angolo doppio <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math>: <math>\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>\sin(2x)=1</math> Le soluzioni di <math>\sin t=1</math> sono: <math>t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Quindi: <math>2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Ora ricaviamo <math>y</math> dalla seconda equazione: <math>y=\frac{\pi}{2}-x</math> Sostituendo il valore di <math>x</math>: <math>y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)</math> <math>y=\frac{\pi}{4}-k\pi</math> Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono: <math>\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z</math> == 7° esercizio == Soluzione di un sistema in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''sen (x - y ) = 0''' ''' tang (x+y) = radice di 3''' Dato il sistema: <math>\sin(x-y)=0</math> <math>\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z</math> Da cui: <math>x=y+k\pi</math> <math>\tan(x+y)=\sqrt3</math> Sappiamo che: <math>\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> quindi: <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z</math> Otteniamo dunque il sistema equivalente: <math>\begin{cases} x-y=k\pi\\ x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi \end{cases}</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi</math> <math>2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda: <math>(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi</math> <math>2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi</math> Dividendo per <math>2</math>: <math>y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}</math> Pertanto la soluzione generale è: <math>\left\{ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\ y&=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2} \end{aligned} \right.</math> con <math>k,h\in\mathbb Z</math>. Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo: <math>m=k+h</math> e <math>n=h-k</math> Poiché <math>m</math> e <math>n</math> hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente. Verifica: <math>x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi</math> e quindi: <math>\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0</math> Inoltre: <math>x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}</math> <math>x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi</math> e quindi: <math>\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3</math> Conclusione: <math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}</math> == 8° esercizio == Soluzione di un sistema in coseno elevato alla seconda e quarta potenza. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''cos^2 x - cos^2 y = 1/4''' '''cos^4 x - cos^4 y = 1/16''' Dato il sistema: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14</math> <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}</math> Usiamo la differenza di quadrati: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)</math> Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima: <math>\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4</math>: <math>\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14</math> Otteniamo quindi il sistema equivalente: <math> \begin{cases} \cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14 \end{cases} </math> Sommiamo membro a membro le due equazioni: <math>2\cos^2 x=\frac12</math> Da cui: <math>\cos^2 x=\frac14</math> Quindi: <math>\cos x=\pm\frac12</math> Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda: <math>2\cos^2 y=0</math> Da cui: <math>\cos^2 y=0</math> Quindi: <math>\cos y=0</math> Determiniamo ora i valori di <math>x</math>. Dalla condizione <math>\cos x=\pm\frac12</math> otteniamo: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Infatti i valori per i quali il coseno è <math>\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> mentre quelli per i quali il coseno è <math>-\frac12</math> sono: <math>x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Le due famiglie possono essere riunite nella forma: <math>x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z</math> Determiniamo ora i valori di <math>y</math>. Dalla condizione <math>\cos y=0</math> otteniamo: <math>y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le soluzioni del sistema sono: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} \qquad k,h\in\mathbb Z </math> Verifica: <math>\cos^2 x=\frac14</math> e: <math>\cos^2 y=0</math> Pertanto: <math>\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14</math> Inoltre: <math>\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}</math> Entrambe le equazioni sono soddisfatte. Soluzione finale: <math> \begin{cases} x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\ y=\frac{\pi}{2}+h\pi \end{cases} ,\qquad k,h\in\mathbb Z </math> == 9°esercizio == Soluzione di una equazione in coseno, tangente, cotangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)''' Consideriamo l'equazione <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> ### 1. Condizioni di esistenza Per il primo membro deve essere <math>1+\cos x\neq 0</math> quindi <math>\cos x\neq -1</math> e pertanto <math>x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> e <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0</math> Dunque <math>\frac{x}{2}\neq k\pi</math> e <math>\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi</math> ovvero <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono <math>x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> ### 2. Trasformazione del secondo membro Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente: <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}</math> e <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Quindi <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}</math> Riduciamo a denominatore comune: <math> \frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)} {\sin(x/2)\cos(x/2)} </math> Usiamo le formule di duplicazione: <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x</math> e <math>2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x</math> perciò <math>\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{2\cos x}{\sin x}</math> L'equazione iniziale diventa quindi <math>\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}</math> ### 3. Risoluzione dell'equazione Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo <math>x\neq k\pi</math> segue in particolare che <math>\sin x\neq 0</math> Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per <math>\sin x(1+\cos x)</math>: <math>2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0</math> Raccogliamo <math>2\cos x</math>: <math>2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0</math> quindi <math>2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0</math> Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi. ### 4. Primo caso <math>\cos x=0</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate. ### 5. Secondo caso <math>\sin x-\cos x-1=0</math> cioè <math>\sin x-\cos x=1</math> Usiamo la sostituzione di angolo metà: <math>\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> e <math>\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> Pertanto <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =1 </math> Poiché <math>1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math> otteniamo <math> 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) =0 </math> Semplificando: <math> 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right) \right] =0 </math> Dunque <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> oppure <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Il primo caso, <math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0</math> dà <math>x=\pi+2k\pi</math> ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza. Consideriamo quindi il secondo caso: <math>\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)</math> Dividendo per <math>\cos(x/2)</math>, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo <math>\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1</math> da cui <math>\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso. ### 6. Soluzione finale Il primo caso fornisce <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni <math>x=\frac{\pi}{2}+2k\pi</math> già comprese nel primo insieme. Pertanto la soluzione complessiva è <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math> == 10° esercizio == Soluzione di una equazione in seno e tangente. In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di''' '''tan (pgreco/4 - x/2) = 1 + sen x Consideriamo l'equazione '''1. Determinazione del dominio''' La tangente è definita quando <math>\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math>. Da cui <math>-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi</math> e quindi <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi</math>. Per questi valori si ha infatti <math>\sin x=-1</math>. Pertanto il dominio dell'equazione è <math>x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''2. Trasformazione della tangente''' Utilizziamo la formula <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}</math>. L'equazione diventa quindi <math>\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x</math>. Poiché nel dominio <math>1+\sin x\neq0</math>, possiamo moltiplicare entrambi i membri per <math>1+\sin x</math>: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. '''3. Elevamento al quadrato''' Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che <math>\cos x\geq0</math>. Possiamo quindi elevare al quadrato: <math>\cos^2x=(1+\sin x)^4</math>. Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria <math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>, otteniamo <math>1-\sin^2x=(1+\sin x)^4</math>. Scomponiamo il primo membro: <math>(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4</math>. '''4. Sostituzione''' Poniamo <math>y=1+\sin x</math>. Dal dominio sappiamo che <math>y\neq0</math>. Inoltre, poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, si ha <math>0<y\leq2</math>. Poiché <math>1-\sin x=2-y</math>, l'equazione diventa <math>y(2-y)=y^4</math>. Essendo <math>y\neq0</math>, possiamo dividere per <math>y</math>: <math>2-y=y^3</math>. Portando tutto a sinistra: <math>y^3+y-2=0</math>. Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che <math>y=1</math> è una radice. Pertanto <math>y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)</math>. L'equazione diventa <math>(y-1)(y^2+y+2)=0</math>. Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è <math>\Delta=1-8=-7<0</math>. Pertanto l'unica soluzione reale è <math>y=1</math>. '''5. Ritorno alla variabile <math>x</math>''' Poiché <math>y=1+\sin x</math>, abbiamo <math>1+\sin x=1</math>. Quindi <math>\sin x=0</math>. Le soluzioni generali di questa equazione sono <math>x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2: <math>\cos x=(1+\sin x)^2</math>. Per <math>\sin x=0</math> si ha <math>(1+\sin x)^2=1</math>, quindi deve essere <math>\cos x=1</math>. Questo elimina i valori <math>x=(2k+1)\pi</math>, per i quali <math>\cos x=-1</math>. Restano dunque <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. '''6. Verifica''' Sostituendo <math>x=2k\pi</math> nell'equazione iniziale: <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)</math> e, poiché la tangente ha periodo <math>\pi</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1</math>. D'altra parte, <math>1+\sin(2k\pi)=1+0=1</math>. Quindi l'equazione è verificata. '''Soluzione''' <math>x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z</math>. La soluzione finale è quindi <math>x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z</math>. aqcw6tsme3k8ame09x6e64jtny9gt00 0 37801 287002 2026-08-31T06:49:35Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo ave..." 287002 wikitext text/x-wiki Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> blvjp0hmznm8k4u1b2c7trrhpxgk46m 287003 287002 2026-08-31T06:56:43Z Funzioni di correlazione 24136 287003 wikitext text/x-wiki == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> 4e2d3rqa13xfzvy471a90pa53dvyydb 287004 287003 2026-08-31T06:58:22Z Funzioni di correlazione 24136 287004 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> cu5brn0q0sa2ebump61o8n4opv8r95q 287005 287004 2026-08-31T07:00:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287005 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> kfpcmbaqoywx1wn95zj94f0lncbbfdg 287022 287005 2026-08-31T07:43:57Z Funzioni di correlazione 24136 287022 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> 2° esercizio Soluzione di un problema sul triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo 8ehluj1gtrdgize8tk0ded5781nsi4a 287023 287022 2026-08-31T07:44:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287023 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un problema sul triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo 053jc95xqknwsb1jo9uk15pqllg4z30 287024 287023 2026-08-31T07:52:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287024 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un problema sul triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo Certo. Con la notazione usuale di un triangolo 𝐴 𝐵 𝐶 , il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 e 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare: Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> Se vuoi mantenere il testo ancora più vicino allo stile di una voce matematica di Wikipedia, posso anche trasformarlo in una versione con sezioni tipo <math> + spiegazioni sintetiche, senza perdere nessun passaggio. k7gurs6ov85uk88s9v20hhfhxweilpm 287025 287024 2026-08-31T07:53:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287025 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo 𝐴 𝐵 𝐶 , il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 e 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare: Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> Se vuoi mantenere il testo ancora più vicino allo stile di una voce matematica di Wikipedia, posso anche trasformarlo in una versione con sezioni tipo <math> + spiegazioni sintetiche, senza perdere nessun passaggio. b905xqm3d9ct7rftopq5yobil4fhygk 287026 287025 2026-08-31T07:55:02Z Funzioni di correlazione 24136 287026 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' Risolvere un triangolo rettangolo A,B,C; siano noti oltre l’angolo alfa =90° l’ampiezza di uno dei due angoli adiacenti (es. beta) e la misura dell’ipotenusa''' 𝐴 𝐵 𝐶 , il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 e 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare: Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> Se vuoi mantenere il testo ancora più vicino allo stile di una voce matematica di Wikipedia, posso anche trasformarlo in una versione con sezioni tipo <math> + spiegazioni sintetiche, senza perdere nessun passaggio. 3wsk4mpw1kz0cj465pz3dv7731o11ui 287027 287026 2026-08-31T07:57:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287027 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' Risolvere un triangolo rettangolo A,B,C; siano noti oltre l’angolo alfa =90° l’ampiezza di uno dei due angoli adiacenti (es. beta) e la misura dell’ipotenusa''' 𝐴 𝐵 𝐶 il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare: Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> Se vuoi mantenere il testo ancora più vicino allo stile di una voce matematica di Wikipedia, posso anche trasformarlo in una versione con sezioni tipo <math> + spiegazioni sintetiche, senza perdere nessun passaggio. qd1ii92h0xzokxzzndmlvyxhcvs21gt 287028 287027 2026-08-31T07:59:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287028 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' Risolvere un triangolo rettangolo A,B,C; siano noti oltre l’angolo alfa =90° l’ampiezza di uno dei due angoli adiacenti (es. beta) e la misura dell’ipotenusa''' 𝐴 𝐵 𝐶 il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Ecco tutto il percorso di calcolo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare: Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> bdstrhn1jtwg62m1oxwxkauk5rjvwgs 287029 287028 2026-08-31T08:04:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2° esercizio */ 287029 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == 1° esercizio == Soluzione di un problema in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare''' Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio <math>r</math>. Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in <math>12</math> triangoli congruenti. L'angolo al centro di ciascun triangolo è: <math>\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ</math> Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza: <math>OA = OB = r</math> L'area di un triangolo avente due lati <math>r</math> e <math>r</math> e angolo compreso <math>\alpha</math> è: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha</math> Sostituendo <math>\alpha = 30^\circ</math>: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ</math> Poiché: <math>\sin 30^\circ = \frac{1}{2}</math> si ottiene: <math>A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}</math> <math>A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}</math> Il dodecagono è formato da <math>12</math> triangoli congruenti, quindi la sua area è: <math>A = 12A_{\triangle}</math> Sostituendo l'area del singolo triangolo: <math>A = 12\cdot\frac{r^2}{4}</math> Semplificando: <math>A = 3r^2</math> Pertanto, in funzione del raggio <math>r</math> della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è: <math>A = 3r^2</math> ==2° esercizio== Soluzione di un triangolo rettangolo: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo ''' Risolvere un triangolo rettangolo A,B,C; siano noti oltre l’angolo alfa =90° l’ampiezza di uno dei due angoli adiacenti (es. beta) e la misura dell’ipotenusa''' 𝐴 𝐵 𝐶 il lato 𝑎 è opposto all'angolo 𝛼 . Poiché 𝛼 = 90 ∘ , 𝑎 è l'ipotenusa. Se sono noti 𝑎 𝛽 , possiamo determinare tutti gli elementi mancanti. Consideriamo un triangolo rettangolo <math>ABC</math> nel quale sono noti l'angolo retto <math>\alpha=90^\circ</math>, l'angolo <math>\beta</math> e la misura dell'ipotenusa <math>a</math>. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è <math>180^\circ</math>, si ha: <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math> Essendo <math>\alpha=90^\circ</math>: <math>90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ</math> Da cui: <math>\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta</math> e quindi: <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> I lati <math>b</math> e <math>c</math> sono i cateti, mentre <math>a</math> è l'ipotenusa. Rispetto all'angolo <math>\beta</math>, il cateto <math>b</math> è il cateto opposto e il cateto <math>c</math> è il cateto adiacente. Per definizione di seno: <math>\sin\beta=\frac{b}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\sin\beta=b</math> Pertanto: <math>b=a\sin\beta</math> Per definizione di coseno: <math>\cos\beta=\frac{c}{a}</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>a</math>: <math>a\cos\beta=c</math> Pertanto: <math>c=a\cos\beta</math> A questo punto sono determinati entrambi i cateti: <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora: <math>a^2=b^2+c^2</math> Sostituendo le espressioni trovate per <math>b</math> e <math>c</math>: <math>a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2</math> Sviluppando i quadrati: <math>a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta</math> Raccogliendo <math>a^2</math>: <math>a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)</math> Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\sin^2\beta+\cos^2\beta=1</math> si ottiene: <math>a^2=a^2\cdot1</math> quindi: <math>a^2=a^2</math> Il risultato è pertanto verificato. In conclusione, conoscendo l'ipotenusa <math>a</math> e l'angolo acuto <math>\beta</math>, gli elementi del triangolo rettangolo sono: <math>\alpha=90^\circ</math> <math>\gamma=90^\circ-\beta</math> <math>b=a\sin\beta</math> <math>c=a\cos\beta</math> Inoltre, il perimetro del triangolo è: <math>P=a+b+c</math> Sostituendo le espressioni dei cateti: <math>P=a+a\sin\beta+a\cos\beta</math> e l'area del triangolo è: <math>A=\frac{bc}{2}</math> Sostituendo <math>b=a\sin\beta</math> e <math>c=a\cos\beta</math>: <math>A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}</math> quindi: <math>A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}</math> Utilizzando la relazione <math>\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta</math>: <math>A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)</math> cfgmqdkgg12p56nyfaf9uhcpq2lc390 0 37802 287007 2026-08-31T07:08:51Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "Certo. Ti preparo un unico documento in formato grezzo per Wikipedia, con le formule racchiuse nei tag <math>...</math>, senza \boxed{} e organizzato come un formulario completo, includendo identità fondamentali, formule di addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione, prostaferesi, formule parametriche, triangoli e trasformazioni. Scrittura = Formule trigonometriche = == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</..." 287007 wikitext text/x-wiki Certo. Ti preparo un unico documento in formato grezzo per Wikipedia, con le formule racchiuse nei tag <math>...</math>, senza \boxed{} e organizzato come un formulario completo, includendo identità fondamentali, formule di addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione, prostaferesi, formule parametriche, triangoli e trasformazioni. Scrittura = Formule trigonometriche = == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. e944dc9ae913wyrynnjjc8lvbfvcv91 287008 287007 2026-08-31T07:12:30Z Funzioni di correlazione 24136 287008 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} Scrittura = Formule trigonometriche = == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. liopg5jfr90vw4j6l2lvm9xmgk2elwn 287009 287008 2026-08-31T07:13:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* Formule trigonometriche */ 287009 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} Scrittura {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. 71j5ufbcxfr1p8vc0qx2957i26nylfc 287010 287009 2026-08-31T07:14:13Z Funzioni di correlazione 24136 287010 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 0% }} == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. ez1udshi54rplwfd4gazjjb2hq8kgun 287011 287010 2026-08-31T07:15:49Z Funzioni di correlazione 24136 287011 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} '''Pagina riassuntiva unica''' == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. a6j7890ld2rm56edjifvzjfxi493cwj 287012 287011 2026-08-31T07:18:32Z Funzioni di correlazione 24136 287012 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = 100% }} Da IA l'elenco da consultare in fase d'esercitazioni. '''Pagina riassuntiva unica''' == Definizioni fondamentali == <math>\sin x = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\cos x = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}}</math> <math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math> <math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math> == Relazioni fondamentali == <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> <math>1+\tan^2 x = \sec^2 x</math> <math>1+\cot^2 x = \csc^2 x</math> <math>\tan x \cdot \cot x = 1</math> <math>\sec x \cdot \cos x = 1</math> <math>\csc x \cdot \sin x = 1</math> <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}</math> == Angoli associati == === Angoli opposti === <math>\sin(-x)=-\sin x</math> <math>\cos(-x)=\cos x</math> <math>\tan(-x)=-\tan x</math> <math>\cot(-x)=-\cot x</math> <math>\sec(-x)=\sec x</math> <math>\csc(-x)=-\csc x</math> === Complemento a pi greco === <math>\sin(\pi-x)=\sin x</math> <math>\cos(\pi-x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi-x)=-\tan x</math> <math>\cot(\pi-x)=-\cot x</math> === Supplemento a pi greco === <math>\sin(\pi+x)=-\sin x</math> <math>\cos(\pi+x)=-\cos x</math> <math>\tan(\pi+x)=\tan x</math> <math>\cot(\pi+x)=\cot x</math> === Angoli complementari === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x</math> <math>\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\csc x</math> <math>\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sec x</math> === Angoli espressi come pi greco più o meno x === <math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x</math> <math>\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cot x</math> <math>\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x</math> <math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x</math> <math>\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x</math> == Periodicità == <math>\sin(x+2k\pi)=\sin x</math> <math>\cos(x+2k\pi)=\cos x</math> <math>\tan(x+k\pi)=\tan x</math> <math>\cot(x+k\pi)=\cot x</math> <math>\sec(x+2k\pi)=\sec x</math> <math>\csc(x+2k\pi)=\csc x</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> == Formule di addizione == <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math> <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math> <math>\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}</math> <math>\cot(\alpha-\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}</math> == Formule di duplicazione == <math>\sin(2x)=2\sin x\cos x</math> <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math> <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> <math>\cos(2x)=1-2\sin^2x</math> <math>\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}</math> <math>\cot(2x)=\frac{\cot^2x-1}{2\cot x}</math> == Formule di bisezione == <math>\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}</math> <math>\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math> <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}</math> <math>\cot\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1-\cos x}</math> <math>\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}</math> <math>\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}</math> <math>\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}</math> == Formule di triplicazione == <math>\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x</math> <math>\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x</math> <math>\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}</math> == Formule di quadruplicazione == <math>\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)</math> <math>\sin(4x)=4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)</math> <math>\cos(4x)=\cos^4x-6\sin^2x\cos^2x+\sin^4x</math> <math>\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1</math> <math>\cos(4x)=1-8\sin^2x+8\sin^4x</math> <math>\tan(4x)=\frac{4\tan x-4\tan^3x}{1-6\tan^2x+\tan^4x}</math> == Formule di potenza == <math>\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}</math> <math>\sin x\cos x=\frac{\sin(2x)}{2}</math> <math>\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}</math> <math>\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}{4}</math> <math>\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> <math>\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}</math> == Formule di Werner == <math>\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}</math> <math>\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> <math>\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}</math> == Formule di prostaferesi == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Formule con la tangente dell'angolo metà == Ponendo <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ottiene: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> <math>\cot x=\frac{1-t^2}{2t}</math> <math>dx=\frac{2,dt}{1+t^2}</math> == Somma e differenza di seni e coseni == <math>\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math> <math>\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math> == Relazioni tra funzioni trigonometriche == <math>\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}</math> <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\cos x=\frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2x}}</math> <math>\tan x=\frac{1}{\cot x}</math> <math>\sec x=\sqrt{1+\tan^2x}</math> <math>\csc x=\sqrt{1+\cot^2x}</math> == Valori notevoli == <math>\sin 0=0</math> <math>\cos 0=1</math> <math>\tan 0=0</math> <math>\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{4}=1</math> <math>\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}</math> <math>\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}</math> <math>\sin\frac{\pi}{2}=1</math> <math>\cos\frac{\pi}{2}=0</math> == Funzioni inverse == <math>y=\arcsin x \iff \sin y=x</math> <math>y=\arccos x \iff \cos y=x</math> <math>y=\arctan x \iff \tan y=x</math> <math>y=\operatorname{arccot}x \iff \cot y=x</math> <math>\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}</math> <math>\arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche == <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Derivate delle funzioni trigonometriche inverse == <math>\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math> == Integrali fondamentali == <math>\int\sin x,dx=-\cos x+C</math> <math>\int\cos x,dx=\sin x+C</math> <math>\int\tan x,dx=-\ln|\cos x|+C</math> <math>\int\cot x,dx=\ln|\sin x|+C</math> <math>\int\sec x,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C</math> <math>\int\csc x,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C</math> <math>\int\sec^2x,dx=\tan x+C</math> <math>\int\csc^2x,dx=-\cot x+C</math> <math>\int\sec x\tan x,dx=\sec x+C</math> <math>\int\csc x\cot x,dx=-\csc x+C</math> == Teorema dei seni == Per un triangolo con lati <math>a,b,c</math> opposti agli angoli <math>A,B,C</math>: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math> dove <math>R</math> è il raggio della circonferenza circoscritta. == Teorema del coseno == <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> <math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos B</math> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math> Da cui: <math>\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math> <math>\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}</math> <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> == Teorema della tangente == <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}</math> Poiché: <math>A+B+C=\pi</math> si ha anche: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\cot\frac{C}{2}}</math> == Area di un triangolo == <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> <math>K=\frac{1}{2}ca\sin B</math> <math>K=\frac{1}{2}ab\sin C</math> <math>K=\frac{abc}{4R}</math> == Forma complessa == Formula di Eulero: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> <math>e^{-ix}=\cos x-i\sin x</math> Da cui: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math> <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> <math>\tan x=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}</math> == Formule di De Moivre == <math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)</math> Per <math>n\in\mathbb{Z}</math>. In forma esponenziale: <math>(e^{ix})^n=e^{inx}</math> == Forma esponenziale delle formule di addizione == <math>e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}</math> <math>e^{i(\alpha-\beta)}=\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}</math> == Equazioni trigonometriche fondamentali == <math>\sin x=a</math> <math>x=\arcsin a+2k\pi</math> oppure: <math>x=\pi-\arcsin a+2k\pi</math> <math>k\in\mathbb{Z}</math> <math>\cos x=a</math> <math>x=\pm\arccos a+2k\pi</math> <math>\tan x=a</math> <math>x=\arctan a+k\pi</math> <math>\cot x=a</math> <math>x=\operatorname{arccot}a+k\pi</math> == Equazioni trigonometriche con angolo doppio == <math>\sin(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> <math>\cos(2x)=0</math> <math>2x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> <math>x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}</math> <math>\tan(2x)=0</math> <math>2x=k\pi</math> <math>x=\frac{k\pi}{2}</math> == Disuguaglianze trigonometriche fondamentali == <math>-1\leq\sin x\leq1</math> <math>-1\leq\cos x\leq1</math> <math>\tan x\in\mathbb{R}</math> per ogni <math>x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi</math>. <math>\sin^2x\leq1</math> <math>\cos^2x\leq1</math> == Funzioni trigonometriche con ampiezza e fase == <math>y=A\sin(Bx+C)+D</math> L'ampiezza è: <math>|A|</math> Il periodo è: <math>T=\frac{2\pi}{|B|}</math> La frequenza è: <math>f=\frac{|B|}{2\pi}</math> Lo sfasamento orizzontale è: <math>-\frac{C}{B}</math> Il valore medio è: <math>D</math> Analogamente: <math>y=A\cos(Bx+C)+D</math> e: <math>y=A\tan(Bx+C)+D</math> con periodo: <math>T=\frac{\pi}{|B|}</math> == Formule per la risoluzione dei triangoli == Dato un triangolo con: <math>A+B+C=\pi</math> e lati opposti: <math>a,b,c</math> si può usare il teorema dei seni: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}</math> oppure il teorema del coseno: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A</math> Per l'area: <math>K=\frac{1}{2}bc\sin A</math> Per il raggio circoscritto: <math>R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}</math> Per il raggio inscritto: <math>r=\frac{K}{s}</math> dove: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> e: <math>K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> == Relazioni trigonometriche per triangoli rettangoli == Se <math>A+B=\frac{\pi}{2}</math>: <math>\sin A=\cos B</math> <math>\cos A=\sin B</math> <math>\tan A=\cot B</math> <math>\cot A=\tan B</math> == Formule di trasformazione razionale == Ponendo: <math>t=\tan\frac{x}{2}</math> si ha: <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math> <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> <math>\tan x=\frac{2t}{1-t^2}</math> e: <math>dx=\frac{2}{1+t^2},dt</math> Questa sostituzione è detta sostituzione di Weierstrass o sostituzione della tangente dell'angolo metà. == Formule di riduzione == <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> Per integrali di potenze pari: <math>\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}</math> <math>\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}</math> Per potenze dispari di seno: <math>\sin^n x=\sin^{n-1}x\sin x</math> con: <math>\sin^{n-1}x=(1-\cos^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> Per potenze dispari di coseno: <math>\cos^n x=\cos^{n-1}x\cos x</math> con: <math>\cos^{n-1}x=(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}</math> == Identità trigonometriche riassuntive == <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> <math>\sec^2x-\tan^2x=1</math> <math>\csc^2x-\cot^2x=1</math> <math>\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\tan x=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\cot x=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\sec x=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> <math>\csc x=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione ancora più completa da formulario universitario, aggiungendo identità di ordine superiore, formule per numeri complessi, coordinate polari, trasformazioni di Fourier e formule trigonometriche iperboliche. 1ezfcqiqubsk81rzse5kv8ddr0y6j1i 0 37803 287030 2026-08-31T08:19:37Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "{{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0'''" 287030 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' f6dqifkmapkie8zz5blu25a5he5pct6 287031 287030 2026-08-31T08:20:23Z Funzioni di correlazione 24136 287031 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>\boxed{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> Nota: nell'ultima riga ho lasciato \boxed{} solo perché fa parte della notazione matematica; se vuoi rigorosamente senza boxed, sostituiscila con: <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z</math> gl7ayavvwxpyylpgtkg95gw4fhumfp1 287032 287031 2026-08-31T08:21:45Z Funzioni di correlazione 24136 287032 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>\boxed{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z</math> qpe1x6wbzi7vfe2fdtinvopqqp182hm 287033 287032 2026-08-31T08:22:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287033 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z</math> cyqowfrpmn7thu2cwat4k6t6rrmk9km 287034 287033 2026-08-31T08:23:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287034 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> splmc6thffi4f90dpsyh01t6keeaxdd 287036 287034 2026-08-31T08:50:28Z Funzioni di correlazione 24136 287036 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> :::{"fallbackMarkdown":"","reference":{"matched_text":" ","prefix":null,"start_idx":3629,"end_idx":3629,"safe_urls":[],"refs":[],"alt":"","prompt_text":null,"type":"sources_footnote","sources":[],"has_images":false},"showLoginRequiredCard":false} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX '''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici''' == 1° 1 esercizio == Soluzione di una equazione in seno quadrato: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''Soluzione di : Sen^2 x -1''' Scrittura <math>\sin^2 x - 1 = 0</math> Portiamo <math>1</math> al secondo membro: <math>\sin^2 x = 1</math> Estraiamo la radice quadrata: <math>\sin x = \pm\sqrt{1}</math> Quindi: <math>\sin x = \pm 1</math> Consideriamo separatamente i due casi. Caso 1: <math>\sin x = 1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Caso 2: <math>\sin x = -1</math> Le soluzioni sono: <math>x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è: <math>x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math> hfc5etvwk6otqo21z4u2qxudnwv3xmv 287037 287036 2026-08-31T08:55:35Z Funzioni di correlazione 24136 287037 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Certo. Ecco lo svolgimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con i tag <math>...</math> attorno a ogni espressione matematica e senza riquadri. Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> gjihf4bkpuurfw55v1ws86wilfeiuv0 287038 287037 2026-08-31T09:02:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1° esercizio */ 287038 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> 50l5yi47kfphevcj9mcymsa4qqwcsvg 287039 287038 2026-08-31T09:02:57Z Funzioni di correlazione 24136 287039 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Trigonometria | avanzamento = % }} '''5 esercizi sulle disequazioni trigonometriche''' == 1° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''cos (2 x) + cos x < 0''' Consideriamo la disequazione <math>\cos(2x)+\cos x<0</math> Utilizziamo la formula di duplicazione <math>\cos(2x)=2\cos^2x-1</math> Sostituiamo nella disequazione: <math>2\cos^2x-1+\cos x<0</math> Poniamo <math>t=\cos x</math> con <math>-1\leq t\leq 1</math> La disequazione diventa <math>2t^2+t-1<0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)</math> Quindi dobbiamo risolvere <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Troviamo gli zeri dei fattori: <math>2t-1=0</math> da cui <math>t=\frac{1}{2}</math> e <math>t+1=0</math> da cui <math>t=-1</math> Studiamo il segno del prodotto: <math>(2t-1)(t+1)<0</math> Il prodotto è negativo quando <math>-1<t<\frac{1}{2}</math> Poiché <math>t=\cos x</math> otteniamo <math>-1<\cos x<\frac{1}{2}</math> La prima condizione <math>\cos x>-1</math> esclude i valori per cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> La seconda condizione è <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> Sappiamo che <math>\cos x=\frac{1}{2}</math> per <math>x=\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> e <math>x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Pertanto <math>\cos x<\frac{1}{2}</math> per <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui <math>\cos x=-1</math> cioè <math>x=\pi+2k\pi</math> Quindi la soluzione è <math>x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come <math>x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb Z</math> Conclusione: <math>{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}</math> == 2° esercizio == Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati: In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo '''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x > 2 sqrt 2 sen x''' Consideriamo la disequazione <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x>2\sqrt{2}\sin x</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x>0</math> Raccogliamo i termini contenenti <math>\sin x</math>: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria: <math>\cos^2 x=1-\sin^2 x</math> Sostituiamo: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sviluppiamo le parentesi: <math>(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x>0</math> Sommiamo i termini simili: <math>4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}>0</math> Poniamo: <math>t=\sin x</math> Poiché <math>-1\leq\sin x\leq1</math>, abbiamo: <math>-1\leq t\leq1</math> La disequazione diventa: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}>0</math> Calcoliamo gli zeri del trinomio: <math>4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0</math> Dividiamo per <math>2</math>: <math>2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)</math> Sviluppiamo il primo quadrato: <math>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}</math> Quindi: <math>\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}</math> <math>\Delta=5+2\sqrt{6}</math> Osserviamo che: <math>5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2</math> Pertanto: <math>\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}</math> Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione: <math>t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}</math> Prima soluzione: <math>t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Seconda soluzione: <math>t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}</math> <math>t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}</math> <math>t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi gli zeri sono: <math>t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>t^2</math> è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri: <math>t<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ricordando che <math>t=\sin x</math>, otteniamo: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche. Per la prima: <math>\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> e <math>\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Per la seconda: <math>\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Si ha: <math>\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> e <math>\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> Quindi: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. Pertanto la soluzione complessiva è: <math>\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi</math> oppure <math>\frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2k\pi</math> con <math>k\in\mathbb{Z}</math>. In forma compatta: <math>x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}</math> 1drhvywybx3swozx3soavg7d2fhjo7k