Discussioni utente:Samuele2002

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{{Titolo errato|Vuoi fare una pausa?}}
{{Torna su}}
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&lt;div style=&quot;display: table; width: 100%;&quot;&gt;
&lt;!-- 

## SFONDO INTRODUZIONE ##

 --&gt;&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;div style=&quot;width: 97%; margin-top: -10px; margin-bottom: 4px; border: 0; padding: 5px 15px; -moz-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-border-radius: 7px; border-radius: 7px; background: white; background: #fff; background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, color-stop(75%,#fff), color-stop(100%,#F5F5F5)); background: -webkit-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -o-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -ms-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: linear-gradient(top, #fff 75%,#fff 100%);&quot;&gt;&lt;!-- 

### INTRODUZIONE ###

 --&gt;&lt;div class=&quot;it-collapsible it-collapsed&quot;&gt;&lt;div class=&quot;it-collapsible-toggle&quot; style=&quot;padding: 5px; border: none; float: none;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-family: Calibri, Georgia, Times, Times New Roman, Serif; font-size: 24px;&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color: #000000; font-family: Mistral; font-size: 32px&quot;&gt;Benvenuto&lt;/span&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp; [[Utente:{{BASEPAGENAME}}|&lt;span style=&quot;color: orange; font-family: Mistral; font-size: 24px&quot;&gt;{{BASEPAGENAME}}]]&lt;/span&gt;!&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;it-collapsible-content&quot; style=&quot;padding: 10px; border: none;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;text-shadow: navy 0.1em 0.1em 0.8em; class=texhtml; font-family: Calibri, Georgia, Times, Times New Roman, Serif; font-size: 24px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color: darkblue&quot;&gt;''Con il tuo entusiasmo e la tua esperienza puoi far crescere Wikiversità.''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;!-- 

## GUIDA SINTETICA ##

 --&gt;

{| align=&quot;center&quot; width=&quot;97%&quot; cellspacing=&quot;8&quot;
|-
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; margin-bottom:8px; padding:1em; background-color:#fff8dc; border-radius:15px; min-height:90px;&quot; | &lt;!-- 

#### 1 #### sinistra

 --&gt;[[File:Usuário Estilizado.png|40px|left|link=]]
&lt;big&gt;'''Sei appena arrivato?'''&lt;/big&gt;&lt;br /&gt;
'''[[Aiuto:Introduzione|Accoglienza dei nuovi arrivati]]'''
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#f5f4ab; border-radius:15px; min-height:90px;&quot; |&lt;!-- 

#### 2 #### destra

 --&gt;[[File:Nuvola apps kmessedwords.png|40px|left|link=]]
&lt;div class=&quot;pulsantep pulsantep15 mw-customtoggle-myDivision4&quot; style=&quot;margin-bottom: 13px;&quot;&gt;[[##|Cosa vuol dire…?]]&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; id=&quot;mw-customcollapsible-myDivision4&quot;&gt;
'''[[Aiuto:Modifica|Modifica]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Aiuto:Pagina di discussione|Discussione]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Aiuto:Uso della firma|Uso della firma]]'''&lt;/div&gt;
|-
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#B0FFA0; border-radius:15px; min-height:90px;&quot; | &lt;!-- 

#### 3 #### sinistra

 --&gt;[[File:Text-x-generic-highlight-yellow-pen.png|40px|left|link=]]
&lt;div class=&quot;pulsantep pulsantep23 mw-customtoggle-myDivision2&quot; style=&quot;margin-bottom: 13px;&quot;&gt;[[##|Vuoi contribuire?]]&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; id=&quot;mw-customcollapsible-myDivision2&quot;&gt;
'''[[Aiuto:Tutorial|Come iniziare una voce]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Aiuto:Lezione|Modello di voce]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#fcbeeb; border-radius:15px;min-height:90px;&quot; | &lt;!-- 

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 --&gt;[[File:Postscript-viewer.svg|40px|left|link=]]
&lt;div class=&quot;pulsantep pulsantep9 mw-customtoggle-myDivision5&quot; style=&quot;margin-bottom: 13px;&quot;&gt;[[##|Vuoi approfondire?]]&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; id=&quot;mw-customcollapsible-myDivision5&quot;&gt;
'''[[Aiuto:Fonti|Cita le fonti]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Wikiversità:Punto di vista neutrale|Punto di vista neutrale]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Wikiversità:Wikiversità#Significativit.C3.A0|Copyright e Significatività]]'''&lt;/div&gt;
|-
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#bacef8;border-radius:15px;min-height:90px;&quot; | &lt;!-- 

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 --&gt;[[File:1328101880 Symbol-Help.png|40px|left|link=]]
&lt;div class=&quot;pulsantep pulsantep5 mw-customtoggle-myDivision3&quot; style=&quot;margin-bottom: 13px;&quot;&gt;[[##|Vuoi saperne di più?]]&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; id=&quot;mw-customcollapsible-myDivision3&quot;&gt;
'''[[Aiuto:Tutorial|Tutorial]]'''&lt;br /&gt;
'''[[Aiuto:FAQ|Domande frequenti (FAQ)]]'''&lt;/div&gt;
| width=&quot;49%&quot; style=&quot;margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#d7c5e2; border-radius:15px;min-height:90px;&quot; | &lt;!-- 

#### 6 #### destra

 --&gt;[[File:BluePillar.svg|40px|left|link=]]
&lt;div class=&quot;pulsantep pulsantep7 mw-customtoggle-myDivision6&quot; style=&quot;margin-bottom: 13px;&quot;&gt;[[##|Conosci i 5 pilastri?]]&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible mw-collapsed&quot; id=&quot;mw-customcollapsible-myDivision6&quot;&gt;
'''[[Wikiversità:Cinque pilastri|I cinque Pilastri]]'''&lt;/div&gt;
|}

&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;&lt;div style=&quot;clear: both; width: 97%; margin-top: 2px; margin-bottom: 4px; border: 0; padding: 5px 15px; -moz-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-border-radius: 7px; border-radius: 7px; background: white; background: #fff; background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, color-stop(75%,#fff), color-stop(100%,#F5F5F5)); background: -webkit-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -o-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -ms-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: linear-gradient(top, #fff 75%,#fff 100%);&quot;&gt;&lt;div class=&quot;it-collapsible it-collapsed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;it-collapsible-toggle&quot; style=&quot;float: none; font-family: Calibri, Georgia, Times, Times New Roman, Serif; font-size: 24px;&quot;&gt;Buon lavoro e buon divertimento da parte di tutti i wikiversitari!&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;div align=&quot;center&quot;&gt;{{#if:[[Utente:Pegasovagante|&lt;span style=&quot;color: red&quot;&gt;pegasovagante&lt;/span&gt;]] &lt;small&gt;([[Discussioni utente:Pegasovagante|la mi dica]])&lt;/small&gt;|'''Naturalmente un benvenuto anche da parte mia!''' Se avessi bisogno di qualcosa non esitare a contattarmi. [[Utente:Pegasovagante|&lt;span style=&quot;color: red&quot;&gt;pegasovagante&lt;/span&gt;]] &lt;small&gt;([[Discussioni utente:Pegasovagante|la mi dica]])&lt;/small&gt;|}} 09:32, 7 gen 2016 (CET)&lt;/div&gt;
----

{{Utente:Samuele2002/archivi/Template/Archivio discussioni}}
&lt;!-- Inizio discussioni --&gt;
&lt;!-- Per favore se vuoi aggiungere una nuova discussione scrivi in fondo alla pagina --&gt;

== Importazioni da Wikipedia ==

Ciao, la pagina [[w:it:Wikipedia:Proposte di trasferimento#Wikiversità]] contiene delle voci da trasferire su questo wiki. Sono in attesa da qualche anno (per ragioni meramente tecniche. Puoi occupartene tu? --[[Utente:Ethn23|Ethn23]] ([[Discussioni utente:Ethn23|Discussione]]) 19:14, 24 mar 2025 (CET)

:@[[Utente:Ethn23|Ethn23]] {{fatto}} Grazie per la segnalazione e scusa il ritardo [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 22:47, 22 mag 2025 (CEST)
::Buon wikilavoro anche a voi --[[Utente:Ethn23|Ethn23]] ([[Discussioni utente:Ethn23|Discussione]]) 07:46, 23 mag 2025 (CEST)

== Bentornato ==

Non ti ho mai visto quindi probabilmente (anzi sicuramente) non mi conosci, però bentornato in questa comunità :-) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 14:20, 22 mag 2025 (CEST)
:{{Ping|Smatteo499}} Ciao, grazie e piacere! Mi sto aggiornando di quanto successo negli ultimi periodi, nel frattempo grazie per aver aiutato a portato avanti Wikiversità in questi mesi :) --[[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 14:25, 22 mag 2025 (CEST)
::Ma grazie a te per quanto hai fatto in passato (anche come amministratore) e spero per quanto farai in futuro! [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 14:27, 22 mag 2025 (CEST)
:::PS a quanto vedo sei stato un grande admin, io lo sono da poco: ha senso sbloccare gli IP bloccati da moltissimo tempo, a volte all'infinito? Grazie :) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 15:53, 22 mag 2025 (CEST)
::::{{ping|Smatteo499}} Ciao, si ha senso perché sarebbe da evitare di avere ip bloccati all'infinito. Se ne parlò un po' di anni fa qua [[Discussioni_Wikiversità:Politiche_di_blocco_degli_utenti#Sblocco_IP_bloccati]], [https://it.wikiversity.org/wiki/Speciale:Registri?type=block&amp;user=Samuele2002&amp;page=&amp;wpdate=2018-02-06&amp;tagfilter=&amp;subtype=unblock&amp;wpFormIdentifier=logeventslist iniziai il lavolo sbloccandone un po'] credo anche usando uno strumento grezzo di blocco massivo al contrario (ora non funziona più) ma non ho mai completato tale cosa. Ps. è una cosa utile ma non urgente da fare a tempo perso. Con l'occasione un consiglio su una cosa che notavo relativa alla protezione dalla creazione per &quot;Titolo sicuramente errato&quot;. Anche per velocizzare le cancellazioni il blocco è preferibile farlo solo in quei casi di creazioni recidive a titoli vandalici (o pagine di spam) e in altri casi particolari. Non è necessario farlo in caso di titoli contenenti refusi o lievi errori. [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 16:19, 22 mag 2025 (CEST)
:::::Ok, quello strumento non funziona più quindi? Peccato... Magari quando ho poco tempo lo faccio assegnandomi il flag di pseudobot! Per quanto riguarda le protezioni, grazie per il consiglio, non è necessario ma io sono abituato a richiederla (su Wikipedia) :) Comunque ci farò più attenzione (anche se ormai quelle che ho protetto le lascio così). Un saluto :D [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 16:22, 22 mag 2025 (CEST)
::::::Le talk di questi IP contengono l'avviso di blocco, va lasciato così o le pagine cancellate? [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 16:36, 22 mag 2025 (CEST)
:::::::Potrebbe essere utile sostituire l'avviso con {{Tl|BenvenutoIP}}. [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 16:45, 22 mag 2025 (CEST)

== Guerra fredda (scuola media) ==

Ciao! Sto pensando di applicare una protezione parziale temporanea (tipo 1/2 settimane) a questa pagina per ridurre alcuni vandalismi sporadici che si verificano di tanto in tanto, con l’intento di mantenere la pagina più stabile senza bloccare troppo la partecipazione.
Vorrei avere anche il tuo parere prima di procedere. Cosa ne pensi? Grazie! [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 15:14, 28 mag 2025 (CEST)

:@[[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ciao! Si mi trovi d'accordo ad una semiprotezione. Quella è una delle pochissime pagine che ciclicamente è soggetta a vandalismi. [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 17:17, 28 mag 2025 (CEST)
::Ok. Pensavo 2 settimane, per te va bene? Chiedo sono alle prime armi :) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 18:18, 28 mag 2025 (CEST)
:::@[[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ciao sì 2 settimane vanno bene data la peculiarità della pagina. [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 11:27, 29 mag 2025 (CEST)
::::Fatto 2 settimane. Tengo d'occhio la voce per vedere cosa le succede dopo la protezione (dopo si può riproteggere se necessario). Ciao [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 12:51, 29 mag 2025 (CEST)
:::::Ottimo :) [[Utente:Samuele2002|&lt;span style=&quot;color:#0080C0;&quot;&gt;'''Samuele'''2002&lt;/span&gt;]]  &lt;small&gt;[[Discussioni utente:Samuele2002|'''&lt;span style=&quot;color:#F50; font-family:Cursive&quot;&gt;(Chiedi pure!)&lt;/span&gt;''']]&lt;/small&gt; 16:21, 2 giu 2025 (CEST)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-03&lt;/span&gt; ==

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&lt;section begin=&quot;technews-2026-W03&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/03|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The Wikimedia Foundation has shared some guiding questions for the July 2026–June 2027 Annual Plan on [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027/Product &amp; Technology OKRs|Meta]] and ''[[diffblog:2025/12/10/shaping-wikimedia-foundations-2026-2027-annual-goals-key-questions-for-the-wikimedia-movement/|Diff]]''. These focus on global trends, faster and healthier experimentation, better support for newcomers, strengthening editors and advanced users, improving collaboration across projects, and growing and retaining readership. Feedback and ideas are welcome on the [[m:Talk:Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027|talk page]].

'''Updates for editors'''
* As part of the current work of Community Tech team on the [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W372|Multiple watchlists]] project, the display of [[Special:EditWatchlist|EditWatchlist]] will be updated as a first step towards multiple watchlists. Additionally, the pagination on [[Special:Search|Search]] will be updated too, as a part of the work on the [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W186|Revamp pagination / page navigation]] wish. [https://phabricator.wikimedia.org/T411596]
* [[m:Special:GlobalWatchlist|The Global Watchlist]] is a MediaWiki [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] that lets you see your watchlists from different wikis on the same page. It was recently updated to look more like the regular [[Special:Watchlist|Watchlist]], such as preparing it for temporary accounts in IP masking (including rerouting user links to contributions pages), making page titles bold, and opening links in edit summaries and tags in new browser tabs. [https://phabricator.wikimedia.org/T398361][https://phabricator.wikimedia.org/T298919][https://phabricator.wikimedia.org/T273526][https://phabricator.wikimedia.org/T286309]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where global blocks did not have the option to disable sending emails, has now been fixed, and will be available for use in the week of January 13. [https://phabricator.wikimedia.org/T401293]

'''Updates for technical contributors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Citation tool|VisualEditor citation tool]] and [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|Reference Previews]] now support &quot;map&quot; as a reference type. [https://phabricator.wikimedia.org/T411083]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.10|MediaWiki]]/[[mw:MediaWiki 1.46/wmf.11|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/03|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W03&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:33, 12 gen 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=29907192 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-04&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W04&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/04|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The tray shown on [[Special:Diff|Special:Diff]] in mobile view has been redesigned. It is now collapsed by default, and incorporates a link to undo the edit being viewed, making it easier for mobile editors and reviewers to take action while keeping the interface uncluttered. [https://phabricator.wikimedia.org/T402297] 
* [[m:Special:GlobalWatchlist|The Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] continues to improve — it now automatically determines the text direction (ensuring correct display of sites with unusual domain names) and shows detailed descriptions for log actions. Later this week, a new permanent link for page creations and CSS classes for each entry element will be added. [https://phabricator.wikimedia.org/T412505][https://phabricator.wikimedia.org/T287929][https://phabricator.wikimedia.org/T262768][https://phabricator.wikimedia.org/T414135]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the previously observed issue in Vector 2022, where anchor link targets were obscured by the sticky header, has now been addressed. [https://phabricator.wikimedia.org/T406114]

'''Updates for technical contributors'''
* As mentioned in the [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/44|October 2025 deprecation announcement]], MediaWiki Interfaces team will begin sunsetting all transform endpoints containing a trailing slash from the MediaWiki REST API the week of January 26. Changes are expected to roll out to all wikis on or before January 30th. All API users currently calling them are encouraged to transition to the non-trailing slash versions. Both endpoint variations can be found, compared, and tested using the [https://test.wikipedia.org/wiki/Special:RestSandbox REST Sandbox]. If you have questions or encounter any problems, please file a ticket in Phabricator to the [https://phabricator.wikimedia.org/project/view/6931/ #MW-Interfaces-Team board].
* Interactive reference documentation for the [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia REST API|Wikimedia REST API]] has moved. Requests to API docs previously hosted through [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase|RESTBase]] (e.g.: &lt;code dir=ltr&gt;https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/&lt;/code&gt;) are now redirected to the [[w:en:Special:RestSandbox|REST Sandbox]].
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|WMF Wikidata Platform team]] (WDP) has published its [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|January 2026 newsletter]]. It includes updates on the legacy full-graph endpoint decommissioning, the User-Agent policy change, the monthly Blazegraph migration office hours, and efforts to reduce regressions caused by the legacy endpoint shutdown. As a reminder, you can [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/WDP team updates|subscribe to the WDP newsletter]]!
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.12|MediaWiki]]

'''Meetings and events'''
* The [[mw:Wikimedia Hackathon Northwestern Europe 2026|Wikimedia Hackathon Northwestern Europe 2026]] will take place on 13-14 March 2026 in Arnhem, the Netherlands. Applications opened mid-December and will close soon or when capacity is reached. It's a two-day, technically oriented hackathon bringing together Wikimedians from the region. Hope to see you there!

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/04|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W04&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 21:29, 19 gen 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=29943403 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-05&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W05&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/05|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* Wikimedia Foundation invites comments on [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Year1 Reflections and Proposed Way Forward 2026 Update|proposed future]] of the [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Product and Technology Advisory Council]] until 28 February.
* All users with registered accounts can now use passkeys for [[m:Special:MyLanguage/Help:Two-factor authentication|two-factor authentication]] (2FA). Passkeys are a simple way to log in without using a second device. They verify the user's identity using a fingerprint, face scan, or a PIN code. To set up a passkey, first set up a regular 2FA method. Currently, to log in with a passkey, users must also use a password. Later this quarter, passwordless login will allow users to log in with a single click and a passkey. Users with advanced rights will also be required to have 2FA enabled. This is part of the [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Account Security]] project.
* Unregistered contributors on blocked IPs or blocked IP ranges can now interact on-wiki to appeal a block by creating a temporary account to appeal a block on the user talk page, unless the &quot;prevent this user from editing their own talk page&quot; is enabled. This solves the problem of logged-out users unable to use the default unblock process via user talk page. [https://phabricator.wikimedia.org/T398673]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:20}} community-submitted {{PLURAL:20|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the Two-Factor Authentication (2FA) methods description on the management page has been updated. It is now clearer and easier for users to understand and make use of. [https://phabricator.wikimedia.org/T332385]

'''Updates for technical contributors'''
* A new AbuseFilter variable, &lt;code&gt;account_type&lt;/code&gt;, has been added to provide a reliable way to determine the account type being created in the &lt;code&gt;createaccount&lt;/code&gt; and &lt;code&gt;autocreateaccount&lt;/code&gt; actions. As part of this change, the variable &lt;code&gt;accountname&lt;/code&gt; has been renamed to &lt;code&gt;account_name&lt;/code&gt;, and &lt;code&gt;accountname&lt;/code&gt; is now deprecated. Edit filter managers should update any filters that use hardcoded account type checks or the deprecated variable. [https://phabricator.wikimedia.org/T414049]
* Image thumbnails that are requested in non-standard sizes, and using non-standard methods such as direct requests to &lt;code dir=ltr&gt;&lt;nowiki&gt;upload.wikimedia.org/…&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; will stop working in the near future. This change is to prevent ongoing external abuse by web-scrapers and bots. Some users with custom CSS/JS, Interface Admins who can fix gadgets and local skins, and Tool-authors, will need to update their code to use standard thumbnail sizes. [[phab:T414805|Details, search-links, and examples of how to fix them, are available in the task]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.13|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/05|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W05&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:17, 26 gen 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=29969530 --&gt;

== This Month in Education: January 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 1 • January 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto &quot;25x25&quot; llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]]
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28 gen 2026 (CET)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=29951116 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-06&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W06&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/06|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The &quot;{{int:pageinfo-toolboxlink}}&quot; feature, which gives validating information about a page ([{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=info}} example]), now automatically includes a table of contents. If there is a local [[{{ns:8}}:Pageinfo-header]] page created by individual users, it can now be removed. [https://phabricator.wikimedia.org/T363726]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, VisualEditor previously added bold or italic formatting inside link descriptions, making the wikicode complex. This has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T409669]

'''Updates for technical contributors'''
* There was no XML dump on 20 January. Additionally, from now on, dumps will be generated once per month only. [https://phabricator.wikimedia.org/T414389]
* The MediaWiki Interfaces team removed support for all transform endpoints containing a trailing slash from the [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/API:REST%20API MediaWiki REST API]. All API users currently calling those endpoints are encouraged to transition to the non-trailing slash versions. If you have questions or encounter any problems, please file a ticket in phabricator to the [https://phabricator.wikimedia.org/project/view/6931/ #MW-Interfaces-Team board].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.14|MediaWiki]]

'''Weekly highlight'''
* Users are reminded that the Wikimedia Foundation has shared some guiding questions for the July 2026–June 2027 Annual Plan on [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027/Product &amp; Technology OKRs|Meta]] and ''[[diffblog:2025/12/10/shaping-wikimedia-foundations-2026-2027-annual-goals-key-questions-for-the-wikimedia-movement/|Diff]]''. These focus on global trends, faster and healthier experimentation, better support for newcomers, strengthening editors and advanced users, improving collaboration across projects, and growing and retaining readership. Feedback and ideas are welcome on the [[m:Talk:Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027|talk page]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/06|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W06&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 18:43, 2 feb 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30000986 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-07&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W07&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] Logged-in contributors who manage large or complex watchlists can now organise and filter watched pages in ways that improve their workflows with the new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|Watchlist labels]] feature. By adding custom labels (for example: pages you created, pages being monitored for vandalism, or discussion pages) users can more quickly identify what needs attention, reduce cognitive load, and respond more efficiently. This improves watchlist usability, especially for highly active editors.
* A new feature available on [[Special:Contributions|Special:Contributions]] shows [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts|temporary accounts]] that are likely operated by the same person, and so makes patrolling less time-consuming. Upon checking contributions of a temporary account, users with access to temporary account IP addresses can now see a view of contributions from the related temporary accounts. The feature looks up all the IPs associated with a given temporary account within the data retention period and shows all the contributions of all temporary accounts that have used these IPs. [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts#February 2026: Improvements to the patroller tooling|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T415674] 
* When editors preview a wikitext edit, the reminder box that they are only seeing a preview (which is shown at the top), now has a grey/neutral background instead of a yellow/warning background. This makes it easier to distinguish preview notes from actual warnings (for example, edit conflicts or problematic redirect targets), which will now be shown in separate warning or error boxes. [https://phabricator.wikimedia.org/T414742]
* The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] continues to improve — it now properly supports more than one Wikibase site, for example both [[d:|Wikidata]] and [[testwikidata:|testwikidata]]. In addition, issues regarding text direction have been fixed for users who prefer Wikidata or other Wikibase sites in right-to-left (RTL) languages. [https://phabricator.wikimedia.org/T415440][https://phabricator.wikimedia.org/T415458]
* The automatic &quot;magic links&quot; for ISBN, RFC, and PMID numbers have been [[mw:Special:MyLanguage/Help:Magic links|deprecated in wikitext since 2021]] due to inflexibility and difficulties with localization. Several wikis have successfully replaced RFC and PMID magic links with equivalent external links, but a template was often required to replace the functionality of the ISBN magic link. There is now a new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Magic words#isbn|built-in parser function]] &lt;code dir=ltr&gt;&lt;nowiki&gt;{{#isbn}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; available to replace the basic functionality of the ISBN magic link. This makes it easier for wikis who wish to migrate off of the deprecated magic link functionality to do so. [https://phabricator.wikimedia.org/T145604]
* Two new wikis have been created: 
** a {{int:project-localized-name-group-wikipedia}} in [[d:Q35401|Jju]] ([[w:kaj:|&lt;code&gt;w:kaj:&lt;/code&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T413283]
** a {{int:project-localized-name-group-wikipedia}} in [[d:Q1186896|Nawat]] ([[w:ppl:|&lt;code&gt;w:ppl:&lt;/code&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T413273]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. 

'''Updates for technical contributors'''
* A new global user group has been created: [[{{int:grouppage-local-bot}}|{{int:group-local-bot}}]]. It will be used internally by the software to allow community bots to bypass rate limits that are applied to abusive [[w:en:Web scraping|web scrapers]]. Accounts that are approved as bots on at least one Wikimedia wiki will be automatically added to this group. It will not change what user permissions the bot has. [https://phabricator.wikimedia.org/T415588]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.15|MediaWiki]]

'''Meetings and events'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Users and Developers Conference Spring 2026|MediaWiki Users and Developers Conference, Spring 2026]] will be held March 25–27 in Salt Lake City, USA. This event is organized by and for the third-party MediaWiki community. You can propose sessions and register to attend. [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/AZBWVI46SDEB65PGR5J6E4TYOQQEZXM7/]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W07&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 00:30, 10 feb 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:Quiddity (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30026671 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-08&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W08&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/08|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Site Reliability Engineering|SRE Team]] will be performing a cleanup of Wikimedia's [[m:Special:MyLanguage/Etherpad|Etherpad]] instance, the web-based editor for real-time collaborative document editing. All pads will be permanently deleted after 30 April, 2026 – if there are still migration projects in progress at that point the team can revisit the date on a case by case basis. Please create local backups of any content you wish to keep, as deleted data cannot be recovered. This cleanup helps reduce database size and minimize infrastructure footprint. Etherpad will continue to support real-time collaboration, but long-term storage should not be expected. Additional cleanups may occur in the future without prior notice. [https://phabricator.wikimedia.org/T415237]

'''Updates for editors'''
* The Information Retrieval team will be launching an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information Retrieval/Phase 1|Android mobile app experiment]] that tests hybrid search capabilities which can handle both semantic and keyword queries. The improvement of on-platform search will enable readers to find what they’re looking for directly on Wikipedia more easily. The experiment will first be launched on Greek Wikipedia in late February, followed by English, French, and Portuguese in March. [https://diff.wikimedia.org/2026/01/08/semantic-search-making-it-easier-to-find-the-information-readers-want/ Read more] on Diff blog. [https://www.mediawiki.org/wiki/Readers/Information_Retrieval]
* The Reader Growth team will run [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/WE3.10.2 Mobile Table of Contents|an experiment]] for mobile web users, that adds a table of contents and automatically expands all article sections, to learn more about navigation issues they face. The test will be available on Arabic, Chinese, English, French, Indonesian, and Vietnamese Wikipedias.
* Previously, site notices ([[{{ns:8}}:Sitenotice]] and [[{{ns:8}}:Anonnotice]]) would only render on the desktop site. Now, they will render on all platforms. Users on mobile web will now see these notices and be informed. Site administrators should be prepared to test and fix notices on mobile devices to avoid interference with articles. To opt out, interface admins can add &lt;code dir=&quot;ltr&quot;&gt;#siteNotice { display: none; }&lt;/code&gt; to [[{{ns:8}}:Minerva.css]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T138572][https://phabricator.wikimedia.org/T416644]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:19}} community-submitted {{PLURAL:19|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue on [[Special:RecentChanges|Special:RecentChanges]] has been fixed. Previously, clicking hide in the active filters caused the &quot;view new changes since…&quot; button to disappear, though it should have remained visible. The button now behaves as expected. [https://phabricator.wikimedia.org/T406339]

'''Updates for technical contributors'''
* New documentation is now available to help editors debug on-site search features. It supports troubleshooting when pages do not appear in results, when ranking seems unexpected, and when you need to inspect what content is being indexed, helping make search behavior easier to understand and analyze. [[mw:Help:CirrusSearch/Debug|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T411169]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/08|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W08&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:17, 16 feb 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30086330 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-09&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W09&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/09|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Reference Check|Reference Check]] has been deployed to English Wikipedia, completing its rollout across all Wikipedias. The feature prompts newcomers to add a citation before publishing new content, helping reduce common citation-related reverts and improve verifiability. In A/B testing, the impact was substantial: newcomers shown Reference Check were approximately 2.2 times more likely to include a reference on desktop and about 17.5 times more likely on mobile web. [https://analytics.wikimedia.org/published/reports/editing/reference_check_ab_test_report_final_2025.html]
'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:InterwikiSorting|InterwikiSorting extension]], which allowed for the [[m:Special:MyLanguage/Interwiki sorting order|sorting of interwiki links]], has been undeployed from Wikipedia. As a result, editors who had enabled interwiki link sorting in non-compact mode (full list format) will now see links reordered. The links moving forward will be listed in the alphabetical order of language code. [https://phabricator.wikimedia.org/T253764]
* Later this week, people who are editing a page-section using the mobile visual editor, will notice a new &quot;Edit full page&quot; button. When tapped, you will be able to edit the entire article. This helps when the change you want to make is outside the section you initially opened. [https://phabricator.wikimedia.org/T387175][https://phabricator.wikimedia.org/T409112]
* [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|The Reader Experience team]] is inviting editors to assess whether dark mode should still be considered &quot;beta&quot; on their wiki, based on their experience of how well it functions on desktop and mobile. If the feature is deemed mature, editors can update the interface messages in &lt;code dir=ltr&gt;MediaWiki:skin-theme-description&lt;/code&gt; and &lt;code dir=ltr&gt;MediaWiki:Vector-night-mode-beta-tag&lt;/code&gt; to indicate that dark mode is ready and no longer considered beta.
* The improved [[mw:Wikimedia_Apps/Team/iOS/Activity_Tab|Activity tab]] which displays user-insights is now available to all users of the Wikipedia iOS app (version 7.9.0 and later). Following earlier A/B testing that showed higher account creation among users with access to the feature, it has been rolled out to 100% of users along with some updates. The Activity tab now shows your edited articles in the timeline, offers editing impact insights like contribution counts and article view trends, and customization options to improve in-app experience for users.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, a bug that prevented [[mw:Special:MyLanguage/Extension:DiscussionTools|DiscussionTools]] from working on mobile has now been fixed, restoring full functionality. [https://phabricator.wikimedia.org/T415303]

'''Updates for technical contributors'''
* The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] that makes this possible continues to improve. The latest upgrade is the inclusion of a [[mw:Extension:GlobalWatchlist#hook|new hook]], &lt;code dir=ltr&gt;ext.globalwatchlist.rebuild&lt;/code&gt;, which fires after each watchlist rebuild. This allows you to run gadgets and user scripts for the Special page. [https://phabricator.wikimedia.org/T275159]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.17|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/09|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W09&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:03, 23 feb 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30119102 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-10&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W10&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Wikipedia 25 [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments|Birthday mode]] is now live on Betawi, Breton, Chinese, Czech, Dutch, English, French, Gorontalo, Indonesian, Italian, Luxembourgish, Madurese, Sicilian, Spanish, Thai, and Vietnamese Wikipedias! This limited-time campaign feature celebrates 25 years of Wikipedia with a birthday mascot, Baby Globe. When turned on, Baby Globe is shown on [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments/article configuration|~2,500 articles]], waiting to be discovered by readers. Communities can choose to turn Birthday mode on by getting consensus from their community and asking an admin to enable the feature and customize it via [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments#Community Configuration Demo|community configuration]] on the local wiki.

'''Updates for editors'''
* [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]], a new feature to re-use references with different details has been released to Swedish Wikipedia, Polish Wikipedia and [[:phab:T418209|a couple of other wikis]]. You can [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#test|try the feature]] on these projects or on testwiki and [https://en.wikipedia.beta.wmcloud.org/wiki/Sub-referencing betawiki]. Learnings from the first pilot wiki German Wikipedia have been [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/Learnings|published in a report]]. Reach out to the Wikimedia Deutschland team if you are [[:m:Talk:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#Pilot wikis|interested in becoming a pilot wiki]].
* [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check#Paste check|Paste Check]] will become available at all Wikipedias this week. The feature prompts newcomers who are pasting text they are not likely to have written into VisualEditor to consider whether doing so risks a copyright violation. Paste Check [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Tags|tags]] all edits where it is shown for potential review. Local administrators can configure various aspects of the feature via [[{{#special:EditChecks}}]]. [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Paste Check#A/B Experiment|Research]] across 22 wikis found that Paste Check resulted in an 18% decrease in relative reverted-edits compared to the control group. Translators can [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-visualeditor-ve-mw-editcheck&amp;filter=&amp;optional=1&amp;action=translate help to localize] this and related features.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] will be standardizing the user menu in the top right for all mobile users so that it is closer to the desktop experience. Currently this user menu is only visible to users with Advanced Mobile Controls (AMC) turned on. The only change is that a couple buttons previously in the left-side menu will move to the top right for users who do not have AMC turned on. This change is expected to go out March 9 and seeks to improve the user interface. [https://phabricator.wikimedia.org/T413912]
* Starting in the week of March 2, the emails sent out when an email address was added, removed, or changed for an account will switch to a substantially nicer and clearer HTML email from the prior plaintext one. [https://phabricator.wikimedia.org/T410807]
* Notifications are currently limited to 2,000 historic entries per user, and extend back to 2013 when the feature was released. This is going to be changed to only store Notifications from the last 5 years, but up to 10,000 of them. This will help with long-term infrastructure health and help to prevent more recent notifications from disappearing too soon. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948]
* The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] which lets you view your watchlists from multiple wikis on a single page continues to see improvements. The latest update improves label usage experience. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] now allows activating the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Language#Fallback languages|language fallback system]] for Wikidata items without labels in the viewed language, and showing those labels in the user’s preferred Wikidata language if no &lt;code dir=ltr&gt;uselang=&lt;/code&gt; URL parameter is provided. [https://phabricator.wikimedia.org/T373686][https://phabricator.wikimedia.org/T416111]
* The Wikipedia Android team has started a beta test of [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information Retrieval/Phase 1|hybrid search]] on Greek Wikipedia. Hybrid search capabilities can handle both semantic and keyword queries enabling readers to find what they’re looking for directly on Wikipedia more easily.
* For security reasons, members of certain user groups are [[m:Special:MyLanguage/Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights|required to have two-factor authentication]] (2FA) enabled. Currently, 2FA is required to use the group, but not to be a member of it. Given that this model still has some vulnerabilities, the situation will [[phab:T418580|gradually change in March]]. Members of these groups will be unable to disable last 2FA method on their account, and it will be impossible to add users without 2FA to these groups. Users will still be able to add new authentication methods or remove them, as long as at least one method is continuously enabled. In the second half of March, users without 2FA will be removed from these groups. This applies to: CentralNotice administrators, checkusers, interface administrators, suppressors, Wikidata staff, Wikifunctions staff, WMF Office IT and WMF Trust &amp; Safety. Nothing will change for other users. See the linked task for deployment schedule. [https://phabricator.wikimedia.org/T418580]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue preventing users from creating an instance in [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase.cloud] has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T416807]

'''Updates for technical contributors'''
* To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], over the next month the Wikimedia Foundation will implement global API rate limits across our APIs. In early March, stricter limits will be applied to unidentified requests from outside Toolforge/WMCS and API requests that are made from web browsers. In April, higher limits will be applied to identified traffic. These limits are intentionally set as high as possible to minimise impact on the community. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]].
* The Wikidata Query Service Linked Data Fragment (LDF) endpoint will be decommissioned in February. This endpoint served limited traffic, which was successfully migrated to other data access methods that were better suited to support existing use cases. The hardware used to support the LDF endpoint will be reallocated to support the ongoing backend migration efforts. [https://phabricator.wikimedia.org/T415696]
* The new Parsoid parser [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser Unification/Updates|continues to be deployed to additional wikis]], improving platform sustainability and making it easier to introduce new reading and editing features. Parsoid is now the default parser on 488 WMF wikis (268 Wikipedias), now covering more than 10% of all Wikipedia page views.
* The process and criteria for [[Special:MyLanguage/Wikimedia Enterprise#Access|requesting exceptional access]] to the high volume feed of the ''Wikimedia Enterprise'' APIs (at no cost for mission-aligned usecases), [[m:Talk:Wikimedia Enterprise#Exceptional access criteria|have now been published]]. This is to provide more thorough and clearer documentation for users.
* [https://techblog.wikimedia.org/ Tech Blog], the blog dedicated to the Wikimedia technical community [https://techblog.wikimedia.org/2026/02/24/a-tech-blog-diff/ will be migrating] to [[diffblog:|Diff]], the community news and event blog. The migration should be complete in April 2026, after which new posts will be accepted for publishing. Readers will be able to access posts – old and new – on the landing page at https://diff.wikimedia.org/techblog.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.18|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W10&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 18:51, 2 mar 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30137798 --&gt;

== This Month in Education: February 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 2 • February 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]]
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3 mar 2026 (CET)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30155806 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-11&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W11&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies.
* Last week, all wikis had 2 hours of read-only time, and extended unavailability for user-scripts and gadgets. This was due to a security incident which has since been resolved. Work is ongoing to prevent re-occurrences. For current information please see the [[m:Steward's noticeboard#Statement on Meta about today's user script security incident|post on the Stewards' noticeboard]] ([[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Product and Technology/Product Safety and Integrity/March 2026 User Script Incident|translations]]).

'''Updates for editors'''
* Users facing multiple blocks on mobile will now see the reasons for each block separately, instead of a generic message. This helps them understand why they are blocked and what steps they can take to resolve the issue. For example, users affected for using common VPNs (such as [[Special:MyLanguage/Apple iCloud Private Relay|iCloud Private Relay]]) will receive clearer guidance on what they need to do to start editing again. [https://phabricator.wikimedia.org/T357118]
* Later this week, [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] will become available as a beta feature within the visual editor at all Wikipedias. This feature proactively suggests various types of actions that people can consider taking to improve Wikipedia articles, and learn about related guidelines. The feature is locally configurable, and can also be locally expanded with custom Suggestions. Current settings can be seen at [[Special:EditChecks]] and there are [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators %E2%80%93 local customization|instructions for how administrators can customize]] the links to point to local guidelines. The feature is connected to [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check|Edit check]] which suggests improvements while someone is writing new content. In the future, the Editing team plans to evaluate the feature's impact with newcomers through a controlled experiment. [https://phabricator.wikimedia.org/T404600]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where the cursor became misaligned during the use of CodeMirror’s syntax highlighting, which makes wikitext and code easier to read, has now been fixed. This problem specifically affected users who defined a font rule in a custom stylesheet while creating a new topic with DiscussionTools. [https://phabricator.wikimedia.org/T418793]

'''Updates for technical contributors'''
* API rate limiting update: To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], global API rate limits will be applied this week to requests without a compliant User-Agent that originate from outside Toolforge/WMCS and to unauthenticated requests made from web browsers. Higher limits will be applied to identified traffic in April. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]].
* The new GraphQL API has been released. The API was developed as a flexible alternative to select features of the Wikidata Query Service (WDQS), to improve developer experience and foster adaptability, and efficient data access. Try it out and [[d:Wikidata:Wikibase GraphQL#Feedback and development|give feedback]]. You can also [https://greatquestion.co/wikimediadeutschland/GraphQLAPI/apply sign up for usability tests].
* The [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group|PTAC Unsupported Tools Working Group]] continued improvements to [[commons:Special:MyLanguage/Commons:Video2commons#|Video2Commons]] in February, with fixes addressing authentication errors, large-file handling, task queue visibility, and clearer upload behavior. Work is still ongoing in some areas, including changes related to deprecated server-side uploads. Read [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group#February 2026|this update]] to learn more.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.19|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The Article Guidance team invites experienced Wikipedia editors from selected [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators#Collaborators|pilot wikis]] and interested contributors from other Wikipedias to fill out this questionnaire which is available in [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfmLeVWnxmsCbPoI_UF2jyRcn73WRGWCVPHzerXb4Cz97X_Ag/viewform English], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSd6rzr4XXQw8r4024fE3geTPFe13M_6w7Mitj-YJi0sOlWTAw/viewform?usp=header Arabic], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdok3-RfB18lcugYTUMGkpwmqG_8p760Wv4dCXitOXOszjUDw/viewform?usp=header Bengali], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfjTfYp4jEo0akA4B1e-Nfg3QZPCudUjhJzHzzDi6AHyAaMGA/viewform?usp=header Japanese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScteVoI29Aue4xc72dekk-6RYtvmMgQxzMI900UOawrFrSTWg/viewform?usp=header Portuguese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSetdxnYwL3ub2vqA7awCg5hJZPMIYcDPaiTe12rY9h0GYnVlw/viewform?usp=header Persian], and [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScNvfJF-Ot-4pzA4qAN771_0QDJ4Li19YcUsaTgSKW8Nc7U_Q/viewform?usp=header Turkish]. Your answers will help the team customize guidance for less experienced editors and help them learn community policies and practices while creating an article. Learn more [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|on the project page]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W11&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 19:53, 9 mar 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30213008 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-12&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W12&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature, also known as [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], has been used for wikitext syntax highlighting since November 2024. It will be promoted out of beta by May 2026 in order to bring improvements and new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Features|features]] to all editors who use the standard syntax highlighter. If you have any questions or concerns about promoting the feature out of beta, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|please share]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059]
* Some changes to local user groups are performed by stewards on Meta-Wiki and logged there only. Now, interwiki rights changes will be logged both on Meta-Wiki and the wiki of the target user to make it easier to access a full record of user's rights changes on a local wiki. Past log entries for such changes will be backfilled in the coming weeks. [https://phabricator.wikimedia.org/T6055]
* On wikis using [[m:Special:MyLanguage/Flagged Revisions|Flagged Revisions]], the number of pending changes shown on [[{{#Special:PendingChanges}}]] previously counted pages which were no longer pending review, because they have been removed from the system without being reviewed, e.g. due to being deleted, moved to a different namespace, or due to wiki configuration changes. The count will be correct now. On some wikis the number shown will be much smaller than before. There should be no change to the list of pages itself. [https://phabricator.wikimedia.org/T413016]
* Wikifunctions composition language has been rewritten, resulting in a new version of the language. This change aims to increase service stability by reducing the orchestrator's memory consumption. This rewrite also enables substantial latency reduction, code simplification, and better abstractions, which will open the door to later feature additions. Read more about [[f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-11|the changes]].
* Users can now sort search results alphabetically by page title. The update gives an additional option to finding pages more easily and quickly. Previously, results could be sorted by Edit date, Creation date, or Relevance. To use the new option, open 'Advanced Search' on the search results page and select 'Alphabetically' under 'Sorting Order'. [https://phabricator.wikimedia.org/T403775]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented UploadWizard on Wikimedia Commons from importing files from Flickr has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419263]
'''Updates for technical contributors'''
* A new special page, [[{{#special:LintTemplateErrors}}]], has been created to list transcluded pages that are flagged as containing lint errors to help users discover them easily. The list is sorted by the number of transclusions with errors. For example: [[{{#special:LintTemplateErrors}}/night-mode-unaware-background-color]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T170874]
* Users of the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature have been using [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] for syntax highlighting when editing JavaScript, CSS, JSON, Vue and Lua content pages, for some time now. Along with promoting CodeMirror 6 out of beta, the plan is to replace CodeEditor as the standard editor for these content models by May 2026. [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|Feedback or concerns are welcome]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332]
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] JavaScript modules will soon be upgraded to CodeMirror 6. Leading up to the upgrade, loading the &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror&lt;/code&gt; or &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror.lib&lt;/code&gt; modules from gadgets and user scripts was deprecated in July 2025. The use of the &lt;code dir=ltr&gt;ext.CodeMirror.switch&lt;/code&gt; hook was also deprecated in March 2025. Contributors can now make their scripts or gadgets compatible with CodeMirror 6. See the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror#Gadgets and user scripts|migration guide]] for more information. [https://phabricator.wikimedia.org/T373720]
* The MediaWiki Interfaces team is expanding coverage of REST API module definitions to include [[mw:Special:MyLanguage/API:REST API/Extensions|extension APIs]]. REST API modules are groups of related endpoints that can be independently managed and versioned. Modules now exist for [https://phabricator.wikimedia.org/T414470 GrowthExperiments] and [https://phabricator.wikimedia.org/T419053 Wikifunctions] APIs. As we migrate extension APIs to this structure, documentation will move out of the main MediaWiki OpenAPI spec and REST Sandbox view, and will instead be accessible via module-specific options in the dropdown on the [https://test.wikipedia.org/wiki/Special:RestSandbox REST Sandbox] (i.e., [[{{#Special:RestSandbox}}]], available on all wiki projects).
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto|Scribunto]] extension provides different pieces of information about the wiki where the module is being used via the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual|mw.site]] library. Starting last week, the library also provides a [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual#mw.site.wikiId|way]] of accessing the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Wiki ID|wiki ID]] that can be used to facilitate cross-wiki module maintenance. [https://phabricator.wikimedia.org/T146616]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.20|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The [[m:Special:MyLanguage/Coolest Tool Award|2026 Coolest Tool Award]] celebrating outstanding community tools, is now open for nominations! Nominate your favorite tool using the [https://wikimediafoundation.limesurvey.net/435684?lang=en nomination survey] form by 23 March 2026. For more information on privacy and data handling, please see the [[foundation:Special:MyLanguage/Legal:Coolest_Tool_Award_2026_Survey_Privacy_Statement|survey privacy statement]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W12&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:35, 16 mar 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30260505 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-13&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W13&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Wikimedia site users can now log in without a password using passkeys. This is a secure method supported by fingerprint, facial recognition, or PIN. With this change, all users who opt for passwordless login will find it easier, faster, and more secure to log in to their accounts using any device. The new passkey login option currently appears as an autofill suggestion in the username field. An additional [[phab:T417120|&quot;Log in with passkey&quot; button]] will soon be available for users who have already registered a passkey. This update will improve security and user experience. The [[c:File:Passwordless_login_screencast.webm|screen recording]] demonstrates the passwordless login process step by step.
* [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies.

'''Updates for editors'''
* Wikimedia site users can now export their notifications older than 5 years using a [[toolforge:echo-chamber|new Toolforge tool]]. This will ensure that users retain their important notifications and avoid them being lost based on the planned change to delete notifications older than 5 years, as previously announced. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948]
* Wikipedia editors in Indonesian, Thai, Turkish, and Simple English now have access to Special:PersonalDashboard. This is an [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools/Dashboard|early version of an experience]] that introduces newer editors to patrolling workflows, making it easier for them to move from making edits to participating in more advanced moderation work on their project. [https://phabricator.wikimedia.org/T402647]
* The [[Special:Block]] now has two minor interface changes. Administrators can now easily perform indefinite blocks through a dedicated radio button in the expiry section. Also, choosing an indefinite expiry provides a different set of common reasons to select from, which can be changed at: [[MediaWiki:Ipbreason-indef-dropdown]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T401823]
* Mobile editors [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Logged-out|at several wikis]] can now see an improved logged-out edit warning, thanks to the recent updates from the Growth team. These changes released last week are part of ongoing efforts and tests to enhance [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|account creation experience on mobile]] and then increase participation. [https://phabricator.wikimedia.org/T408484]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:36}} community-submitted {{PLURAL:36|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented mobile web users from seeing the block information when affected by multiple blocks has been fixed. They can now see messages of all the blocks currently affecting them when they access Wikipedia.

'''Updates for technical contributors'''
* Images built using Toolforge will soon get the upgraded buildpacks version, bringing support for newer language versions and other upstream improvements and fixes. If you use Toolforge Build Service, review the recent [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/EMYTA32EV2V5SQ2JIEOD2CL66YFIZEKV/ cloud-announce email] and update your build configuration as necessary to ensure your tools are compatible. [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?title=Help:Toolforge/Building_container_images&amp;oldid=2392097#Buildpack_environment_upgrade_process][https://phabricator.wikimedia.org/T380127]

* The [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page API Portal] documentation wiki will shut down in June 2026. API keys created on the API Portal will continue to work normally. api.wikimedia.org endpoints will be deprecated gradually starting in July 2026. Documentation on the API Portal is moving to [[mw:Wikimedia APIs|mediawiki.org]]. Learn more on the [[wikitech:API Portal/Deprecation|project page]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.21|MediaWiki]]

'''In depth'''
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] is considering improvements to [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names|automatically generated reference names in VisualEditor]]. Please check out the [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Proposed solutions|proposed solutions]] and participate in the [[m:Talk:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Request for comment|request for comment]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W13&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17:51, 23 mar 2026 (CET)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30268305 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-14&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W14&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The Beta version of [[abstract:|Abstract Wikipedia]] a new Wikimedia project which is language-independent, was launched last week. The project allows communities to build Wikipedia articles in their native language, which can be readily accessed by other users in their own languages. The wiki is powered by instructions from Wikifunctions and also based on structured content from Wikidata. [[:f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-26|Read more]].

'''Updates for editors'''
* The Growth team is running an A/B test to evaluate a clearer, more user-friendly message that promotes account creation on wikis. Currently when logged-out mobile users begin editing, they see a jarring warning message that can feel abrupt and discouraging. This also presents temporary account editing as the default rather than encouraging account creation. The test is running on ten Wikipedias, including Arabic, French, Spanish and German. [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#2. Improve logged-out warning message (T415160)|Read more]].
* The Wikimedia Apps team is inviting feedback on [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|how editing should work on the Wikipedia mobile apps]]. The discussion focuses on improving how users access editing tools when they tap &quot;Edit&quot;. This is part of a broader effort to convert readers who develop an interest in editing, to access a more user-friendly pathway to start contributing.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:45}} community-submitted {{PLURAL:45|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where citation fetching from the large newspaper archive [https://www.newspapers.com Newspapers.com] was no longer working, due to a block in [[mw:Special:MyLanguage/Citoid|Citoid]] requests, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419903]

'''Updates for technical contributors'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.22|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W14&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 21:25, 30 mar 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30329462 --&gt;

== This Month in Education: March 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 3 • March 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia &amp; Libraries: Building New Contributors|Wikipedia &amp; Libraries: Building New Contributors]]

&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1 apr 2026 (CEST)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30317659 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-15&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W15&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''

* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] now includes a new group goal-setting feature, enabling organizers to set and track event goals such as the number of articles created and participating contributors in real time. Similarly, participants can work toward shared targets and see their collective impact as the event unfolds. The feature is now available on all Wikimedia wikis. Learn more in [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Collaborative contributions#Goal setting|the documentation]].
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] The new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|watchlist labels]] feature (announced in [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Tech News 2026-07]]) is now available via VisualEditor, the source editor, and the 'watchstar' (or watch link, for skins that don't have a star icon). Previously it was only possible to assign labels via [[Special:EditWatchlist|EditWatchlist]]. In all three places it is a new field following the expiry field.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where talk pages on mobile with Parsoid are unusable after empty section headers, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419171]

'''Updates for technical contributors'''
* The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sub-referencing feature]], which lets editors add details to an existing reference without duplicating it, will be gradually rolled out to [[phab:T414094|more wikis]] later this year. Wikis using the [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]] gadget are encouraged to update their version (typically at [[m:MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js|MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js]] as shown [https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=1344408362 here]) to ensure compatibility. Other reference-related gadgets may also be affected. [https://phabricator.wikimedia.org/T416304]
* All Wikinews editions will be closed and switched to read-only mode on 4 May 2026. Content will remain accessible, but no new edits or articles can be added. This closure was approved by the Board of Trustees of the Wikimedia Foundation following extended discussions. [[m:Wikimedia Foundation Board noticeboard#Board of Trustees Approves Closure of Wikinews|Read more]].
* The [[:mw:Special:MyLanguage/API:Action API|Action API]] has had several formats for requested output. One of them, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;format=php&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, is being removed soon. Please ensure your scripts or bots use the [[mw:Special:MyLanguage/API:Data formats#Output|JSON format]]. This removal should affect very few scripts and bots. [https://phabricator.wikimedia.org/T118538]
* The [[Special:NamespaceInfo|Special:NamespaceInfo]] page now includes namespace aliases. For example &quot;WP&quot; for the &quot;Project&quot; (&quot;Wikipedia&quot;) namespace on the German Wikipedia. [https://phabricator.wikimedia.org/T381455]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.23|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W15&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 18:19, 6 apr 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30362761 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-16&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W16&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Experienced editors are invited to [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Main_Page test] the [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] feature, designed to help less-experienced editors create well-structured, policy-compliant Wikipedia articles. Testing instructions are [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide|available]]. Also, after reviewing [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance the outlines], please provide feedback on the [[mw:Talk:Article guidance|project talk page]]. Based on your input, the feature will be refined and transferred to the pilot Wikipedias to translate and adapt. Check out [[c:File:Article Guidance workflow demo - April 2026.webm|the video]] explaining the feature.
'''Updates for editors'''
* On most wikis, all autoconfirmed users can now use [[Special:ChangeContentModel|Special:ChangeContentModel]] page to [[mw:Special:MyLanguage/Help:ChangeContentModel|create new pages with custom content models]], such as mass message lists, making custom page formats more accessible. Check [[Special:ListGroupRights|Special:ListGroupRights]] for the status of your wiki. [https://phabricator.wikimedia.org/T248294]
* The Growth team has launched an [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account_Creation_Experiments|account creation experiment]] to evaluate whether adding an account creation button to the mobile web header increases new account registrations and encourages more mobile users to contribute to the wikis. The experiment is currently live on Hindi, Indonesian, Bengali, Thai, and Hebrew Wikipedia, and targets 10% of logged-out mobile web users.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where VisualEditor could get stuck loading on Windows devices with animations turned off, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T382856]

'''Updates for technical contributors'''
* Starting later this week, {{int:group-abusefilter}} who have the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature enabled will have [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] as the editor at [[Special:AbuseFilter|Special:AbuseFilter]]. This is part of the broader effort to make the user experience more consistent across all editors. [https://phabricator.wikimedia.org/T399673][https://phabricator.wikimedia.org/T419332]
* Tools and bots that access the [[mw:Special:MyLanguage/Notifications/API|Notifications API]] (&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=query&amp;meta=notifications&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;) will need to update their OAuth or BotPassword grants to also include access to private notifications. [https://phabricator.wikimedia.org/T421991]
* Due to a library upgrade, listings on category pages may be displayed out of order starting on Monday, 20th April. A migration script will be run to correct this, and will take hours to days depending on the size of the wiki (up to a week for English Wikipedia). [https://phabricator.wikimedia.org/T422544]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.24|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W16&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17:19, 13 apr 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30380527 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-17&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W17&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* After two years of development, [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]], also known as [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], is to be promoted out of beta on Tuesday, April 21. It brings better code and wikitext readability, reduction in typing errors, and other [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|benefits]] to all users of the standard syntax highlighter. A huge thank you to volunteer [https://phabricator.wikimedia.org/p/Bhsd/ Bhsd] who developed many of the new features, including [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Code folding|code folding]], [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Autocompletion|autocompletion]], and [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Linting|linting]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059]
* A major update to the Wikipedia app for iOS is now rolling out, redesigning the interface to align with Apple's latest &quot;Liquid Glass&quot; visual design. [https://apps.apple.com/us/app/wikipedia/id324715238 Download the latest version] and explore the update.

'''Updates for editors'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|Reading lists]] is a feature which allows readers to save articles to a list for reading later. This feature is now in beta on Arabic, French, Indonesian, Vietnamese, and Chinese Wikipedias and by default for all new accounts on all Wikipedias.
* An experiment which explores extending [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews|Page Previews to mobile web]] will be launched in the week of April 20 on Arabic, English, French, Italian, Polish, and Vietnamese Wikipedias. Page Previews are pop-ups that display a thumbnail, lead paragraph, and a link to open the full article of a blue link, thereby improving content discovery. The feature is already available on desktop and in the apps. [[m:Special:MyLanguage/List of experiments in Product and Technology#Template|Read more about this experiment and others]].
* On several wikis, logged-in editors who haven't [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email confirmation|confirmed their email addresses]] can now see a banner encouraging them to do so. Having the email address confirmed allows a user to restore access to the account if they lose it. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security#Encouraging users to confirm their email addresses|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T421366]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:15}} community-submitted {{PLURAL:15|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where editing very large wiki pages in the 2017 wikitext editor caused slow loading, preview and scrolling lag, and performance issues when selecting, cutting, or pasting content, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T184857]

'''Updates for technical contributors'''
* As part of the promotion of [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror]] from a beta feature, all users will use [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] for syntax highlighting when editing JavaScript, CSS, JSON, Vue and Lua content pages. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332]
* The &lt;code&gt;mirrors.wikimedia.org&lt;/code&gt; service for Debian and Ubuntu users will sunset and stop working on May 15. The resources for the service will be replaced with new and better options. Some users may need to switch to a different server which should take about a minute. [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/LJYRIS4WB66HIRCAO4GIDTXCMDVZRBMA/ You can read more]. [https://phabricator.wikimedia.org/T416707]
* The &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;image&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;oldimage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; table will be removed from [[wikitech:Help:Wiki Replicas|wikireplicas]]. If your tools or queries access &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;image&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; or &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;oldimage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; directly, please update them to use the &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;file&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;filerevision&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; table before 28 May. [https://phabricator.wikimedia.org/T28741]
* Following the recent implementation of global API rate limits on unidentified traffic, the Wikimedia Foundation will continue efforts to ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]] by applying global limits to identified API traffic beginning the last week of April. These limits are intentionally set as high as possible to minimise impact on the community. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]] and [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|Frequently Asked Questions]].
* The [[mw:Special:MyLanguage/Attribution API|Attribution API]] is now available as a [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Stability policy|beta]]. The API fetches information for crediting Wikimedia articles and media files wherever they are used. Reference documentation is available through the REST Sandbox special page available on all Wikimedia wikis (such as the [https://en.wikipedia.org/w/index.php?api=attribution.v0-beta&amp;title=Special%3ARestSandbox REST sandbox on English Wikipedia]). Share your feedback on the [[mw:Talk:Attribution API|project talk page]].
* There is no new MediaWiki version this week.

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W17&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17:00, 20 apr 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30432763 --&gt;

== This Month in Education: April 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 4 • April 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]]
&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27 apr 2026 (CEST)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30406002 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-18&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W18&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* There is a change in how new users are autoconfirmed that will improve anti-vandalism protection. Currently, users who have had an account for a few days and made a few edits are automatically added to the [[{{int:grouppage-autoconfirmed/{{CONTENTLANGUAGE}}}}|{{int:group-autoconfirmed}}]] group. This configuration tends to be exploited by some vandals, who create accounts and start to use them only after some time. To mitigate this, the configuration will be updated next week so that – for the purpose of becoming autoconfirmed – the account age will be counted from their first edit, instead of registration date. The numeric value of the age threshold will remain the same. This change will be deployed only to wikis which require at least one edit as part of the autoconfirmation conditions. [https://phabricator.wikimedia.org/T418484]
* All Wikipedia users with new accounts and those who activated the &quot;automatically enable most beta features&quot; option in their preference can now use the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|reading lists]] beta feature to save articles for later reading. This helps organize reading interests in one place for convenient access. 
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where infobox images have huge padding in Firefox, has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T423676]

'''Updates for technical contributors'''
* As a reminder, the global API rate limits will be applied this week to identified API traffic. This is to help ensure [[mw:MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]]. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, including the actual rate limits, see [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]] and [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|Frequently Asked Questions]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.26|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W18&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:06, 27 apr 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30458046 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-19&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W19&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] team invites experienced editors of [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|pilot Wikipedias]]—Arabic, Bangla, Japanese, Portuguese, Persian, Turkish, Simple English, Spanish, and French—to help translate and adapt [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance sample outlines]. These outlines will guide editors in creating clear, well-structured, and policy-compliant articles when using [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle the feature] once it is launched in May 2026. [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|Simple instructions]] on how to translate and adapt the outlines are available.
'''Updates for editors'''
* The [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Product and Technology Advisory Council]] has published [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|draft recommendations]] on a model that affiliates can follow when contributing to the technical space. Community members are invited to provide feedback on the recommendation until May 8th [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|on the talk page]].
* The number of available thumbnail size preferences in MediaWiki is being reduced to three standardized options—Small (180px), Regular (250px), and Large (400px), as part of ongoing efforts to improve performance and reduce strain on thumbnail services. As a result, existing preferences will be mapped to the nearest new size (for example, smaller selections like 120px or 150px will render at 180px, while larger ones like 300px or 360px will render at 400px). The preferences interface will soon be updated to reflect these changes, and users who wish to opt out or provide feedback can do so. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909]
* From now on, even when a permission expires automatically, users will receive an Echo notification similar to the standard notification for permission changes. There is a difference between this and [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|Global reminder bot]] in that the latter reminds users a week ''before'' the rights are due to expire, so that they can renew the rights.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the problem where the ULS language selector in [[m:Special:Translate|Special:Translate]] would scroll vertically when it shouldn't, has been resolved. Previously, when users opened the &quot;Translate to English&quot; dropdown and typed certain inputs, the dialog would scroll vertically by a few pixels even when there was enough space to display all results. The dropdown no longer shifts unnecessarily when filtering languages. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] 
* The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]], which lets you view your watchlists from multiple wikis on a single page, continues to improve. For example, watchlists for Wikibase sites such as [[:d:|Wikidata]] now support [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] elements for better tracking. The Live Updates mode now refreshes the special page every 60 seconds to comply with the updated [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|global API rate limits]] for improved real-time responsiveness. Additionally, a directionality bug that displayed links as &quot;changes 3&quot; instead of &quot;3 changes&quot; in mixed-direction lists has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091]
'''Updates for technical contributors'''
* The second phase of [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|global API rate limits]] has been rolled out to reduce the [[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact of AI crawlers]] and ensure fair, sustainable access to Wikimedia resources, prioritising human and mission-aligned traffic. [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|Limits]] have been shifted from per-hour to per-minute, producing smoother traffic patterns and more predictable API load. Community users are not expected to be affected, and no action is required. Early indications show some User-Agent-based requestors are adjusting behaviour, and around 64% of automated API traffic has been identified. Monitoring continues, and Wikimedia Enterprise remains available for commercial support.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W19&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:43, 4 mag 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30498077 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-20&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W20&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Community Tech has published [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|new guidance]] explaining how wishes on Community Wishlist are triaged and prioritized. The documentation is intended to help contributors write stronger proposals by clarifying the factors that influence prioritization decisions. Beyond vote counts, the guidance highlights considerations such as potential impact on the community when determining which wishes move forward.

'''Updates for editors'''
* The Reader Growth team is launching an experiment to test a new [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|Share Card feature]] that allows readers to create visually engaging cards from Wikipedia articles or selected article sections and share them online, with each card linking back to the original article to help expand readership and article discovery. The mobile-only A/B test will be available to a portion of readers on Arabic, Chinese, French, Vietnamese, and English Wikipedia to better understand reading and sharing habits, and is scheduled to begin the week of May 18 and run for four weeks.
* The Android and iOS Wikipedia apps recently released the [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|25-day reading challenge]] into Beta, as part of efforts to drive reader engagement by encouraging users to complete reading milestones. To track their reading streak during the challenge, App users can add a widget featuring Baby Globe to their home screen. The challenge officially begins May 11.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:17}} community-submitted {{PLURAL:17|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the global preference for enabling syntax highlighting in wikitext could unexpectedly disable itself after being turned on, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286]

'''Updates for technical contributors'''
* [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Advanced item]] The ResourceLoader module &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mediawiki.ui.input&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, deprecated since [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|September 2023]], will be removed this week. There is a [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide for migrating from MediaWiki UI to Codex]] for any tools that use it. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W20&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 21:20, 11 mag 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30524429 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-21&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W21&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The Abstract Wikipedia team has identified five potential pilot wikis to assess their interest in adopting abstract articles on their wikis. The pilots are Malayalam, Bengali, Dagbani, Arabic, and Indonesian Wikipedia. The feedback period will be open until May 22. If your community is interested in becoming a pilot, [[m:Talk:Abstract Wikipedia|let us know on Meta]].

'''Updates for editors'''
* An experiment to show [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists]] to logged-out readers on mobile web will launch on May 18 across German, Spanish, Italian, Portuguese, Polish, Dutch, Turkish, and Urdu Wikipedias, and will run for one month. The effort supports broader goals of helping readers save and organize articles for later reading, while encouraging habits that could lead to future Wikipedia contributions.
* To support a bookmark button in the Reading List beta feature, the &quot;Tools &gt; Action&quot; menu has been updated to display icons, including the watch star indicator that helps editors identify temporarily watched articles. The icons now also match those used on mobile, improving consistency across platforms. The change is currently limited to the actions menu and mainly affects editors with privileged user rights. [https://phabricator.wikimedia.org/T426008]
* [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] was released as an [[w:en:A/B test|A/B test]] for newcomer editors on the mobile website at [[phab:T421189|~15 Wikipedias]]. The experiment will measure the impact that Suggestion Mode has on the proportion of newcomer mobile web edit sessions that result in constructive (un-reverted) article edits. The experiment will also evaluate the feature's impact on editor retention, and monitor changes in revert and block rates.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue in the Wikipedia Android app where images could sometimes fail to load after opening a recommended reading list notification, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T418231]

'''Updates for technical contributors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|Wikidata Platform team]] has published its [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/Backend Replacement|backend replacement recommendation]] and accompanying [[wikitech:Wikidata Query Service/WDQS Architecture re-design|technical architecture]] for the migration of the Wikidata Query Service (WDQS) away from Blazegraph. Feedback is invited until May 25th 2026, especially on potential gaps and impacts on advanced use cases. Wikidata community members and WDQS users are also encouraged to help identify high-impact tools and workflows that may need attention on [[d:Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/High-Impact Use Cases|this page]]. Feedback can be shared on the [[d:Wikidata talk:SPARQL query service/WDQS backend update|Migration talk page]] or during the [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Blazegraph Migration Office Hours|next office hour]]. See the [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|WDP team newsletter]] for more details.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.3|MediaWiki]]

'''In depth'''

* On English, French, Japanese, and a few other Wikipedias, there was a [[diffblog:2025/09/02/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha/|trial of hCaptcha]], a third-party bot detection service. The trial showed that hCaptcha effectively detects and deters some bad-faith automated activity, on its own and by giving [[w:en:Wikipedia:Village pump (technical)/Archive 225#Introducing SuggestedInvestigations|checkusers and stewards]] signals to look into. Because the results were positive, hCaptcha will be rolled out across all wikis over the next few weeks. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Anti-abuse signals/hCaptcha|See the hCaptcha project page]] for technical information about the implementation and privacy protections. [[diffblog:2026/05/04/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha-part-2/|Learn more]].
* The latest Community Tech update is now available, with progress across several Community Wishlist initiatives, including Reading Lists expansion from the mobile app to the website, new language support for &quot;Who Wrote That&quot; and the Personal Dashboard, improvements to 3D rendering and Charts, and upcoming work on talk page sorting, audio playback, and editing workflows. The update also shares current priorities, wishlist status trends, and opportunities for community feedback on future focus areas and the Wikimedia Foundation’s 2026–2027 Annual Plan. [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 13, 2026: Latest updates from the Community Tech team|Read the full newsletter for details]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W21&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:21, 18 mag 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30539262 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-22&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W22&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/22|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Following a [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#LOWM|successful account creation experiment]], an improved logged-out edit warning message will be deployed to all Wikimedia wikis in the first week of June. The change will only affect logged-out users on mobile web who open an editing session. The updated experience is designed to encourage account creation more clearly, while still allowing users to edit with temporary accounts. Results from the experiment showed a significant increase in account creation, with a 27% relative lift among users shown the updated message. As expected, as more people funnel into account creation, temporary accounts decreased by a relative 16%. The experiment did not show any significant changes in constructive edit rates or other monitored contributor metrics. [https://phabricator.wikimedia.org/T424595] 

'''Updates for editors'''
* For security reasons, members of certain user groups are [[m:Special:MyLanguage/Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights|required to have two-factor authentication]] (2FA) enabled. Members of these groups will be unable to disable the last 2FA method on their account, and it will be impossible to add users without 2FA to these groups. Users will still be able to add new authentication methods or remove them, as long as at least one method is continuously enabled. In the next few weeks, users without 2FA will be removed from these groups. Notably, this applies to bureaucrats. See the linked tasks for deployment schedules. [https://phabricator.wikimedia.org/T423119][https://phabricator.wikimedia.org/T423120]
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] will run an [[w:en:A/B testing|A/B test]] on [[:phab:T415904|10 wikis]], testing [[m:WMDE Technical Wishes/References/Reference Previews|potential improvements for Reference Previews]]. The experiment will run for ~2 weeks at the end of May / beginning of June and will affect 10% of desktop readers on the participating wikis.
* After two successful experiments, the Reader Growth team is rolling out an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|Image Browsing]] beta feature for all Wikipedias on mobile on May 25. This means that anyone who has all beta features on by default will start to see this feature, and others can check the box to turn it on in their preferences. The beta feature will include a carousel of all an article's images at the top of the article, with controls for editors to [[mw:Readers/Reader_Growth/Image_Browsing#Phase_2.1_beta_feature|exclude images from the article's carousel or to exclude an article from the feature entirely]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, three dimensional STL files were being rendered incorrectly by the media viewer 3D extension which is now fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T416723]

'''Updates for technical contributors'''
* The legacy CSS classes &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;tleft&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;tright&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; have been replaced with &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;floatleft&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;floatright&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; as the former do not work consistently across all MediaWiki platforms, notably mobile web and mobile apps. Projects relying on these classes are encouraged to review related usage and plan for migration. Please note that &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;floatleft&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;floatright&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; may also be deprecated in future, although there are currently no plans to do so. [[phab:T426452|Read more]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.4|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/22|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W22&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23:52, 25 mag 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:Quiddity (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30584502 --&gt;

== This Month in Education: May 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 5 • May 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities|Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania|Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Debating free license in Brazil|Debating free license in Brazil]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India|Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects|Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges|Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem|Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria|Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia MKD's Education News &amp; Activities|Wikimedia MKD's Education News &amp; Activities]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year|Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year]]
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:53, 1 giu 2026 (CEST)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30604297 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-23&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] is conducting an experiment to show the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|reading lists]] feature, which is still in development, to logged-out mobile readers to test whether it encourages account creation at a higher rate compared to the watchstar button. The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|experiment]] was launched on May 18th on German, Spanish, Italian, Portuguese, Polish, Dutch, Turkish, and Urdu wikis, and it will run for a month.
* The Wikimedia Apps team released [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] of the redesigned Home Feed to the Android Beta app. The new Home Feed includes a refreshed &quot;Community&quot; tab and a personalized &quot;For You&quot; tab featuring daily updated reading recommendations. The redesign is part of a broader effort to improve content discovery and create more engaging learning experiences in the Wikipedia apps.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:18}} community-submitted {{PLURAL:18|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where images could fail to load for some suggested edits on [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], leaving the thumbnail stuck in a loading state, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048]

'''Updates for technical contributors'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23:08, 1 giu 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30613639 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-24&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* Wikimedia Enterprise has increased the free usage limits for its API offerings. The monthly request limit for the On-demand API has increased from 5,000 to 50,000 requests, while the Snapshot API limit has increased from 15 to 30 requests per month. In addition, Structured Contents snapshots are now available for free accounts. These changes expand access to Wikimedia Enterprise data for developers, researchers, and organizations using Wikimedia content. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api]

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|refreshed Explore Feed]], now called the Home Feed, is rolling out to 50% of users of the Wikipedia Android app. The Home Feed helps readers discover relevant content through two new tabs: ''Community'' and ''For You''. The Community tab provides a scrollable feed of curated content and updates from the broader Wikimedia community and movement, while the ''For You'' tab offers a full-screen, swipeable experience that shows content tailored to a user's interests. The redesign is part of a broader effort to improve discovery and enhance the learning experience in the Wikipedia app.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/&quot;Which came first?&quot; Game|Which came first?]] daily trivia game is now available in the beta version of the Wikipedia iOS app in English, German, French, Portuguese, Russian, Spanish, Arabic, Chinese, and Turkish. The game uses historical events from Wikipedia's &quot;On This Day&quot; content and challenges readers to guess which of two events happened first. The game was previously released on Android. Communities interested in making the game available in their languages can [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|read the instructions and requirements]].
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]], a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details, will begin rolling out to Wikimedia wikis following a successful pilot phase. Deployment will start on 8 June for most [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|Group 1 wikis]] and French Wikipedia, with additional Wikipedia language editions receiving the feature over the coming months. Communities are encouraged to prepare by checking for [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-cite&amp;language=en&amp;action_source=search&amp;filter=%21translated&amp;optional=1&amp;action=translate untranslated Cite extension messages] in their language and reviewing any use of [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]], which may require [[:phab:T416304#11668731|updates]] to support the new functionality. Wikis using [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|Reference Previews]] do not need to take any action. Communities may also wish to create the ''cite-tracking-category-ref-details'' [[Special:TrackingCategories|tracking category]] as a hidden category using &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__HIDDENCAT__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (or a dedicated template), and connect it to the corresponding Wikidata item [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662]
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|Page Previews experiment]] on mobile web has concluded. The team decided not to roll out the feature after the results showed no statistically significant impact on reader retention, as the primary success metric was retention improvement. Page Previews, which are already available on desktop and in the apps, display a thumbnail, lead paragraph, and link to the full article when readers tap a blue link. The experiment tested this experience on mobile web across six Wikipedias.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|user interface icon library]] will be [[phab:T399175|updated later this week or next week]]. Most of the ~300 icons have been slightly refined and ~30 new icons have been added. These changes improve the icons to make them more consistent and comprehensible, and provide more visual balance when they are used in groups.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Universal Language Selector]] (ULS) interface in MediaWiki, which helps users select content in other languages, has been updated. The new version improves speed and accessibility, and users of Wikimedia projects can now pin languages for quicker language switching. The deployment to Wikimedia sites will happen gradually in the coming weeks. You can test it now as a beta feature by selecting [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|beta features]] in your profile preferences and share your feedback on [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|the project page]]. 
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the Pageviews Analysis dashboard on pageviews.wmcloud.org stopped updating graph data in May 2026, affecting all users, has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171]

'''Updates for technical contributors'''
* The function signature for &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; has been simplified. Developers can now pass a configuration object instead of a list of positional parameters when creating portlet links. The previous function signature remains supported for backwards compatibility. For example, instead of: &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; use &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Script maintainers are encouraged to review existing uses of &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and update them where appropriate. This change will be available on all wikis from 11 June. Thanks to community volunteer Gerges for contributing this improvement. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945]
* '''Community Wishlist discussion''': Product &amp; Technology [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|introduced changes]] meant to increase the number and complexity of wishes fulfilled, including the disbanding of the Community Tech team. They are [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|engaging in discussions]] about a [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|proposed direction for the wishlist]] from community members. Includes ways to structure annual voting, better tracking of wishes, removing focus areas, and [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|staffing updates]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23:30, 8 giu 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30650573 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-25&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W25&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|Reader Growth team]] has launched an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|Image Browsing]] beta feature on the mobile web version of all Wikipedias. The feature shows an image carousel at the top of articles with 3 or more images. Editors can configure this feature with the following controls: to hide a specific image from a page, either use &lt;code&gt;class=notpageimage&lt;/code&gt; excluding it from thumbnail previews, or &lt;code&gt;class=noviewer&lt;/code&gt; excluding it from MediaViewer. The carousel can also be disabled from a page entirely, with the magic word &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. To submit feedback or flag bugs, please visit the [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|project page]]. 
* [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class=&quot;wikitable&quot;|Wikitables]] can now be [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|sorted in descending order]] on the first click by adding &lt;code dir=ltr&gt;data-sort-order=&quot;desc&quot;&lt;/code&gt; to the header cell. Previously, by default, clicking a column header for the first time sorts it in ascending order. This addition to a Wikitable gives it more control and flexibility, while the default behavior for subsequent clicks remains unchanged. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416]

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] feature is currently being tested with some editors creating new articles on the Simple English, French, and Turkish Wikipedias. The experiment will soon begin on the Arabic and Bangla Wikipedias as well. [[w:simple:Special:NewArticle|This feature]] gives editors community-curated guidance to help them create articles that follow community standards. Experienced editors can continue creating or adapting outlines for specific article types that are commonly created by less experienced contributors. The outlines guide less experienced editors in creating high-quality articles. A quick guide to markups used in outlines can be found on [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|this page]]. [[w:simple:Wikipedia:Article Guidance|Example outlines]] that can be adapted and instructions for how to adapt them are on [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|this section]] of the project page.
* Wikis that wish to replace the &quot;indefinitely&quot; button in Special:Block for temporary accounts (for example, wikis that block temporary users only until account expiration) will be able to do so by creating [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] with the block duration they want. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:41}} community-submitted {{PLURAL:41|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]].

'''Updates for technical contributors'''
* By the end of June, a valid user-agent string will be required for automated dumps downloads from the dumps.wikimedia.org website. Automated requests that provide a generic or empty user-agent will be blocked. This [[phab:T400119|extends enforcement]] of the long standing [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|user-agent policy]]. Access to dumps through Wikimedia Cloud Services will not change.
* The roll out of global [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|API rate limits]] is now complete, with limits enforced across all APIs and at the documented levels for all groups. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki remain exempt. All bots should continue to follow the documented best practices to avoid being rate limited.
* The [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page API Portal wiki] will be read only starting this week (June 15-18). The following week (June 22-25), all API Portal wiki URLs will redirect to [[mw:Wikimedia APIs|Wikimedia APIs on mediawiki.org]]. Learn more on the [[wikitech:API Portal/Deprecation|project page]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]]

'''Meetings and events'''
* On June 17th at 6pm UTC the WMF will be holding Discord call focused on a code review. We've heard through the [[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|Developer Satisfaction Survey]] that volunteers are struggling with code review and we'd like to discuss these experiences with the goal of surfacing workable solutions. You can join the call [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via the Wikimedia Community Discord server].
* The [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Latin American Wikimedia Conference]] will host a regional hackathon that will bring together the Wikimedia movement’s technical community including developers, system administrators, data scientists, and users with extended rights. Interested technical contributors can [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform apply for a scholarship] to participate until June 21 at midnight (Bolivia time, UTC-4).
* Sign up for Wikimania Team Challenges to join this special event. The Team challenges will take place online and in person from July 21 to 22, before Wikimania conference. Everyone is welcome, regardless of skills or Wikimania registration. Teams will work on 10 important challenges supporting the Wikimedia community. For details, visit [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|the Team Challenges page]] and [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ register there]. Registration closes on June 20th at 11pm UTC. 

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W25&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 18:48, 15 giu 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30689604 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-26&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W26&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|Growth features]] are [[phab:T418115|now available at Wikidata]]. This update enables access to Mentorship ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|if configured]]), Impact module, the Help Panel, and a simplified Newcomer Homepage (without Suggested Edits). Wikidata administrators are still configuring the features through Community Configuration.

'''Updates for editors'''
* The special page [[{{#special:RangeCalculator}}]] has been created. It allows users to find an IP range without needing to rely on external tools. Until now, this tool was only available to CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429]
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]] is a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details. It will be deployed to most small and medium-sized Wikipedia language versions on June 23. The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] lists possible actions to take on your wiki to support the deployment. Check the [[:phab:T414094|rollout plan]] for the next deployment steps. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902]
* Starting next week, users will get a notification when they are blocked or unblocked from editing, or if this block changes. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]].

'''Updates for technical contributors'''
* Starting next week, abuse filters that are set to &quot;require CAPTCHA verification&quot; will begin to also affect users with the &lt;code&gt;skipcaptcha&lt;/code&gt; right, which includes most autoconfirmed users. Bots are exempted. This change only affects edits that trigger an abuse filter. The &lt;code&gt;skipcaptcha&lt;/code&gt; right will continue to exempt users from having to solve CAPTCHAs in the ordinary course of using the wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595]
* Reference documentation for the [[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|Lift Wing API]] has moved from the API Portal to the interactive [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&amp;title=Special%3ARestSandbox REST Sandbox].
* The API Portal wiki is now closed. For API documentation, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs on mediawiki.org]]. All API Portal wiki URLs (https://api.wikimedia.org/wiki/) will redirect to the mediawiki.org page starting June 22. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]]

'''Meetings and events'''
* Join an online call on 25 June at 2:30pm UTC to meet the current Wikimedia interns for [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] and [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Interns will provide an overview of their projects and a brief demo of their work so far. Attendees are encouraged to [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|share ideas and connections in their community]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W26&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 15:05, 23 giu 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:Trizek (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30722494 --&gt;

== This Month in Education: June 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 6 • June 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement|Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026|Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries|Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education|Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite|Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo|Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives|Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana|Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/&quot;25x25 Project – Celebrating Wikipedia&quot; in Córdoba, Argentina|&quot;25x25 Project – Celebrating Wikipedia&quot; in Córdoba, Argentina]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities|Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026|Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program|From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter|EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography|Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes|Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda|Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda]]
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 06:15, 28 giu 2026 (CEST)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30725833 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-27&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W27&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* As part of the [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|Account Creation Experiments]], the Growth team tested adding a user account icon in the mobile web header for logged-out users, providing direct access to &quot;Create account&quot; and &quot;Log in&quot; actions. The experiment increased account creation by about 20% without negatively affecting edit quality or constructive edit rates. The feature will now be rolled out to all Wikimedia Foundation wikis on mobile web in the first week of July. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220]
* After a [[phab:T426248|successful experiment]], logged-in users who did not [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirm their email address]] when their account was created see a new banner asking them to complete that process. This helps reduce the risk that users get locked out of their account, and makes account email addresses overall more reliable. This is part of the [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Account Security]] project. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292]
* An update to [[Special:Search|Search]] is refining how the &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;-prefix:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; behaves when used to exclude results. Previously, using &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;-prefix:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; with negation could unintentionally broaden search results by adding the namespaces included in the search scope, leading to confusing behavior for users expecting a straightforward exclusion filter. With the update, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;-prefix:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; will now strictly exclude matching page titles as intended and may display a warning if the relevant namespace has not been explicitly selected. The behavior of &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;prefix:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; without negation however remains unchanged. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:33}} community-submitted {{PLURAL:33|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where reviewers using the Page Curation toolbar were not automatically subscribed to talk page discussions they started has now been fixed. Reviewers will now receive notifications when someone replies to those discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346]

'''Updates for technical contributors'''
* Starting June 29th, automated downloads from the dumps.wikimedia.org website will be subject to the [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|user-agent policy]]. Automated requests that provide a generic or empty user-agent will be blocked. Access to dumps through Wikimedia Cloud Services remains unaffected. This is a follow up to the announcement made in the [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|2026/25 issue of Tech News]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W27&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 13:48, 29 giu 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30744833 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-28&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W28&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:34}} community-submitted {{PLURAL:34|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the search bar results on Wikidata, showed English results instead of using the correct language fallback for users of language variants, has now been fixed. Search suggestions will now follow the expected language fallback chain. [https://phabricator.wikimedia.org/T429769]

'''Updates for technical contributors'''
* In preparation for [[m:Special:MyLanguage/Event:Celebrate Women|Celebrate Women campaign]] planned for March 2027, the Wikimedia Foundation’s [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Advancement/Community Growth/Content Enablement|Content Enablement team]] has launched a 22-question survey to better understand technical contributions by women+ (anyone who identifies as a woman) across Wikimedia projects. The survey takes approximately 15–20 minutes to complete and will remain open until 20 July 2026. The [[m:Special:MyLanguage/Celebrate Women/Technical contributions survey|questions]] are also available on-wiki for review in advance.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|Score extension]] now supports rendering music scores as SVG images in addition to PNG, addressing a long-standing [[:phab:T49578|feature request]] and resolving historical image quality issues. Both formats are now provided to clients, with PNG in the &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;src&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; attribute and SVG in the &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;srcset&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; attribute.
* The new [[wikitech:Parsoid|Parsoid]] parser [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser_Unification/Updates|continues to be deployed to additional wikis]], making it easier to introduce new reading and editing features. It was enabled on French Wikipedia, bringing total progress to covering 78.9% of Wikipedia page views. Rollout to English Wikipedia desktop will progress through this week.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.10|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The Wikimedia Hackathon 2026 [[diffblog:2026/06/29/wikimedia-hackathon-2026-building-collaborating-and-shaping-the-future-together/|recap blog post]] is now live. It highlights the projects, sessions, and social activities from this year’s event, and shares initial plans for the 2027 Wikimedia Hackathon.

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W28&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 15:57, 6 lug 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30773578 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-29&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W29&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone|Revise Tone]] helps newcomers identify passages in Wikipedia articles that may contain non-encyclopedic language and encourages them to consider revising the tone. The feature was [[w:en:A/B_testing|A/B tested]] on the Arabic, English, French, and Portuguese Wikipedias, where newcomer task completion rates [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone#Experiment_Results|increased by 38.7%]] compared to the default Copyedit task, with no decrease in edit quality. The test ended on July 9, and the feature is now available for everyone on these wikis, configurable via Community Configuration. [[phab:T426364|The plan]] is to release Revise Tone to more wikis.
* The community configuration that allows [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|automatic removal of inactive mentors]] based on configurable criteria will be enabled on Thursday 16, [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Deployment|on some wikis]] to keep mentor lists up to date. Mentors are experienced contributors who opt in to help new users on-wiki through the [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|Growth Features]]. Administrators can now prepare the settings via [[w:Special:CommunityConfiguration/Mentorship|Special:CommunityConfiguration/Mentorship]]; they will take effect starting Thursday.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:38}} community-submitted {{PLURAL:38|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where some users of the Wikipedia Android app were logged out immediately after signing in, preventing them from staying logged in and editing pages, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T316916]

'''Updates for technical contributors'''
* Editing a page via user scripts or gadgets was causing watchlist labels that the user had assigned to that page to reset. This has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T423778]
* To work around a Safari bug (see [[phab:T425211]]), on Parsoid-enabled wikis, wikilink hrefs now use absolute urls instead of protocol-relative urls. REST API output remains unchanged and continue to use protocol-relative urls. Gadgets, user scripts, bots, and CSS might need to be adapted if they relied on the presence of protocol-relative urls in wikilink hrefs. [https://phabricator.wikimedia.org/T431358]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.11|MediaWiki]]

'''In depth'''
* The Wikimedia Foundation’s Experiment Platform Team has published a blog post reflecting on its first year of structured experimentation. It highlights successful experiments such as Paste Check, Reference Check, and Tone Check, which improved editing outcomes and have been rolled out to more users, as well as experiments that did not lead to product changes. [[diffblog:2026/07/07/moving-the-needle-how-we-test-new-ideas-across-wikimedia-projects|Read more]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W29&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 18:11, 13 lug 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30804401 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-30&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W30&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Reader/Reader Experience|Reader Experience team]] has incorporated community feedback around the placement of watchstar and watchlist buttons for the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|Reading Lists beta feature]], which would allow for saving articles for later reading – a [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W102|wishlist item]] to bring the functionality to web. Editors are invited to enable the beta feature to test it out and [[phab:T426453|share their thoughts]].
* [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] offers edit suggestions within the VisualEditor for improving Wikipedia articles. [[Special:EditChecks|All suggestions]] are [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators – local customization|community-configurable]]. The [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/TextMatch|TextMatch]] feature is a way for volunteers to create custom local suggestions. The feature searches in articles for strings of text, and now includes support for regular expressions. This gives volunteers greater precision and flexibility over the kinds of local suggestions they can create. Note: Suggestions [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Configuration#:~:text=maximumEditcount|can be targeted]] based on the edit count of the person editing as well as other aspects of the page. You can [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#Create custom local types of Suggestions|find examples from other communities]] for inspiration, including TextMatches that detect: typos, grammar-errors, potential advertisements, clichés, incorrect dash or hyphen usage, non-specific time keywords, outdated names, and more. Any [[mw:Special:MyLanguage/Talk:VisualEditor/Suggestion Mode|feedback]] is appreciated.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the SVG Translate tool could use an outdated version of a file, causing existing translations to be overwritten when new ones were uploaded, has now [[phab:T430577|been fixed]]. Overall, in the last quarter from April – June 2026 about 337 community tasks were resolved by the Wikimedia Foundation.

'''Updates for technical contributors'''
* On Parsoid-enabled wikis, Parsoid now renders a maximum of 1,250 images per page. A new tracking category, &quot;media-limit-reached&quot;, will be soon made available to identify pages where this limit is reached, making it easier to find content whose media output may have been restricted during rendering. See [[phab:T430854]] for more information and to provide feedback.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.12|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W30&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 07:46, 21 lug 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30836091 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-31&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W31&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/31|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] [[mw:Special:MyLanguage/ContentTranslation|Content Translation]] now supports dark mode, fulfilling a [[m:Community Wishlist/W544|Community Wishlist request]]. This brings the tool in line with the accessibility features available in the Vector 2022 and Minerva skins, helping reduce visual fatigue for users translating content. [https://phabricator.wikimedia.org/T367077]
* DiscussionTools' source mode and the 2017 wikitext editor will now offer autocomplete for links (&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;), templates (&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;), HTML and parser tags (&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;), and magic words (&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;), making it quicker and easier to insert links, templates, and other wiki markup while editing. [https://phabricator.wikimedia.org/T432400]
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews|Readers Growth team]] has concluded its experiment with mobile page previews and will not roll out the feature. Page Previews are a pop-up bottom sheet that appears when readers tap a blue link, showing a thumbnail, lead paragraph, and an option to open the article. The experiment showed flat retention and negative indicator metrics, suggesting that mobile web readers preferred navigating directly to linked articles rather than using page previews.
* The Reader Experience team has seen encouraging early results from the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists feature]], with 93% of participating users reporting that it was useful. Reading Lists help active readers save articles for future reading and support their learning goals on Wikimedia projects. The team plans further improvements before expanding the feature to more users.
* The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh|Explore Feed Refresh]] initiative was tested with new and casual Wikipedia app readers. The refreshed feed helps readers discover new and relevant content. After a 10.5% increase in engagement with the feed, Wikimedia Apps team has decided to scale the Home Feed redesign to iOS with the learnings from the Android release applied.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where subject names in the Article Guidance feature were displayed with incorrect capitalization on French Wikipedia, has now been fixed. Subject names will now follow the correct capitalization rules for the language. [https://phabricator.wikimedia.org/T427201]

'''Updates for technical contributors'''
* After running several [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|Account Creation Experiments]] to improve registration completion rates, a new version of the username field on [[Special:CreateAccount|Create Account]] has been rolled out. It includes [[:c:File:Create account - July 2026 updates.png|a popover summarizing the username policy]] to provide clearer guidance during account creation. As part of this change, the messages &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;createacct-helpusername&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;createacct-username-help&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; that several communities have configured will no longer be used. If communities want to customize the guidance shown in the new popover, they can instead edit the following messages: &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;createacct-username-policy-popover-bullet1&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;createacct-username-policy-popover-bullet2&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;createacct-username-policy-popover-bullet3&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T430604]
* Later this week, the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror syntax highlighter]] will offer [[w:en:Theme (computing)|themes]]. The themes can be picked from a dropdown menu in the full [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#CodeMirror preferences|CodeMirror preferences]] dialog. For wikitext, available themes are default, colorblind-friendly (previously the colorblind preference option on [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing]]) and no-highlighting. For code languages (i.e., CSS/JavaScript/JSON/Vue/Lua), there are several themes available. These same themes will eventually be available for wikitext, too. [https://phabricator.wikimedia.org/T163533]
* From now on, wikis can restrict editing in the &quot;User&quot; namespace to only the page owner and certain user groups. [[mw:Special:MyLanguage/Manual:$wgRestrictUserPageEditing|Read the configuration documentation]] to learn more.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.14|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/31|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W31&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 20:49, 27 lug 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30856308 --&gt;

== This Month in Education: July 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 7 • July 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;&quot;&gt;
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia|Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival|Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor|Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026|PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Google25 Expands Tamil Wikipedia Community|Google25 Expands Tamil Wikipedia Community]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge|Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere|Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Continuing Wiki education partnerships in Brazil|Continuing Wiki education partnerships in Brazil]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects|Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026|1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026]]
* [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM|We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM]]

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&lt;div style=&quot;margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 21:48, 30 lug 2026 (CEST)&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&amp;oldid=30838310 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-32&lt;/span&gt; ==

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Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] has developed a [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&amp;uselang=de patch demo] that wraps the page toolbar onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, which can occur on some language Wikipedias at certain screen widths. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518]
* The Reader Experience team is planning to launch [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists]], a [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|Community Wishlist item]], which is currently available to try in beta, as a full feature in September. Before then, volunteer translator help is needed for [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-readinglists&amp;filter=&amp;action=translate string translations] into a number of languages. The feature supports reading and learning goals on Wikipedia.
* Next week, the table of contents on Wikimedia Commons file pages will be improved by consolidating the file page table of contents with the page table of contents. This will make it easier to understand a file page’s structure, navigate to specific sections, and share links to individual sections. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:24}} community-submitted {{PLURAL:24|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where some [[w:TIFF|TIFF]] images failed to load after clicking their thumbnail, causing a broken image to be displayed instead of the full-size image, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326]

'''Updates for technical contributors'''
* The variable and function selector in AbuseFilter has been updated to support search and autocomplete. It will allow filter maintainers to find the desired variable or function more quickly. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698]
* The MJPEG and VP8 formats are removed from the video player. The MP4 format (MPEG-4 Part 2) is added instead, which provides higher quality videos to older iPhone devices. It may take a few weeks to retroactively update all existing videos. The default format for modern devices stays the same (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
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&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 21:46, 3 ago 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30872536 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-33&lt;/span&gt; ==

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Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] A new ChartWizard is [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|now available on Wikimedia Commons]] for users interested in creating charts from their own data. The wizard makes the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|Chart extension]] more beginner-friendly by allowing editors to create charts, such as bar and pie charts, without needing to use JSON. Users can still switch to the JSON editor if they prefer. Feedback on the new tool is welcome on the [[m:Talk:Community Wishlist/W414|wish talk page]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:19}} community-submitted {{PLURAL:19|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the Wikipedia iOS app’s Picture of the Day widget displayed the same image every day instead of updating daily, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692]

'''Updates for technical contributors'''
* [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|Math formula]] SVG images will soon be generated in the browser instead of on the server. MathML continues to be generated on the server and renders in the browser without JavaScript. Wikibooks will see this change on 12 August, Wikisource on 19 August and Wikipedia from 20-27 August. You can try this by selecting &quot;{{int:Mw-math-mathjax}}&quot; in your preferences. This change is part of [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|deprecating RESTBase]] and [[phab:T431372|deprecating Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001]
* Category pages will soon support sorting entries by the time they are added to a category. This will make it easier to find recently or long-standing categorized pages. It will also improve workflows for maintenance categories such as deletion backlogs and other time-based review tasks. You can use &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;cldsort=timestamp&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; URL argument in category view to sort the entries. [https://phabricator.wikimedia.org/T433768]
* [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|Gadgets]] and user scripts on Wikimedia wikis may now use [[phab:T395347|ES2018 features]] and [[phab:T419142|ES2019 features]] in JavaScript code. Previously, the platform only allowed up to ES2017. MediaWiki validates the source code to protect functionality from syntax errors and to ensure scripts are valid in all [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|supported browsers]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:45, 10 ago 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30901051 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-34&lt;/span&gt; ==

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&lt;section begin=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC.

'''Updates for editors'''
* [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__EXPECTSHORTPAGE__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203]
* One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;w:bol:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921]
* Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640]

'''Updates for technical contributors'''
* Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23:03, 17 ago 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30922806 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-35&lt;/span&gt; ==

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&lt;section begin=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Translations]] are available.

'''Updates for editors'''
* The [[Special:CreateAccount|Special:CreateAccount]] page has been simplified as part of ongoing work to modernize the account creation experience. The panel showing project statistics no longer appears next to the form on desktop and mobile web. Multiple account creation experiments show that a simpler form helps newcomers complete registration. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783]
* In order to improve page performance, images now load when they are viewed. This means images lower down an article will not load if a reader never scrolls to that part of the page, which may affect some image-related metrics. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:42}} community-submitted {{PLURAL:42|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where image thumbnails in Abstract Wikipedia could fail to display after the corresponding file was moved on Wikimedia Commons, has now been fixed. Thumbnails will now update correctly when files are moved. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448]

'''Updates for technical contributors'''
* User Info card is a feature that helps patrollers see information about user accounts. So far, it has been available only in places such as page history, logs and recent changes. Now, it's possible to [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|place it in the page content]] as well, using the &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#uic:}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; parser function. It can be particularly useful in templates like [[:en:Template:Userlinks|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Userlinks}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]] (or their specialized variants), as it will make it easier to see the context about a user on various noticeboard pages. The card will be displayed only to users who have it enabled in their [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|preferences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466]
* Due to user security and privacy risks, we have disabled access to &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; URLs when specifically using &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. If you are impacted by this, consider whether you can use an alternative approach. &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; URLs can still be accessed and used without &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Specified user page URLs (e.g. &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;User:Myusername&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;) can still be used with &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386]
* Due to an update, the thumbnailing software has been improved. This includes upgrading &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;librsvg&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; to 2.60 and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;ImageMagick&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; to 7, as well as resolving a number of long-standing thumbnailing bugs like rendering errors. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:45, 24 ago 2026 (CEST)
&lt;!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30961208 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-36&lt;/span&gt; ==

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&lt;section begin=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* A new format for the Community Wishlist is open for feedback. You can [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|read the proposed ideas on Meta]]. This new process plans to improve how wishes are triaged, voted on, and prioritized in a way that is transparent and balanced across project families and language editions. This consultation is open for two weeks.

'''Updates for editors'''
* The latest release of the Wikipedia Android app includes updates to the Saved feature, bringing the app’s saving experience closer to iOS and Web. The update redesigns the Saved tab with an “All articles” view, removes the default “Saved” reading list, renames reading lists to “Collections,” and modernizes the article-saving experience. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788]
* The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists]] feature was enabled for all logged-in users on Bengali, Chinese, Czech and Vietnamese Wikipedias on August 25, after several months as a beta feature. Reading Lists will be available to all logged-in users on Arabic, French and Indonesian Wikipedias on September 1, followed by English Wikipedia on September 14, and all other Wikipedia wikis on September 28.
* At the end of the month, some logged-out readers on Bengali, Czech, Persian, English, and Polish Wikipedias using the Minerva skin on mobile will see an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|updated navigation bar]] in an [[w:A/B test|A/B test]]. The test will compare the current navigation bar with a new version designed to make it easier to find information more quickly. The goal is to determine whether these changes encourage readers to return more often. This experiment will not change the experience for logged-in readers and/or editors.
* Editors who maintain redirects, templates, and categories used on redirect pages now have improved ways for finding and curating redirects. Previously, redirects pages could not be searched. Two new search keywords, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;onlyredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;withredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, now allow redirects to be searched directly and can be combined with existing keywords such as &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;incategory:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;intitle:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, and &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;insource:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089]
* The ISBN lookup tools for generating citations were recently not working because of external service problems. Developers are working on solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where searching for pages by category using &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;deepcat&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; could return no results or unrelated results has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859]

'''Updates for technical contributors'''
* The domain of URLs for thumbnails is changing from upload.wikimedia.org to thumb.wikimedia.org. The old URLs will continue to work for the foreseeable future but MediaWiki will advertise the new domain instead. URLs to other types of media such as original files, videos and transcodes will still be served from upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465]
* The Wikimedia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&amp;title=Special%3ARestSandbox Math API] is now deprecated. These endpoints will be fully sunset by the end of September 2026. Developers who call these endpoints should transition to alternative math rendering solutions, such as the native [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] or [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Third-party MediaWiki installations that utilize the Math extension for formula rendering are required to upgrade to v1.43+ to avoid disruption of service.

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]]

'''In depth'''
* Read more about [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] in a Diff post titled, [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Custom edit suggestions for every wiki: How communities are shaping Suggestion Mode with TextMatch]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 22:53, 31 ago 2026 (CEST)
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== This Month in Education: August 2026 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks&quot; lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English. Please help to translate in your language.
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt;This Month in Education&lt;/span&gt;

&lt;span style=&quot;font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;&quot;&gt; Volume 15 • Issue 8 • August 2026&lt;/span&gt;

&lt;div style=&quot;border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;&quot;&gt;In This Issue&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
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    </revision>
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    <title>Discussioni in tedesco</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-09-02T08:58:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Marco Ciaramella</username>
        <id>14088</id>
      </contributor>
      <comment>/* Risposte tipiche a frasi o domande */ +&quot;Arrangiati&quot;</comment>
      <origin>287099</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1629" sha1="ttomdptvxme7jdw10jg12fi0u6oqbld" xml:space="preserve">{{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}}

== Esprimere pensieri/opinioni ==
Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'':
* Ich finde/denke, dass ...
* Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach....
* In Bezug auf würde ich sagen, dass ...
* Ich bin der festen Überzeugung, dass ...
* Ich vertrete folgenden Standpunkt.
* Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ...

== Essere d'accordo ==
* Du hast Recht = Hai ragione.
* Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione.
* Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo.
** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente)
* Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo.
* Das sehe ich genauso. Außerdem... = Sono d'accordo. Inoltre,...
* Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto!
* Genau! (idem) = Esattamente, giusto!

== Essere in disaccordo ==
* Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te.
* Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che...

== Risposte tipiche a frasi o domande ==
=== Assenso con motivazione ===
* Ich bin deiner Meinung, weil ... = Sono (anch'io) della tua opinione, perché...

=== Assenso condizionato ===
* Ja, aber... = Sì, tuttavia...

=== Luogo ===
* Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là.
* Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui.

== &quot;Arrangiati&quot; ==
* komm allein klar! (colloquiale)
* Kümmere dich selbst darum (espressione forte)
* Hilf dir selbst! (frase idiomatica)

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    <title>Utente:Funzioni di correlazione/SandboxAnalisi</title>
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      <parentid>287043</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T06:24:29Z</timestamp>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      </contributor>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="75334" sha1="7u7okrfdviw1pf1rpmxze5u8s86j2o2" xml:space="preserve">Ecco il percorso completo in formato grezzo, pronto da copiare e incollare in Wikipedia. Ho interpretato il membro destro come &lt;math&gt;\sqrt{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;.

Scrittura

Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cot x &lt; \sqrt{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita per

&lt;math&gt;\sin x \ne 0&lt;/math&gt;

possiamo scrivere

&lt;math&gt;\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e quindi la disequazione diventa

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;\sqrt{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;a=\sqrt{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;a&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo individuare l'angolo associato attraverso la funzione arccotangente:

&lt;math&gt;x_0=\operatorname{arccot}\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)&lt;/math&gt;

Equivalentemente, usando la relazione

&lt;math&gt;\cot x=\frac{1}{\tan x}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\tan x_0=\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}&lt;/math&gt;

e dunque

&lt;math&gt;x_0=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\right)&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore si ottiene

&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x_0=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\right)&lt;/math&gt;

Numericamente,

&lt;math&gt;\sqrt{5+2\sqrt{5}}\approx3{,}078&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x_0\approx\arctan(0{,}325)\approx18^\circ&lt;/math&gt;

La funzione cotangente è strettamente decrescente in ogni intervallo

&lt;math&gt;(k\pi,(k+1)\pi)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

In ogni intervallo considerato, la condizione

&lt;math&gt;\cot x&lt;\sqrt{5+2\sqrt{5}}&lt;/math&gt;

è verificata per gli angoli successivi a &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; e precedenti all'estremo &lt;math&gt;(k+1)\pi&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_0+k\pi&lt;x&lt;(k+1)\pi&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt;, otteniamo

&lt;math&gt;\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\right)+k\pi&lt;x&lt;(k+1)\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La soluzione può quindi essere scritta nella forma

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\right)+k\pi,(k+1)\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure, usando la funzione arccotangente,

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(\operatorname{arccot}\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)+k\pi,(k+1)\pi\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{arccot}\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)\approx18^\circ&lt;/math&gt;

la soluzione può essere espressa anche in gradi come

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(18^\circ+180^\circ k,180^\circ+180^\circ k\right)&lt;/math&gt;

dove il valore &lt;math&gt;18^\circ&lt;/math&gt; è un'approssimazione.

Se invece nel testo originale il radicale aveva parentesi diverse, ad esempio &lt;math&gt;\sqrt{(5+2\sqrt{5})}&lt;/math&gt; o &lt;math&gt;\sqrt{5}+2\sqrt{5}&lt;/math&gt;, mandami l'espressione esatta e adatto tutto il documento.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\sen 9x\cos 7x&lt;/math&gt;

Applichiamo a entrambi i membri la formula di prostaferesi

&lt;math&gt;\sen A\cos B=\frac{1}{2}\left[\sen(A+B)+\sen(A-B)\right]&lt;/math&gt;

Al primo membro otteniamo

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\frac{1}{2}\left[\sen(5x+3x)+\sen(5x-3x)\right]&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\frac{1}{2}\left(\sen 8x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

Analogamente, per il secondo membro,

&lt;math&gt;\sen 9x\cos 7x=\frac{1}{2}\left[\sen(9x+7x)+\sen(9x-7x)\right]&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\sen 9x\cos 7x=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa pertanto

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\left(\sen 8x+\sen 2x\right)=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;\sen 8x+\sen 2x=\sen 16x+\sen 2x&lt;/math&gt;

Sottraendo &lt;math&gt;\sen 2x&lt;/math&gt; da entrambi i membri:

&lt;math&gt;\sen 8x=\sen 16x&lt;/math&gt;

Ora utilizziamo la formula generale per l'equazione

&lt;math&gt;\sen\alpha=\sen\beta&lt;/math&gt;

che ammette le due famiglie di soluzioni

&lt;math&gt;\alpha=\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>7u7okrfdviw1pf1rpmxze5u8s86j2o2</sha1>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <text bytes="73943" sha1="ftgijkovykbqwhqzntmo0l1csb31yrt" xml:space="preserve">
Scrittura

Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos 2x-2\cos x+1&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di duplicazione del coseno:

&lt;math&gt;\cos 2x=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1-2\cos x+1&lt;0&lt;/math&gt;

Semplifichiamo:

&lt;math&gt;2\cos^2x-2\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x(\cos x-1)&lt;0&lt;/math&gt;

Dividiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&gt;0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x(\cos x-1)&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

Otteniamo:

&lt;math&gt;t(t-1)&lt;0&lt;/math&gt;

Studiamo il prodotto. Gli zeri sono:

&lt;math&gt;t=0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t=1&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando:

&lt;math&gt;0&lt;t&lt;1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;0&lt;\cos x&lt;1&lt;/math&gt;

Ora cerchiamo gli intervalli di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; in cui il coseno è strettamente compreso tra &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;.

Nel primo giro completo, cioè per

&lt;math&gt;0\leq x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;0&lt;\cos x&lt;1&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{3\pi}{2}&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

Gli estremi non sono inclusi perché la disequazione è stretta e infatti:

&lt;math&gt;\cos 0=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos\frac{\pi}{2}=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos\frac{3\pi}{2}=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos 2\pi=1&lt;/math&gt;

Essendo il coseno periodico di periodo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, aggiungiamo &lt;math&gt;2k\pi&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;x\in\left(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2},2k\pi+2\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione in forma compatta come:

&lt;math&gt;x\in\left(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\setminus{2k\pi},\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

La soluzione finale è quindi:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\left(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2},2k\pi+2\pi\right)\right]&lt;/math&gt;


da cui

&lt;math&gt;\sen 9x\cos 7x=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa pertanto

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\left(\sen 8x+\sen 2x\right)=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;\sen 8x+\sen 2x=\sen 16x+\sen 2x&lt;/math&gt;

Sottraendo &lt;math&gt;\sen 2x&lt;/math&gt; da entrambi i membri:

&lt;math&gt;\sen 8x=\sen 16x&lt;/math&gt;

Ora utilizziamo la formula generale per l'equazione

&lt;math&gt;\sen\alpha=\sen\beta&lt;/math&gt;

che ammette le due famiglie di soluzioni

&lt;math&gt;\alpha=\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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Scrittura

Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''

Scrittura

Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

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L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
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'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
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'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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      <parentid>287092</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T06:48:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* 3°esercizio */</comment>
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== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  == 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo:

'''Sen x + (sqr 2 -1) cos x &gt;sqr2 - 1 '''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' soluzione di:'''

'''Sen x + (sqr 2 -1) cos x &gt;sqr2 - 1 '''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>fhrcjjreo9jkc0jom8mxxmt5b6tnz23</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>287096</id>
      <parentid>287094</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T08:38:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287096</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="74557" sha1="kydxcdqohkfsw1pjndi9l3odrwb7o3h" xml:space="preserve">Certo. Interpreto tng x come &lt;math&gt;\tan x&lt;/math&gt; e sen x come &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;. Ecco il procedimento completo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

Consideriamo il sistema

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\tan x &gt; \sqrt{3}\\
\sin x &gt; \frac{1}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Risolviamo separatamente le due disequazioni.

1. Risoluzione della prima disequazione

Consideriamo

&lt;math&gt;\tan x &gt; \sqrt{3}&lt;/math&gt;

La tangente è positiva nel I e nel III quadrante.

Poiché

&lt;math&gt;\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e la funzione tangente è crescente in ciascun intervallo del suo dominio, otteniamo

&lt;math&gt;
x\in\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione della prima disequazione è

&lt;math&gt;
S_1=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)
&lt;/math&gt;

2. Risoluzione della seconda disequazione

Consideriamo

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;
\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;
\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}
&lt;/math&gt;

Il seno è maggiore di &lt;math&gt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt; nel primo e nel secondo quadrante, quindi

&lt;math&gt;
x\in\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
S_2=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right)
&lt;/math&gt;

3. Intersezione delle soluzioni

Dobbiamo ora trovare

&lt;math&gt;S=S_1\cap S_2&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo fondamentale &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt;.

Per la prima disequazione abbiamo

&lt;math&gt;
\tan x&gt;\sqrt{3}
&lt;/math&gt;

che dà

&lt;math&gt;
x\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)
\cup
\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)
&lt;/math&gt;

Per la seconda disequazione abbiamo

&lt;math&gt;
\sin x&gt;\frac{1}{2}
&lt;/math&gt;

che dà

&lt;math&gt;
x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)
\&lt;/math&gt;

nell'intervallo &lt;math&gt;[0,2\pi)&lt;/math&gt;.

Intersecando i due insiemi otteniamo

&lt;math&gt;
\left[
\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)
\cup
\left(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right)
\right]
\cap
\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)
&lt;/math&gt;

Il secondo intervallo della prima soluzione non ha punti in comune con la soluzione della seconda disequazione.

Pertanto

&lt;math&gt;
S=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)
&lt;/math&gt;

Poiché il sistema è periodico di periodo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è

&lt;math&gt;
x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Quindi l'insieme soluzione è

&lt;math&gt;
S=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
uindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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      <text bytes="74276" sha1="hv0wtiebboy80fppbg3g8my8coxv363" xml:space="preserve">&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
uindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <comment>/* 1° 1 esercizio */</comment>
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      <text bytes="74271" sha1="52ztcovvazj9auoi3s0nglgtf22kb4g" xml:space="preserve">&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
uindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

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== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
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Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

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Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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== 4° esercizio  ==

Soluzione di un sistena di disequazioni:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di:'''

'''cotg x &lt;  - sqr 3 '''

'''sen x  &gt; 0 '''


&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
uindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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      <timestamp>2026-09-02T09:01:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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== 4° esercizio  ==

Soluzione di un sistena di disequazioni:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di:'''

'''cotg x &lt;  - sqr 3 '''

'''sen x  &gt; 0 '''


&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
uindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, l'insieme delle soluzioni è

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.


== 5° esercizio  ==

Soluzione di un sistena di disequazioni:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di:'''


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

'''10 esercizi sulle equazioni e i sistemi di trigonometrici'''

== 1° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

== 2° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° 1 esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7° 1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8°  1 esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° 1 esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

=Sezione 2 di 5= 


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Mostra tutti i passaggi  
''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione
scrivi in grezzo per wikipedia 1mettendo i tag &lt;math &lt;/math&gt; ad ogni espressione. Stampa per copia incolla tutto  percorso di calcolo in un solo documento, non mettere boxed


Ecco la soluzione completa, in formato grezzo compatibile con Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa tra &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; e senza \boxed{}.

== Soluzione ==

Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


Certo. Risolviamo il sistema mostrando tutti i passaggi, in formato grezzo compatibile con Wikipedia e mettendo &lt;math&gt;...&lt;/math&gt; attorno a ogni espressione.

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x+\sen^2 y=\frac34\\
\sen^2 x-\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{sommiamo membro a membro le due equazioni:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)+(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34+\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 x=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(\sen^2 x+\sen^2 y)-(\sen^2 x-\sen^2 y)
=\frac34-\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
2\sen^2 y=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Quindi il sistema diventa:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sen^2 x=\frac12\\
\sen^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la prima equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\sqrt{\frac12}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen x=\pm\frac{\sqrt2}{2}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Pertanto:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Per la seconda equazione:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen y=\pm\frac12
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{I valori corrispondenti sono:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{oppure, considerando anche i valori con seno negativo:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\quad\text{oppure}\quad
y=\frac{11\pi}{6}+2k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},
\qquad k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{La soluzione generale del sistema è quindi:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\qquad
k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Verifica:}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x=\frac12
\qquad\text{e}\qquad
\sen^2 y=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x+\sen^2 y
=\frac12+\frac14
=\frac34
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\sen^2 x-\sen^2 y
=\frac12-\frac14
=\frac14
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.}
&lt;/math&gt;


Soluzione generale: &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+h\frac{\pi}{2},\quad k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Certo. Interpreto 3.14/2 come &lt;math&gt;\frac{3.14}{2}=1.57&lt;/math&gt;. Ecco tutto in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag &lt;math&gt;...&lt;/math&gt;.

== Risoluzione del sistema ==

Consideriamo il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\,\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{3.14}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dalla seconda equazione otteniamo:

&lt;math&gt;
x+y=\frac{3.14}{2}=1.57
&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac12
&lt;/math&gt;

segue che:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\frac12
&lt;/math&gt;

Ma:

&lt;math&gt;
x+y=1.57
&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x+y)=\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

e pertanto:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y=\cos(1.57)+\frac12
&lt;/math&gt;

Ora osserviamo che:

&lt;math&gt;
1.57\approx\frac{\pi}{2}
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
\cos(1.57)\approx0
&lt;/math&gt;

Perciò:

&lt;math&gt;
\cos x\cos y\approx\frac12
&lt;/math&gt;

Per trovare &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, usiamo la formula:

&lt;math&gt;
\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\sin x\sin y=\frac12&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x+y=1.57&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
\frac12=\frac{\cos(x-y)-\cos(1.57)}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1=\cos(x-y)-\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)=1+\cos(1.57)
&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos(1.57)\approx0&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;
\cos(x-y)\approx1
&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;
x-y\approx2k\pi
&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x+y=1.57\\
x-y=2k\pi
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;
2x=1.57+2k\pi
&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;
x=\frac{1.57}{2}+k\pi
&lt;/math&gt;

Analogamente, sottraendo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;
2y=1.57-2k\pi
&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;
y=\frac{1.57}{2}-k\pi
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando &lt;math&gt;3.14/2&lt;/math&gt; come valore fornito dal testo, le soluzioni approssimate sono:

&lt;math&gt;
x=0.785+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=0.785-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Se invece si intende esattamente &lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt;, il sistema diventa:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x\sin y=\frac12\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;

e le soluzioni sono:

&lt;math&gt;
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y=\frac{\pi}{4}-k\pi
&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;
k\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;Nei due punti critici la funzione rimane positiva, mentre:

&lt;math&gt;f(-1)=-8+4+3=-1&lt;0&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;f(1)=8-4+3=7&gt;0&lt;/math&gt;

Pertanto esiste una sola radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt;.

Indichiamo tale radice con &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt;. Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt;

ovvero:

&lt;math&gt;\sin t\approx-0.94717&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]&lt;/math&gt;.

Numericamente:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

Le soluzioni generali dell'equazione &lt;math&gt;\sin t=u_0&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;t=\pi-\alpha+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=3t&lt;/math&gt;, otteniamo la prima famiglia:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

e la seconda:

&lt;math&gt;x=3(\pi-\alpha)+6k\pi&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x=3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x=3\pi-3\alpha+6k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Dato che:

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

le due famiglie diventano numericamente:

&lt;math&gt;x\approx-3.7335+6k\pi&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;x\approx13.1583+6k\pi&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla relazione:

&lt;math&gt;y=-\frac{x}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia:

&lt;math&gt;y=-\frac{1}{3}(3\pi-3\alpha+6k\pi)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\pi+\alpha-2k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale del sistema è:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\alpha+6k\pi,-\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(3\pi-3\alpha+6k\pi,-\pi+\alpha-2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con:

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\alpha=\arcsin(u_0)&lt;/math&gt;

dove &lt;math&gt;u_0&lt;/math&gt; è l'unica radice reale nell'intervallo &lt;math&gt;[-1,1]&lt;/math&gt; dell'equazione:

&lt;math&gt;8u^3-4u+3=0&lt;/math&gt;

Numericamente:

&lt;math&gt;u_0\approx-0.94717&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha\approx-1.2445&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(-3.7335+6k\pi,;1.2445-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\boxed{\left(x,y\right)\approx\left(13.1583+6k\pi,;-4.3861-2k\pi\right)}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Per esempio, scegliendo &lt;math&gt;k=0&lt;/math&gt;, otteniamo le due soluzioni rappresentative:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(-3.7335,;1.2445)&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;(x,y)\approx(13.1583,;-4.3861)&lt;/math&gt;

Verifica della seconda equazione per la prima soluzione:

&lt;math&gt;x+y\approx-3.7335+1.2445=-2.4890&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\frac{2}{3}x\approx\frac{2}{3}(-3.7335)=-2.4890&lt;/math&gt;

quindi la seconda equazione è soddisfatta.

In conclusione, il sistema ha infinite soluzioni reali, organizzate nelle due famiglie sopra indicate, con periodo complessivo &lt;math&gt;6\pi&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Nota: ho interpretato &lt;math&gt;x+y=2/3x&lt;/math&gt; come &lt;math&gt;x+y=\frac{2}{3}x&lt;/math&gt;. Inoltre ho lasciato fuori i tag &lt;math&gt;boxed&lt;/math&gt; nel senso richiesto: se vuoi proprio il testo Wikipedia senza alcun \boxed{...}, basta eliminare quelle due righe finali e usare le due famiglie già scritte sopra.


&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{7\pi}{6}+2h\pi&lt;/math&gt;

Sommiamo le due equazioni:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{6}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=\frac{5\pi}{3}+2(k+h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+(k+h)\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=-\frac{2\pi}{3}+2(k-h)\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+(k-h)\pi&lt;/math&gt;

Quindi possiamo scrivere:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6}+n\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac{\pi}{3}+n\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

== Verifica ==

Per la prima famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6},\qquad y=\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac34&lt;/math&gt;

Per la seconda famiglia, poniamo &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{6},\qquad y=-\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Allora:

&lt;math&gt;\sin x\cos y=\sin\frac{5\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos x\sin y=\cos\frac{5\pi}{6}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac34&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+n\pi,\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

oppure:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{5\pi}{6}+n\pi,-\frac{\pi}{3}+n\pi\right),\qquad n\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Considerando le soluzioni modulo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, si ottengono le quattro coppie:

&lt;math&gt;\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left(\frac{11\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;


https://drive.google.com/file/d/1pM-5V76XlfjQyMpZuqqbCMKmvfqvEqF_/view?usp=drive_link


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''
Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 20 materie, con più di 200 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica Introduzione]

=== Algebra e geometria ===

[https://it.wikiversity.org/wiki/Algebra_con_IA]]


[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Questa è la versione che pubblicherei al posto dell'attuale testo introduttivo, mantenendo il patrimonio esistente. La struttura attuale contiene già tutti i 20 argomenti e oltre 200 esercizi; il problema principale, secondo me, non è la quantità di materiale ma come viene presentato al nuovo visitatore. 
W
Wikiversità

Una cosa però farei prima di incollare definitivamente il codice: controllerei uno per uno i link interni, perché Wikiversità può avere nomi di sottopagina leggermente diversi da quelli che appaiono come titoli visualizzati.

E soprattutto, visto che mi hai detto che il corso ha raggiunto 10.500 visualizzazioni dal 1° luglio, io non farei una rivoluzione: questa pagina deve valorizzare ciò che già sta funzionando, non sostituirlo.

W
Fonti


==7° esercizio, valutazione pesi==


In una palestra vengono pesati 100 ragazzi. I loro pesi sono distribuiti nel seguente modo:

Peso	Numero di ragazzi
50–60 kg	20
60–70 kg	35
70–80 kg	30
80–90 kg	10
90–100 kg	5

Si sceglie un ragazzo a caso.

Qual è la probabilità che pesi almeno 70 kg?
Qual è la probabilità che pesi meno di 80 kg?
Qual è la probabilità che pesi tra 60 e 90 kg?


Se si scelgono due ragazzi, qual è la probabilità che entrambi pesino almeno 70 kg, supponendo di scegliere con reinserimento?

rassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Risolvere il problema:

'''In un'azienda vengono prodotti dei **componenti elettronici**. Il 4% dei componenti risulta difettoso.'''

'''Un controllo automatico individua un componente difettoso con probabilità del 95%, mentre segnala come difettoso un componente non difettoso con probabilità del 3%.'''

'''Qual è la probabilità che il componente venga segnalato come difettoso?'''


&lt;math&gt;P(D)=0{,}04&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}04=0{,}96&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid D)=0{,}95&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S\mid\overline{D})=0{,}03&lt;/math&gt;

Dove &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente è difettoso» e &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; indica l'evento «il componente viene segnalato come difettoso».

Vogliamo calcolare la probabilità totale che il componente venga segnalato come difettoso, &lt;math&gt;P(S)&lt;/math&gt;.

Per il teorema della probabilità totale:

&lt;math&gt;P(S)=P(S\mid D)P(D)+P(S\mid\overline{D})P(\overline{D})&lt;/math&gt;

Sostituiamo i valori del problema:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}95\cdot0{,}04+0{,}03\cdot0{,}96&lt;/math&gt;

Calcoliamo i due prodotti:

&lt;math&gt;0{,}95\cdot0{,}04=0{,}038&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;P(S)=0{,}038+0{,}0288&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;P(S)=0{,}0668&lt;/math&gt;

Convertiamo in percentuale:

&lt;math&gt;0{,}0668\cdot100=6{,}68%&lt;/math&gt;

Pertanto, la probabilità che un componente venga segnalato come difettoso è:

&lt;math&gt;P(S)=6{,}68%&lt;/math&gt;


Per esprimere il risultato in percentuale:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\times100\% = 0.0013499\times100\%
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.13499\%
&lt;/math&gt;

Arrotondando:

&lt;math&gt;
P(Z&gt;3)\approx0.135\%
&lt;/math&gt;

Quindi una tensione di rumore gaussiano con valore efficace di 1 V supera il livello di +3 V per circa:

&lt;math&gt;
{0.135\%}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Equivalentemente, la frazione di tempo è:

&lt;math&gt;
0.00135
&lt;/math&gt;

ovvero circa:

&lt;math&gt;
\frac{1}{741}
&lt;/math&gt;

del tempo.

Per esempio, su un intervallo di un'ora:

&lt;math&gt;
3600\ \mathrm{s}\times0.0013499\approx4.86\ \mathrm{s}
&lt;/math&gt;

quindi il rumore si troverebbe sopra +3 V per circa 4,86 secondi ogni ora.

Nota: questo risultato vale per il superamento del solo livello positivo &lt;math&gt;+3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;. Se si considerasse invece il superamento in valore assoluto, cioè &lt;math&gt;|V|&gt;3\ \mathrm{V}&lt;/math&gt;, bisognerebbe includere anche la coda negativa e il risultato sarebbe circa il doppio:

&lt;math&gt;
P(|Z|&gt;3)=2P(Z&gt;3)\approx0.270\%
&lt;/math&gt;


Vogliamo calcolare la probabilità che la somma dei tre dadi sia esattamente 13.

Indichiamo con &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt; i risultati dei tre dadi. Dobbiamo quindi trovare tutte le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;
x_1+x_2+x_3=13
&lt;/math&gt;

con il vincolo

&lt;math&gt;
1\leq x_1,x_2,x_3\leq6
&lt;/math&gt;

Elencando le terne ordinate che soddisfano queste condizioni otteniamo:

&lt;math&gt;
(1,6,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,5,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(2,6,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,4,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,5,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3,6,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,3,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,4,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,5,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(4,6,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,2,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,3,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,4,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,5,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(5,6,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,1,6)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,2,5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,3,4)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,4,3)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,5,2)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(6,6,1)
&lt;/math&gt;

Pertanto gli esiti favorevoli sono

&lt;math&gt;
21
&lt;/math&gt;

La probabilità cercata è quindi

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{21}{216}
&lt;/math&gt;

Semplificando la frazione per 3:

&lt;math&gt;
\frac{21}{216}=\frac{7}{72}
&lt;/math&gt;

Convertendo in percentuale:

&lt;math&gt;
\frac{7}{72}\cdot100\approx9{,}7222\%
&lt;/math&gt;

Quindi la probabilità di ottenere un totale di 13 lanciando tre dadi a sei facce una sola volta è

&lt;math&gt;
P(\text{somma}=13)=\frac{7}{72}\approx0{,}09722
&lt;/math&gt;

ossia circa

&lt;math&gt;
9{,}72\%
&lt;/math&gt;


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


[[#Nome del paragrafo|testo che vuoi cliccare]]

# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

Come insieme di addendi:

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=\frac{196112}{653?}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.


XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx


Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

== 7^  Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y)


Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;

== 6^   Problema  di geometria risolto da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo

&lt;math&gt; a x^2 + b \cdot m \cdot x +  c \cdot m  &lt;/math&gt;

dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

==1^ &lt;math&gt;\, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt; ==
&lt;math&gt;0&lt;m\le\frac18&lt;/math&gt;
risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.

==2^  &lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== &lt;math&gt;\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==                        


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.

==4^   &lt;math&gt;(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Geometria piana</title>
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      <timestamp>2026-09-02T05:39:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* Esercizi di calcolo su triangoli  e poligoni */</comment>
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| tipo = lezione
| materia1 = Geometria piana
| avanzamento = 100%
}}

==Esercizi di calcolo su triangoli  e poligoni==

'''(9 esercizi)'''

'''Gli esercizi sono svolti senza collegamenti ad IA tramite file eseguibili'''


[[Triangoli qualunque - soluzioni secondo il teorema dei seni:]]

[[Triangoli qualunque -soluzioni secondo il teorema di Nepero:]]

[[Triangoli qualunque -soluzioni secondo le formule di Briggs:]]

[[Triangoli qualunque -unica soluzione condizionata secondo il teorema dei seni:]]

[[Triangoli rettangoli e assimilabili - soluzioni secondo la trigonometria di base]]

[[Quadrilateri: soluzione noti tre lati e due angoli opposti]]

[[Quadrilateri: soluzioni noti quattro lati ed un angolo]]

[[Quadrilateri: soluzioni noti tre lati e due angoli compresi]]

[[Quadrilateri: soluzioni tre lati e due angoli adiacenti al lato incognito]]</text>
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    <title>Corso:Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale</title>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
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      <text bytes="5687" sha1="sy74usr67luwzw6i9icb4t4lgy4m9vd" xml:space="preserve">{{Corso|7|banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg
|dip=Scienze meccaniche e aerospaziali
&lt;!--Contenuto--&gt;
|presentazione=


&lt;div style=&quot;background:#f5f9fc; border:1px solid #a2c4dd; padding:20px; margin-bottom:20px;&quot;&gt;

'''Corso di matematica con il Personal Computer e l'Intelligenza Artificiale'''

'''''Matematica + PC + IA: un percorso pratico attraverso oltre 200 esercizi completamente sviluppati.'''''

Questo corso propone un percorso pratico per utilizzare il '''Personal Computer''' e l''''Intelligenza Artificiale''' nello studio, nella soluzione e nella verifica di problemi matematici.

Il corso è rivolto principalmente a studenti delle scuole superiori, studenti universitari, tecnici, ingegneri e appassionati di matematica interessati all'impiego degli strumenti informatici nel calcolo matematico.

'''Il corso comprende un'introduzione e 22 materie, con più di 250 esercizi completamente sviluppati.'''

&lt;/div&gt;

== Obiettivi del corso ==

Il corso si propone due obiettivi principali:

fornire una conoscenza di base delle tecniche di impiego dell''''Intelligenza Artificiale''' per l'apprendimento e lo studio della matematica;
mostrare applicazioni pratiche per eseguire, verificare e approfondire calcoli matematici mediante il '''Personal Computer''', l'IA e programmi informatici dedicati.

L'obiettivo non è sostituire la conoscenza matematica con l'Intelligenza Artificiale, ma mostrare come questi strumenti possano essere utilizzati come '''supporto allo studio e alla verifica'''.

== Come utilizzare il corso ==

Per ottenere il massimo dagli esercizi si consiglia di seguire questo procedimento:

'''Leggere e comprendere il problema.'''
'''Provare a risolverlo autonomamente''', prima di utilizzare l'IA.
'''Confrontare il proprio procedimento con quello proposto dall'Intelligenza Artificiale.'''
'''Utilizzare il Personal Computer''' per eseguire calcoli, produrre grafici o verificare i risultati.
'''Analizzare eventuali differenze o errori.'''
Cercare di comprendere il '''metodo matematico''' utilizzato, anziché limitarsi ad accettare il risultato finale.
&lt;div style=&quot;background:#fff8e1; border:1px solid #e0c36e; padding:15px; margin:15px 0;&quot;&gt;

'''Attenzione'''

L'Intelligenza Artificiale può produrre risultati errati o procedimenti non corretti.

Per questo motivo ogni risultato deve essere '''controllato e verificato matematicamente'''. L'IA deve essere considerata uno strumento di supporto e non un sostituto del ragionamento matematico.

&lt;/div&gt;

== Percorso del corso ==

Il corso può essere seguito progressivamente oppure utilizzato come raccolta di esercizi per approfondire un argomento specifico.

=== Introduzione ===

[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]]
 
=== Algebra e geometria ===

[[Algebra con IA]]

[[Disequazioni_con_IA]]

[[Trigonometria]]

[[Geometria piana]]

[[Applicazioni_di_geometria_analitica]]

=== Analisi matematica ===

[[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] 

[[Le derivate: elenchi e calcoli]]

[[Le derivate delle funzioni di funzioni]]

[[Studio di funzioni secondo IA]]

[[Discussione dei problemi di secondo grado]]

[[Integrali definiti]]

[[Integrali indefiniti]]

=== Argomenti avanzati ===

[[Teoria dei residui]]

[[Calcolo combinatorio]]

[[Le serie]]

[[Calcolo delle probabilità]]

[[Calcolatore della trasformata di Fourier]]

[[Calcolatore della serie di Fourier]]

[[Le funzioni di correlazione]]

[[Cenno sulle equazioni differenziali]]

[[Le funzioni di Bessel]]

[[Da curve  per punti a funzioni Gaussiane]]

== Un laboratorio di matematica ==

Il corso può essere considerato come un piccolo '''laboratorio di matematica assistita dal computer'''.

Gli esercizi non sono pensati soltanto per ottenere un risultato numerico, ma anche per mostrare come affrontare un problema attraverso più strumenti:

'''problema → ragionamento matematico → Intelligenza Artificiale → calcolo al PC → verifica → comprensione del risultato'''

Questo approccio permette di confrontare il procedimento matematico tradizionale con le possibilità offerte dagli strumenti informatici.

== Prerequisiti ==

Il corso non ha la pretesa di insegnare da zero tutta la matematica necessaria per affrontare gli argomenti trattati.

Per una migliore comprensione degli esercizi è quindi consigliabile possedere una preparazione di base in algebra, geometria, trigonometria e analisi matematica.

Per approfondimenti sono disponibili i testi indicati nella bibliografia del corso.

== Bibliografia e testi di approfondimento ==

G. Zwirner, ''Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica'', CEDAM, Padova.
T. Vardanega, ''Trigonometria piana'', Società Editrice Internazionale, Torino.
M. Abramowitz, I. A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover.
C. Del Turco, ''La correlazione''.
G. Moretti, ''Analisi matematica'', volumi 1, 2 e 3, Hoepli.
A. Papoulis, ''The Fourier Integral and its Applications'', McGraw-Hill, New York.
C. Del Turco, ''La matematica con il Personal Computer'', La Moderna, La Spezia.
R. Ferrauto, ''Lezioni di trigonometria piana'', S.E.D.A, Roma.

== Sviluppi futuri ==

Il corso può essere ampliato progressivamente attraverso:

nuovi esercizi;
applicazioni pratiche della matematica;
nuovi programmi per il calcolo al Personal Computer;
esempi di utilizzo dell'Intelligenza Artificiale;
confronti tra diversi metodi di soluzione;
esercizi di difficoltà crescente.

'''Il corso è quindi concepito come un progetto aperto e progressivamente aggiornabile.'''

[[Categoria:Sonar]]
[[Categoria:Corso di Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale]]


}}

Q


}}</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Calcolo dei limiti delle funzioni con IA</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37623</id>
    <revision>
      <id>287072</id>
      <parentid>286175</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T05:45:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287072</origin>
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      <text bytes="3786" sha1="mmqcofqavjcj7rtze7vq5wz96mt4j34" xml:space="preserve">
{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Calcolo limiti di funzioni
| avanzamento = 100%
}}


'''(9 esercizi)'''

==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic==
 
Calcola limite di y per x tendente a 5 di

&lt;math&gt;y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) &lt;/math&gt;
 
trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: 

'''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5'''

da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato:
       
[[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione 

==Calcolo del imite di una funzione razionale intera==


&lt;math&gt;\lim_{x \to 2} (3x+1)&lt;/math&gt;

inseriamo  la funzione direttamente su IA scrivendo: 

'''calcola limite per x tendente a 2 di y =  3 x + 1 '''

da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limiti di funzioni razionale fratte==

Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2.

&lt;math&gt;\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}&lt;/math&gt;

trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: 

'''calcola limite per x tendente a 2  di   y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )'''

da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limiti delle   funzioni  elementari==

Calcolare il limite di:

&lt;math&gt;\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)+x}{x}&lt;/math&gt;


trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: 

'''calcola limite per x tendente a 0 di y = (sin (x) + x ) / x '''

da inserire come testo su AI ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1L5iN5WKBwhT9c9JWRKcMQM8apc9PoAqF/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limite della funzione logaritmica==

Calcolo del limite di:

&lt;math&gt;\lim_{x\to\infty} x^{a}\ln(x)&lt;/math&gt;  

per a = costante
 
trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: 

'''calcola limite per x tendente ad infinito  di  y = x^a * ln (x)'''

da inserire come testo su AI ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1w6quZhXFFMAJTwVHaAhonoNa1QlhYdP-/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limite della funzione esponenziale==

Calcolo di:

&lt;math&gt;\lim_{z \to \infty} z^a e^{-z} = 0&lt;/math&gt;

trascriviamo la funzione in una stringa in Basic: 

'''calcola limite per z tendente ad infinito di  y = z^a * e^-z'''

da inserire come testo su AI ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1rZXbRfjqBIxASLr8FiS2joXod1zg_jx9/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limite per una delle funzioni  trigonometriche==

Calcola:

&lt;math&gt;\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}&lt;/math&gt;

trascriviamo la funzione  in Basic ottenendo: 

'''calcola il limite per x tendente a 0 di y = sin (x) / x'''

da inserire come testo su AI ottenendo il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/1vwQsCwXaHy8InHLWNRQN0osFXvovg53G/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Limite per una delle funzioni ciclometriche ==

Calcolare:

&lt;math&gt; \lim_{x \to -1} (\arccos(x) + 2^x)&lt;/math&gt;

trascriviamo la funzione in una stringa in Basic 

ottenendo: 

'''calcola limite per x tendente a -1 di y = ( arccos( x) + 2^x)'''

da inserire come testo su AI con il risultato:

[[https://drive.google.com/file/d/13DfWReLFjhR6W8k4_jwCyF231XKzaGAf/view?usp=drive_link]Soluzione]

==Un limite complicato==

Calcola:

&lt;math&gt; lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}&lt;/math&gt;

trascriviamo la funzione in una stringa in Basic

ottenendo:

'''calcola limite per x tendente a 0 di (e^x-1-x- x^2/2 )/x^3'''

La soluzione molto complessa è:

[[https://drive.google.com/file/d/1E7O4LcDZ5uSh6Qst1xE6JHuYS7QyWFfV/view?usp=drive_link]Soluzione]</text>
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    <title>Le derivate: elenchi e calcoli</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>287071</id>
      <parentid>286177</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T05:41:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard. */</comment>
      <origin>287071</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8282" sha1="n53uxu193udbpwsj7503glzsj7rdnqf" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Derivate
| avanzamento = 100%
}}

==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.==

'''(8 esercizi)  '''

==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti==

[[https://drive.google.com/file/d/1cSCiu82mF26ZRJYYiZ98snZt2fZafxrl/view?usp=drive_link]Elenco da IA]

==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate==

Come ausilio ai processi di calcolo  l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari:

[[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA]

==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale==

Calcolare
 
&lt;math&gt;{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}&lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale'''

(formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic)
 
2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA]
 
==Derivata di una funzione con le regole classiche==

Data

&lt;math&gt;f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)&lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro per il computo della derivata:

Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto:

'''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione'''

(formulazione discorsiva e basic)

La risposta di IA al link:

[[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta]


==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate==

Come ausilio ai processi di calcolo  l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari:

&lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

==Funzioni  ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale==

Calcolo derivata di

&lt;math&gt; y = \arcsin \ x &lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = arcsin  x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]]

==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate==

&lt;math&gt;\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x&lt;/math&gt;

==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale==
La funzione da integrare:

&lt;math&gt; y = arctanh(x) &lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = arctanh  (x)  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:]]

[[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta]

==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate==

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;

==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale==

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = artanh  x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta]

==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate==


* Logaritmo naturale:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo in base &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a&gt;0,\ a\neq1,\ x&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo in base &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a&gt;0,\ a\neq1,\ f(x)&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo del valore assoluto:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0&lt;/math&gt;

* Logaritmo del valore assoluto di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0&lt;/math&gt;

==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica==

sequenza di lavoro:

Data la funzione:  &lt;math&gt;  y = \ln  x   &lt;/math&gt;

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = ln (x)  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta]

==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate==
* &lt;math&gt;f(x)=e^x&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=e^x&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=e^{ax}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=ae^{ax}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=e^{g(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=g'(x)e^{g(x)}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=a^x,\quad a&gt;0,\ a\neq1&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=a^x\ln(a)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=a^{g(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=x^x,\quad x&gt;0&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=x^x(\ln x+1)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=x^a&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=ax^{a-1}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=g(x)^{h(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)&lt;/math&gt;

==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale==

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = e^x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta]

==Calcolo della derivta di una funzione  d'esempio con le regole standad ==
 
&lt;math&gt;
\text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7.
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right)
=
\frac{d}{dx}(x^3)
+
\frac{d}{dx}(2x^2)
-
\frac{d}{dx}(5x)
+
\frac{d}{dx}(7)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=
3x^2
+
2\cdot2x
-
5\cdot1
+
0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=
3x^2+4x-5.
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
{f'(x)=3x^2+4x-5}
&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>n53uxu193udbpwsj7503glzsj7rdnqf</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Integrali definiti</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37625</id>
    <revision>
      <id>287070</id>
      <parentid>286353</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T05:41:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287070</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4669" sha1="9j8yirliujgfhn5jg914vgxec9gmlui" xml:space="preserve">
{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Integrali definiti
| avanzamento = 100%
}}

'''(13 esercizi)  '''

==Semplice routine di calcolo degli integrali definiti.==

In questa sezione viene  illustrato un software, redatto in Basic,  per il calcolo dei valori sull'integrazione definita.

Gli algoritmi implementati sono elaborati da diverse routine in Basic che, se d'interesse,  il lettore potrà facilmente copiarle e sviluppare in Visual Basic.

[[https://drive.google.com/file/d/1zQQyEhEV_4Ek_8b0bsdWbt22pVSyEhwK/view?usp=drive_link] Spiegazioni e listato del programma]


==Procedimento di calcolo con IA degli integrali definiti==

Le modalità d'inserzione dei dati in IA sono discorsive secondo la stringa:

'''Calcolare l'integrale definito della funzione  y = Sin(x)  Cos (x)   nell'intervallo a = 0, b= 0.7 rad.'''

[[https://drive.google.com/file/d/1ORsi660f0pK0qeLOSXK4onAC1DVZYP1P/view?usp=drive_lin] La risposta di IA]

==Calcolo degli integrali definiti su curve note==

Per relazionarsi di più al significato d'integrale definito si propone un file.exe di calcolo, DEFINTEGRAL, con annessa spiegazione; con l'eseguibile si può interagire con le variabili in gioco per una migliore comprensione del loro peso nell'operazione d'integrazione.

[[https://docs.google.com/document/d/1IMYMTBkFeoF0VwS7jgYCwwEFijRqlV0xYbbGkpazd54/edit?usp=drive_link]Spiegazione]

[[https://drive.google.com/file/d/18GLz2dun4REOnQam1QOPgHVtr0Ek7XCN/view?usp=drive_link]File zip]

== Calcolo degli integrali definiti da tabelle di indefiniti==

Si propongono cinque  flile eseguibili, contenuti in cinque cartelle zip, di una serie nominata INTEGRAMATH che svolge le seguenti operazioni:

INTEGRAMATH(tr)    (integrazione indefinita di funzioni  trigonometriche)

INTEGRAMATH(cic)    (integrazione indefinita di funzioni ciclometriche)

INTEGRAMATH(ipb)     (integrazione indefinita di funzioni iperboliche)

INTEGRAMATH(ipb-inv)  (integrazione indefinita di funzioni iperboliche inverese)

INTEGRAMATH(fi)  (le funzioni integrali)


==Tabelle degli integrali indefiniti delle funzioni trigonometriche di INTEGRAMATH(tr) e computo degli integrali definiti selezionati==

La spiegazione per l'impiego del cacolatore e il file operativo nei due link seguenti:

[[https://drive.google.com/file/d/1podDEgERIDtpeP5zcEigLE9-nsqT1JzM/view?usp=drive_link] Spiegazione ]

[[https://drive.google.com/file/d/1uFiYhtJi_lNaDIrmHdovR-r7V632AUKa/view?usp=drive_link]INTEGRAMATH(tr)  zip]

Per tutti gli integrali delle  tabelle il procedimento di calcolo è analogo a quello ora mostrato nella spiegazione salvo INTEGRAMATH(fi) che si presenta con un pannello di comando con dei bottoni di selezione delle funzioni integrali da calcolare.

L'elenco dei file zip per le tabelle restanti è sotto riportato:

[[https://drive.google.com/file/d/1SAX6LrMjHSFnRMhWqQMgPu0S9c4BC1jH/viewusp=drive_link]INTEGRAMATH(cic)]

[[https://drive.google.com/file/d/1IqQCqYRaUvWGKpct_hdPRfAWKvxNm8-h/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb)]

[[https://drive.google.com/file/d/15b0k5PCyz9sQDD8U5O9hvkXW37ZBFMHU/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb-inv)]

[[https://drive.google.com/file/d/1KaQhK03TmxlRh4rlGQUUt44DbD9kP-2z/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH( fi )]


==Integrali definiti particolari==

Si tratta d'integrali studiati da noti matematici quali:

Clausen 

Debye

Sievert

Nell'ordine i link per l'impiego dei file exe di calcolo con i quali si opera facilmente inserendo gli estremi d'integrazione voluti.


[[https://drive.google.com/file/d/1Twy8vyTdG4TPSCoUW_Acj7nN7TO3oHOc/view?usp=drive_link] Discussione integrale di Clausen] 

[[https://drive.google.com/file/d/1FQN7_pMp_dLhfbC-CQnxRndbEueujaWY/view?usp=drive_link] Al file zip Clausen]


[[https://drive.google.com/file/d/1gNJlXn_j6wLxyB4ojtY-dzPEYri1pXU5/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Debye]

[[https://drive.google.com/file/d/1yRmicLuFBKDNSBXe3VviERqSO1Iz2-fC/view?usp=drive_link] Al file zip di Debye]


[[https://drive.google.com/file/d/1iRxOKTdZriNTDPxD9i2jeauYHKA_-JsQ/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Sievert]

[[https://drive.google.com/file/d/1py-ARn15xE-1FwTPIJ1d7DQxcBZLX6FN/view?usp=drive_link] File zip di Sievert]


==Un integrale definito speciale==

L'integrale in oggetto non fa parte della serie INTEGRALMATH ma impiega una machhina da calcolo diversa indicata come:


ELLIPTIC

I due link sotto indicati ne consentono la discussione e l'impiego:


[[https://drive.google.com/file/d/1W1IB1vYfy6T22bqYiWiEis28caM9clyI/view?usp=drive_link]Discussione di ELLIPTIC]


[[https://drive.google.com/file/d/1_XVFytGrUL0aS842F4GNcGsxY3uYBWtD/view?usp=drive_link] Al file zip per l'eseguibile di calcolo]</text>
      <sha1>9j8yirliujgfhn5jg914vgxec9gmlui</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Integrali indefiniti</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>287073</id>
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      <timestamp>2026-09-02T05:46:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287073</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9064" sha1="5w44mz86381yreuedcnt8ov2wev23sr" xml:space="preserve">
{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = integrali indefinti
| avanzamento = 100%
}}


'''(20 esercizi)'''
== Gli integrali indefiniti computati con IA==

La soluzione degli integrali indefiniti può essere affrontata con successo con IA;
in questo caso
le informazioni da caricare sono generate da un insieme di dati scaturiti dalla funzione da integrare.

I dati sono composti da un insieme d'istruzioni: Basic e periodi discorsivi.

Un elenco di 20 integrali da calcolare, presentati in ordine crescente di difficoltà , sono disponibili a seguire.:

== Elenco degli integrali indefiniti da esercitazione==
 

1)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;    


2)  &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ 2 x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


3)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  x^2  \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


4)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  ( 3x + 1 )  \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


5)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  x^3 \ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


6)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


7)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  1/x \ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


8)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  e^x\ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


9)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} sin \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt; 


10)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} cos \ x   \ \ dx \ \  &lt;/math&gt;


11)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ x \ e^x\ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


12)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ln x\ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


13)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} x \ sin \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


14)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} x \ cos \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


15)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


16)  &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \  e^{2x} \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


17)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


18)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} sin^2 \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


19)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{} cos^2 \ x   \ \ dx \ \ &lt;/math&gt;


20)   &lt;math&gt; y = \int_{}^{}  \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ &lt;/math&gt;

Per controllare egli esercizi che seguono si deve verificare che la prima funzione scritta in apertura su IA sia uguale alla funzione da calcolare presente in tabella.

==Soluzione dell'integrale numero 1==

Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi:

'''Calcola l'integrale indefinito di x ''' ( da inserire nella finestra di IA)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1ZBuUmty1zYJiGMhBcBi0d5omAFu1JAzs/view?usp=drive_link]Soluzione integrale  n° 1]

==Soluzione dell'integrale numero 2==

Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi:

Calcola l'integrale indefinito di due x ( da inserire nella finestra di IA)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1t3mPpQ-P7xgC0iX_q74J6D5JRe4EwFvw/view?usp=drive_link] Soluzione dell'integrale n° 2]

==Soluzione dell'integrale numero 3==

Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi:

Calcola l'integrale indefinito di x al quadrato ( da inserire nella finestra di IA)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1vPFOaQ8mJgl75MG_h9ZBW2xk3xVyySlO/view?usp=drive_link]Soluzione dell'integrale n° 3]

==Soluzione dell'integrale numero 4==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di 3x + 1 ( da inserire nella finestra di IA)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1Hq9uo-d1LPxPOzKwPHRsZxmhV9jlC45k/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 4]

==Soluzione dell'integrale numero 5 ==
Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di x^3 ( da inserire nella finestra di IA)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1_hGyHrDO5AqkRyFAkKurHaheLMByyycd/view?usp=drive_link] Soluzione integrale n°5

==Soluzione dell'integrale numero 6 ==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = SQR(x) 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/13SytgQf-NB8-EfdBPCd1iyHgs020aaCX/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n°  6]

==Soluzione dell'integrale numero 7 ==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = 1/x 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1IoZ9HllHSzQSSAK2Q10q6Qvn8IDW_qnD/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 7]

==Soluzione dell'integrale numero 8 ==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = e^x 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1WOjHdVyiEsTLpVyXPC5y5Q0P1gqWBCHy/view?usp=drive_link]Soluzione intgrale n° 8]

==Soluzione dell'integrale numero 9 ==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = sen x 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/10UzvcvsENSrAZowM0rHdst2n-ErH2tD4/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 9]

==Soluzione dell'integrale numero 10 ==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = cos x 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1p5ytC9HMLIseWrvP1F2KF0sD16LbVwXr/view?usp=drive_link]Soluzione ntegrale n° 10]

==Soluzione dell'integrale numero 11==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = x * e^x 

La risposta di IA:]

[[https://drive.google.com/file/d/15neFn7RGG7RpDZj0ShgsEzAuOowie_Pf/view?usp=drive_link]Soluzione integrale numero 11]

==Soluzione dell'integrale numero 12==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = ln (x) 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/135wgGw0-HP2bH0YijayyQEEwXVeEjbza/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 12]

==Soluzione dell'integrale numero 13==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = x * sin (x) 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1aJqcVPIa-15WQS_jkPPpmlPaDym-uDoR/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 13]

==Soluzione dell'integrale numero 14==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = x * cos (x) 

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1bFJSfKFAFV7uQe0QNWqrNTpAn8kHWvPu/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 14]

==Soluzione dell'integrale numero 15==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y =  1 / (1 + x ^2)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1bl5IzKEaitvWwvPVBWyA8gf6RzsL-vno/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 15]

==Soluzione dell'integrale numero 16==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y =  e ^ (2 * x)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/15KMkmqaGCtt2C8YaoLx5rizvpwBrTdIH/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 16

==Soluzione dell'integrale numero 17==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = x^2 * e ^ x

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1FO5Wb-zya2bKuTXARHmC2nqqUyaLGti8/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 17]

==Soluzione dell'integrale numero 18==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = sin^2 (x)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1Mqa1rnor0eBJzMlz23-4zKdklFBA66hi/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 18]


==Soluzione dell'integrale numero 19==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = cos^2 (x)

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1fGPPrvdxwoTFRbAUjJPekiILQVWMJjH5/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 19]

==Soluzione dell'integrale numero 20==

Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic:

Calcola l'integrale indefinito di  y = ( ln(x))^2

La risposta di IA:

[[https://drive.google.com/file/d/1Ti1kMzUA6NUvUXcjfRKSKHXt6tHjcDpX/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 20]</text>
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    </revision>
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    <title>Le funzioni di correlazione</title>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Le funzioni di correlazione
| avanzamento = 100%
}}


'''( 2 esercizi)'''

==Cosa sono le funzioni di correlazione== 

Spiegazione di massima all'indirizzo:
 
[[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/corr1?authuser=0] Le funzioni di correlazione]

==In estrema sintesi come operano le funzioni di correlazione==

L'operatività delle funzioni di correlazione in un caso particolare dei segnali elettrici è
riportata all'indirizzo:

[[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/cor3?authuser=0]Esempio d'operatività]

==La macchina da calcolo delle funzioni di correlazione==

Al seguente indirizzo la spiegazione della macchina:

[[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/157?authuser=0]]

==Esempio di calcolo al PC==

Una schermata di calcolo e grafica prima dell'impiego del calcolatore:

[[https://drive.google.com/file/d/1cGfA3O0Pmpp093u3sWO98EMhFrZkr0jA/view?usp=drive_link]Schermata]

Il file di calcolo dell'eseguibile in zip all'indirizzo: 

[[https://drive.google.com/file/d/11Fg3_yERTf7FjK5-nE1_6nLQmvpl_9zB/view?usp=drive_link]Al file zip di calcolo]</text>
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    <title>Calcolatore della serie di Fourier</title>
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      <text bytes="16664" sha1="fdsb8yrylb38z6b8mt0d7ojkui5w7zl" xml:space="preserve">
  {{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Calcolatore
| avanzamento = 100%
}}


'''(4 esercizi)  '''

-Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici-

==La serie di Fourier con il supporto delle figure==

Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo  l'algoritmo  omonimo mostrato in figura 1

:&lt;math&gt;
\begin{align}
F(x) &amp;= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\
&amp;\begin{cases}
a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx
\end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1)
\end{align}
&lt;/math&gt;

questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici  funzioni  del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso
in figura 1 con il simbolo &lt;math&gt; F(x)&lt;/math&gt; ( dove &lt;math&gt; x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )&lt;/math&gt;.

Generalmente la funzione &lt;math&gt; F(x)&lt;/math&gt; è espressa con il simbolo &lt;math&gt; G(\omega)&lt;/math&gt;.

Un esempio di segnale periodico &lt;math&gt; f(t)&lt;/math&gt;, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a

:&lt;math&gt;f(2\pi f_0 t) =
\begin{cases}
-E: &amp; \text{per} \ (2k-1)\pi &lt; 2 \pi f_0 t &lt; 2k\pi \\
+E: &amp; \text{per} \ 2k\pi &lt; 2 \pi f_0 t &lt; (2k+1)\pi
\end{cases} \qquad\qquad 2a)
&lt;/math&gt;

il cui andamento è tracciato in figura 2b
 
[[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]]
{{clear}}

L'impiego della serie di Fourier porta  alla determinazione dello spettro di frequenza a righe &lt;math&gt; G( \omega)&lt;/math&gt;, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3.

[[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]]
{{clear}}
 
Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge &lt;math&gt; f(t)&lt;/math&gt;, come ad esempio per la curva di figura 4: 

[[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]]
{{clear}}

la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione,
dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti &lt;math&gt; An'&lt;/math&gt;  e &lt;math&gt;  Bn' &lt;/math&gt; da &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; campioni di &lt;math&gt; f(t) &lt;/math&gt; , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio:

:&lt;math&gt;C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)&lt;/math&gt;

Si osservi che:

*Con il simbolo &lt;math&gt; C'n &lt;/math&gt; s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza.

* I coefficienti di figura 5 sono indicati con &lt;math&gt; A'n &lt;/math&gt; e &lt;math&gt; B'n&lt;/math&gt;  per distinguerli da quelli diversi di figura 1.

* &lt;math&gt; A'o,  A'n,  B'n &lt;/math&gt; sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, &lt;math&gt; 20 &lt;/math&gt;  campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli &lt;math&gt; a(1).....a(20) &lt;/math&gt; .

:&lt;math&gt;
\begin{align}
&amp; A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\
&amp; A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\
&amp; B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\
&amp; C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2}
\end{align}
&lt;/math&gt;

* Il modulo della &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; esima  riga dello spettro è indicato da  &lt;math&gt;  C'n&lt;/math&gt; ; nel calcolatore l valori &lt;math&gt;  C'n &lt;/math&gt;  sono valutati senza l'addizione di &lt;math&gt;  A'o &lt;/math&gt; che viene calcolato separatamente.  

Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore.

== Il pannello operativo del calcolatore ==
Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è  generato da un  file eseguibile disponibile all'indirizzo:  [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html  wikiFourier ] oppure
[https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip  seriefourier]
 
Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica  dello spettro dell'onda da analizzare.

[[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]]
{{clear}}

In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: 

'''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' 

La sezione contiene il pulsante ingresso variabili  e  4 textbox  nelle quali inserire i seguenti dati: 

*Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con &lt;math&gt;  T &lt;/math&gt; in secondi.

*Il numero &lt;math&gt; m = n &lt;/math&gt;  dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare.

*Il numero &lt;math&gt; k &lt;/math&gt;  delle righe dello spettro che si vogliono calcolare.

*L'incremento di calcolo &lt;math&gt; dm &lt;/math&gt;  dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo.
 
Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: 

&lt;math&gt; T = 0.01 \ S &lt;/math&gt;; &lt;math&gt; \quad m = n =  20 &lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\quad  k = 10 &lt;/math&gt;; &lt;math&gt; \quad dm = 0.01&lt;/math&gt; .

'''Sezione 2: (Campioni nel periodo)'''

La sezione contiene:
*Un  label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni.

*Un pulsante &quot;Ingresso campioni&quot; per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di &lt;math&gt; m = n &lt;/math&gt; 

*Un pulsante &quot; Azzeramento memorie&quot; per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati.  

'''Sezione 3: ( Presentazione spettro)'''

La sezione contiene:

*Il pulsante &quot;Calcolo dello spettro&quot; per l'avvio del programma di calcolo per la  presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso.

*Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. 
L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo.

'''Sezione 4: (Listato valori calcolati)'''

Nel listato compaiono:

*Le &lt;math&gt;  n &lt;/math&gt;  coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica &lt;math&gt; 3^a &lt;/math&gt;  coppia, &lt;math&gt;  F = 1300 \ Hz&lt;/math&gt;  &lt;math&gt; \ C'3 = 0.65432 &lt;/math&gt; ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. 

*In alto, sopra il listato, il valore calcolato di &lt;math&gt;C'o&lt;/math&gt; ( componente continua dell'onda ove sia presente )


'''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' 

I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4.

*In alto lo spettro dell'onda con le &lt;math&gt; m = n &lt;/math&gt;  righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza

*In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli &lt;math&gt; m = n &lt;/math&gt;  campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo.

==Primo  esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico==

Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore:

:&lt;math&gt;y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)&lt;/math&gt;


Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni,  sono gli analoghi dei termini &lt;math&gt; Cn &lt;/math&gt; elaborati dal calcolatore.


Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio,
come   mostra la figura 8 della sezione 1.
 
[[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]]
{{clear}}


Quindi pigiamo il pulsante &quot;Ingresso variabili&quot;. 
 
Impostiamo nella sezione 2, premendo &quot; Ingresso campioni&quot; (pulsante arancione),  per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella  riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni:

&lt;math&gt;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 &lt;/math&gt;

relativa ad un periodo  dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione.

Dopo la pressione del pulsante &quot; Calcolo dello spettro &quot;, si ha sia il listato dei valori così come riportato in  figura 9 che i grafici di figura 10

[[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]]
{{clear}}


La lista indica righe multiple di &lt;math&gt; 1000 \ Hz &lt;/math&gt; dato che, essendo &lt;math&gt;T = 0.001 \ S &lt;/math&gt;, la frequenza è &lt;math&gt;f = 1 / 0.001&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;1000 \ Hz &lt;/math&gt;.  

[[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]]
{{clear}}

 
Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura  7, che quelle del listato di figura 9:

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Righe&gt;
! C'&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;
|-
! Con il calcolatore
| 1,0000
| 0,0012
| 0,3333
| 0,0012
| 0,2000
| 0,0012
|-
! Per via analitica
| 1,0000
| 0
| 0,3333
| 0
| 0,2000
| 0
|}

Come si vede in tabella di tavolo i valori di &lt;math&gt;C'n &lt;/math&gt; per &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; dispari, praticamente coincidono, per &lt;math&gt; n &lt;/math&gt; pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a &lt;math&gt;0.002 &lt;/math&gt; invece che &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt; come da processo analitico.

Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a &lt;math&gt;dm = 0.01 &lt;/math&gt;, ad esempio &lt;math&gt;dm = 0.001&lt;/math&gt;; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo.

==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico==

Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei
dati elaborati dal calcolatore:

:&lt;math&gt;y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)&lt;/math&gt;

Come si vede la serie analitica è formata  da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni,  sono gli analoghi dei termini &lt;math&gt;Cn&lt;/math&gt; elaborati dal calcolatore.


Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio,
come   mostra la figura 12 della sezione 1.

[[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]]
{{clear}}


quindi pigiamo il pulsante &quot;Ingresso variabili&quot;. 

Impostiamo nella sezione 2,  premendo &quot; Ingresso campioni&quot; ( pulsante giallo ),  i campioni d'ampiezza di  un'onda a dente di sega  quale quella riportata in figura 13 

[[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]]
{{clear}}


la seguente sequenza di campioni:

&lt;math&gt; -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9  &lt;/math&gt;

relativa ad un periodo &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; dell'onda sopra citata fino a quando
il pulsante stesso diventa arancione.

Dopo la pressione del pulsante &quot; Calcolo dello spettro &quot;, si ha sia il listato dei valori così come riportato in  figura 14 che i grafici di figura 15:
 
[[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]]
{{clear}}


La lista indica righe multiple di &lt;math&gt;1000 Hz &lt;/math&gt; dato che, essendo &lt;math&gt;T = 0.001 \ S &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f = 1/ 0.001 &lt;/math&gt;= &lt;math&gt;1000 \ Hz&lt;/math&gt;. 

[[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]]
{{clear}}


Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura  11 che quelle della lista nella figura citata:

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Righe&gt;
! C'&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;
! C'&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;
|-
! Con il calcolatore
| 1,0000
| 0,5001
| 0,3335
| 0,2501
| 0,2001
| 0,1667
|-
! Per via analitica
| 1,0000
| 0,5000
| 0,3333
| 0,2500
| 0,2000
| 0,1666
|}

Come si vede in tabella di tavolo i valori di &lt;math&gt; C' &lt;/math&gt; da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del  &lt;math&gt;2 &lt;/math&gt; per mille.

== Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica ==

Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico.

Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16:
 
[[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]]
{{clear}}


Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17:

[[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]]
{{clear}}


Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei  campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17:

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! periodo
! ampiezza
|-
| t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;
| 0,00
|-
| t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
| 0,40
|-
| t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
| 0,64
|-
| t&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
| 0,75
|-
| t&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;
| 0,85
|-
| t&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;
| 0,99
|-
| t&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;
| 1,04
|-
| t&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;
| 0,86
|-
| t&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;
| 0,53
|-
| t&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;
| 0,21
|-
| t&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;
| 0,00
|-
| t&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;
| -0,02
|-
| t&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;
| -0,17
|-
| t&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;
| -0,38
|-
| t&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;
| -0,47
|-
| t&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;
| -0,40
|-
| t&lt;sub&gt;16&lt;/sub&gt;
| -0,28
|-
| t&lt;sub&gt;17&lt;/sub&gt;
| -0,26
|-
| t&lt;sub&gt;18&lt;/sub&gt;
| -0,29
|-
| t&lt;sub&gt;19&lt;/sub&gt;
| -0,22
|-
| t&lt;sub&gt;20&lt;/sub&gt;
| -0,00
|}

I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante &quot;Ingresso campioni&quot;. 

Dopo la pressione del pulsante &quot; Calcolo dello spettro &quot;, si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20:

[[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]]
{{clear}}


La lista indica righe multiple di &lt;math&gt;1000 \ Hz&lt;/math&gt; dato che, essendo
&lt;math&gt; T = 0.001 \ S &lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\quad f = 1/ 0.001 &lt;/math&gt; = &lt;math&gt; 1000 \ Hz. &lt;/math&gt;

[[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]]
{{clear}}

== Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita==

Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola &lt;math&gt; 4^a &lt;/math&gt; armonica di ampiezza &lt;math&gt;C'4 = 0.3333.&lt;/math&gt; 

L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21:

[[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]]
{{clear}}


L'onda ha un  periodo &lt;math&gt; T = 0.001 \ S &lt;/math&gt; e quindi una frequenza di &lt;math&gt; 1000 \ Hz&lt;/math&gt;; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola:

:{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! periodo
! ampiezza
|-
| t&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;
| 0,00
|-
| t&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
| 0,62
|-
| t&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
| 0,78
|-
| t&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
| 0,61
|-
| t&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;
| 0,63
|-
| t&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;
| 0,99
|-
| t&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;
| 1,26
|-
| t&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;
| 1,00
|-
| t&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;
| 0,39
|-
| t&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;
| -0,00
|-
| t&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;
| -0,00
|-
| t&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;
| 0,00
|-
| t&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;
| -0,38
|-
| t&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;
| -1,00
|-
| t&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;
| -1,26
|-
| t&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;
| -1,00
|-
| t&lt;sub&gt;16&lt;/sub&gt;
| -0,63
|-
| t&lt;sub&gt;17&lt;/sub&gt;
| -0,61
|-
| t&lt;sub&gt;18&lt;/sub&gt;
| -0,78
|-
| t&lt;sub&gt;19&lt;/sub&gt;
| -0,63
|-
| t&lt;sub&gt;20&lt;/sub&gt;
| -0,00
|}

Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante &quot; Calcolo dello spettro &quot;, si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24:

[[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]]
{{clear}}


[[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]]
{{clear}}


L'esame dei dati, sia numerici ( riga &lt;math&gt;C'4&lt;/math&gt; ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a &lt;math&gt;4000 \ Hz &lt;/math&gt; di ampiezza &lt;math&gt;C'4 = 0.3133&lt;/math&gt;. 

Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione  dell’algoritmo di calcolo.

==Bibliografia==
*G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953.
*A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962.
*Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970.
* C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998.

[[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]]

[[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]]</text>
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    <title>Calcolatore della trasformata di Fourier</title>
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'''(4 esercizi)  '''

Il calcolatore della Trasformata Discreta di Fourier, (DFT), con algoritmi e figure.

In questa lezione illustriamo un caratteristico file di calcolo in grado di computare e tracciare il modulo dello spettro di un impulso qualsiasi secondo l'algoritmo della DFT ( Discrete Fourier Transformer).

Questa procedura è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri.
	
S'inizia con evidenziare l'algoritmo dell'integrale di Fourier dal quale la DFT discende.

L'algoritmo dell'integrale di Fourier è mostrato nella figura seguente:

:&lt;math&gt;G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt&lt;/math&gt;

consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 2. 

[[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]]
{{clear}}

mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 3.

  [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 3]]
{{clear}}

Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 4: 
 [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 4]]
{{clear}}

l'integrale di fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo DFT  ( Discrete Fourier Transform ) che computa il modulo dello spettro, secondo l'espressione di figura 5. 

:&lt;math&gt;\left\vert G(qf) \right\vert = \left[ \left( \sum_{p=1}^k S(p) \cos \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 + \sum_{p=1}^k S(p) \sin \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 \right) \right]^{\frac{1}{2}}&lt;/math&gt;

per un numero finito di  campioni prelevati dall'impulso, mostrati in rosso in figura 6a:
[[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 6a]]
{{clear}}

La DFT computa un  numero finito di valori del modulo della G(w) così come riportato in figura 6b:

 [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 6b]]
{{clear}}

==Esempio d'impostazione delle variabili di calcolo==
Siano da determinare le variabili da mettere a calcolo per la costruzione del modulo dello spettro dell'impulso  mostrato in figura 7 dal quale si dovranno ricavare un certo numero di campioni &lt;math&gt; k &lt;/math&gt;; da &lt;math&gt; p1 &lt;/math&gt; a  &lt;math&gt; pk &lt;/math&gt;.

 [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 7]]
{{clear}}

Le variabili da calcolare, sulla base dell'algoritmo di figura 5, sono:
*&lt;math&gt;k = 2 \cdot T \cdot Fmax&lt;/math&gt; numero dei campioni da prelevare dall'impulso
*&lt;math&gt;N = 2 \cdot Fmax/DF&lt;/math&gt; divisore nello sviluppo di calcolo
*&lt;math&gt; q = Fmax/DF &lt;/math&gt; numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro

Le caratteristiche temporali dell'impulso siano: &lt;math&gt;T/2 = 0.005 \ S&lt;/math&gt;. quindi &lt;math&gt;T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt; 

Si voglia il campo di frequenza d'analisi compreso tra &lt;math&gt; 0 &lt;/math&gt; e &lt;math&gt;1000 \ Hz&lt;/math&gt;: quindi &lt;math&gt;Fmax = 1000 \ Hz&lt;/math&gt;

Si voglia una definizione d'analisi in frequenza a passi di &lt;math&gt; 25 \ Hz &lt;/math&gt;, quindi &lt;math&gt; DF = 25 \ Hz &lt;/math&gt;

In base ai dati esposti si calcolano:

Il numero dei campioni da prelevare dall'impulso: &lt;math&gt; k = 2 \cdot T \cdot Fmax &lt;/math &gt; = &lt;math&gt; 2 \cdot 0.01 \ S. \cdot 1000 \ Hz = 20 &lt;/math&gt;

Il valore di &lt;math&gt; N:&lt;/math&gt;  &lt;math&gt; N = 2 \cdot&lt;/math&gt; &lt;math&gt; Fmax/DF = 2 \cdot 1000 / 25 &lt;/math&gt; = &lt;math&gt; 80 &lt;/math&gt;

Il numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro: &lt;math&gt; q = Fmax/DF &lt;/math&gt;  = &lt;math&gt; 1000/25 = 40 &lt;/math&gt; 

Da rilievi su figura 7 si annotano le ampiezze dei &lt;math&gt; k &lt;/math&gt; valori dei campioni dell'impulso, da &lt;math&gt; p1 &lt;/math&gt; a &lt;math&gt; p20 &lt;/math&gt;, evidenziati con righe rosse;  questi saranno inseriti a calcolo l'uno dopo l'altro.

==Il pannello operativo del calcolatore DFT==

Al'avvio del file eseguibile [http://www.sonar-info.info/wikidft/DFT.html  wikiDFT ]  
oppure [https://github.com/2021dtc/prova21/archive/main.zip DFT]
sul P.C.si presenta il pannello operativo del calcolatore che riportiamin figura 8 con una serie di numeri in rosso per consentire l'identificazioni delle 5 sezioni funzionali:
 [[File: wtr9.jpg|thumb|left|500px|figura 8]]
{{clear}}


Sezione 1 (ingresso dati) : 
                                                            
La sezione contiene 3 textbox nei quali inserire, l'una dopo l'altra, le seguenti variabili: 
*Durata dell'impulso da analizzare espressa con &lt;math&gt;T \ (S)&lt;/math&gt;
*Estremo della frequenza d'analisi espressa con &lt;math&gt; Fmax \ (Hz)&lt;/math&gt; 
*Intervallo voluto tra due campioni dello spettro con &lt;math&gt; DF \ (Hz)&lt;/math&gt;  
*Un pulsante &quot; Dati a calcolo&quot;  per l'avvio delle computazioni
*Due label per l'indicazione dei valori calcolati: &lt;math&gt;k &lt;/math&gt;( numero dei campioni da ricavare dall'impulso) e &lt;math&gt;q &lt;/math&gt;( numero dei campioni che definiranno il modulo dello spettro di frequenza)

Al lancio del programma sono predisposti, in via provvisoria, i seguenti dati: &lt;math&gt;T = 0.01 \ S&lt;/math&gt; ; &lt;math&gt; Fmax = 1000 \ Hz&lt;/math&gt; ; &lt;math&gt; DF = 1\ Hz&lt;/math&gt;


*Sezione 2: (ingresso campioni impulso)
La sezione contiene:
*Un  label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni dell'impulso da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni dell'impulso.
*Un pulsante &quot;Ingresso campioni&quot; per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati ed un pulsante &quot; Azzeramento memorie&quot; per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati.   


Sezione 3: ( presentazione spettro)
La sezione contiene:
*Il pulsante &quot;Calcolo e presentazione  spettro normalizzato &quot; per l'avvio del programma di calcolo e presentazione grafica del modulo della DFT.


Sezione 4: ( reticolo cartesiano per il tracciamento del modulo dello spettro)
*In ascisse, la frequenza d'analisi &lt;math&gt; Fmax&lt;/math&gt; divisa in &lt;math&gt;40&lt;/math&gt; intervalli, con label indicativo dell'entità di ciascun intervallo in &lt;math&gt; Hz/Div&lt;/math&gt;.
*In ordinate  l'ampiezza dello spettro, in forma normalizzata  in &lt;math&gt;20&lt;/math&gt; intervalli da &lt;math&gt;0.05/Div.&lt;/math&gt; 

Il grafico dello spettro, rappresentando l'ampiezza del modulo, sarà sempre positivo.


Sezione 5: (funzioni di controllo)

Con due pulsanti distinti è possibile tracciare, ai fini del controllo dei calcoli, il modulo dello spettro di due impulsi caratteristici:

*Impulso rettangolare (ottenuto da calcolo per via analitica)
*Impulso triangolare (ottenuto da calcolo per via analitica)
Questa sezione è utile per prendere confidenza, come vedremo, con il sistema di calcolo.

==Primo esempio di calcolo: DFT di un impulso rettangolare con controllo analitico==

Per iniziare è utile l'utilizzo dei valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio,  come   mostra la figura 9 della sezione 1; con questi valori calcoleremo lo spettro di un impulso rettangoare:

[[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]]
{{clear}}


per : &lt;math&gt; T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt; - &lt;math&gt;Fmax = 1000 \ Hz &lt;/math&gt; - &lt;math&gt; DF = 1 \ Hz &lt;/math&gt;,

dopo la pressione del pulsante &quot;dati a calcolo&quot;, si ha : &lt;math&gt; k = 20 ; q = 1000 &lt;/math&gt;;
dal calcolo emerge che sono necessari &lt;math&gt; k = 20 &lt;/math&gt; campioni dell'impulso

Quindi:   ampiezza &lt;math&gt; E = 1 &lt;/math&gt;,  durata &lt;math&gt; T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; k = 20&lt;/math&gt;.

I campioni dell'impulso, tutti uguali ad &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt;,  sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza &lt;math&gt; 1 &lt;/math&gt; e di seguito, lasciando tale valore inalterato, premendo il pulsante &quot;ingresso campioni&quot; , s'inseriscono tutti  gli altri 19 fino a quando il pulsante citato diventa rosso; vedi figura 10

[[File: wtr11.jpg|thumb|left|600px|figura 10]]
{{clear}}


Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione  del modulo dello spettro come riportato in figura 11 con traccia in colore viola:

[[File: wtr12.jpg|thumb|left|300px|figura 11]]
{{clear}}


Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 12 si può agire sulla  sezione 5; pulsante &quot; Controllo per impulso rettangolare&quot; che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 12, 

[[File: wtr14a.jpg|thumb|left|300px|figura 12]]
{{clear}}


il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre, con buona approssimazione, alla curva viola così come mostra figura 13:

[[File: wtr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]]
{{clear}}

==Secondo  esempio di calcolo: DFT di un impulso triangolare con controllo analitico==

Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio,
come   mostra la figura 9 della sezione 1, impostiamo in questo esempio il calcolo dello spettro di un impulso triangolare:

 [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]]
{{clear}}


per : &lt;math&gt;T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt; - &lt;math&gt; Fmax = 1000 \ Hz &lt;/math&gt; - &lt;math&gt; DF = 1 \ Hz&lt;/math&gt;,

dopo la pressione del pulsante &quot;dati a calcolo&quot;, si ha :&lt;math&gt;  k = 20&lt;/math&gt; ;&lt;math&gt; q = 1000&lt;/math&gt; .

L'impulso triangolare che vogliamo analizzare, della durata &lt;math&gt;T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt; ha un profilo definito dalla seguente  sequenza di &lt;math&gt; 20&lt;/math&gt; valori: 

&lt;math&gt; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1; 0.9; 0.8; 0.7; 0.6; 0.5; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0 &lt;/math&gt;
i campioni sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza &lt;math&gt;0.1&lt;/math&gt; ed in successione tutta la sequenza sopra scritta premendo il pulsante &quot;ingresso campioni&quot;  fino a quando il pulsante citato diventa rosso.

Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione  del modulo dello spettro come riportato in figura 14 con traccia in color viola:

[[File: wtr16.jpg|thumb|left|300px|figura 14]]
{{clear}}
 
Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 14 si può agire sulla sezione 5; pulsante &quot; Controllo per impulso triangolare&quot; che consente, per la via puramente analitica mostrata
in figura 15, 

[[File: wtr17.jpg|thumb|left|300px|figura 15]]
{{clear}}

il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre alla curva viola così come mostra figura 16:

[[File: wtr18.jpg|thumb|left|300px|figura 16]]
{{clear}}

==Terzo esempio di calcolo: DFT senza controllo analitico==

Sia dato l'impulso di figura 17, di forma non codificata, del quale valutare lo spettro di frequenza mediante DFT:

[[File: wtr19.jpg|thumb|left|300px|figura 17]]
{{clear}}

I dati relativi all'impulso siano:

Durata:&lt;math&gt; T = 0.0125 \ S.&lt;/math&gt;

Ampiezza massima:&lt;math&gt; E = 1&lt;/math&gt;

Massima frequenza voluta nella DFT: &lt;math&gt; Fmax = 1000 \ Hz&lt;/math&gt;

Intervallo tra i campioni dello spettro:&lt;math&gt; DF = 2 \ Hz &lt;/math&gt;

I valori calcolati di k e q sono riportati nella sezione 1,  di figura 18:

 [[File: wtr20.jpg|thumb|left|400px|figura 18]]
{{clear}}

Dal calcolo emerge che sono necessari &lt;math&gt;k = 25 &lt;/math&gt; campioni dell'impulso; questi, ricavati da figura 17 sono mostrati in figura 19: 

:{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;
|-
| '''p'''    ||    1 ||   2  ||    3  ||    4  ||    5  ||    6  ||    7  ||    8  ||    9  ||   10  ||   11  ||   12  ||   13  ||   14  ||   15  ||   16  ||   17  ||   18  ||   19  ||   20  ||   21  ||   22  ||   23  ||   24  ||   25
|-
| '''S(p)''' || 0,10 || 0,14 || 0,20 || 0,27 || 0,36 || 0,46 || 0,56 || 0,67 || 0,77 || 0,86 || 0,93 || 0,98 || 1,00 || 0,98 || 0,93 || 0,86 || 0,77 || 0,67 || 0,56 || 0,46 || 0,36 || 0,27 || 0,20 || 0,14 || 0,10
|}

Questi valori, messi a calcolo nella sezione 2, portano al modulo dello spettro di figura 20:
  
[[File: wtr22.jpg|thumb|left|300px|figura 20]]
{{clear}}

==Esempio di calcolo: DFT per impulso di segnale sinusoidale==

Nel caso in cui l'impulso contenga una componente sinusoidale: &lt;math&gt;A\cdot Cos(6,28 \cdot fo \cdot t) &lt;/math&gt;, come mostrato in figura 21

[[File: wtr22a.jpg|thumb|left|300px|figura 21]]
{{clear}}


il processo di calcolo della DFT è simile a quelli in precedenza illustrati salvo il fatto che la massima ampiezza dello spettro non sarà per &lt;math&gt;f = 0&lt;/math&gt; ma per &lt;math&gt;f = fo &lt;/math&gt; come mostra figura 21.


Consideriamo ora un impulso del tipo riportato in figura 21 che abbia le seguenti caratteristiche:

Durata: &lt;math&gt; T = 0.01 \ S.&lt;/math&gt;

Frequenza all'interno dell'impulso: &lt;math&gt;fo = 400 \ Hz&lt;/math&gt;

Frequenza massima dello spettro voluto:&lt;math&gt; Fmax = 1000 \ Hz &lt;/math&gt;

Intervallo tra i campioni dello spettro: &lt;math&gt;DF = 2 \ Hz &lt;/math&gt;

Nella sezione 1, per &lt;math&gt; T = 0.01 \ S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;Fmax = 1000 \ Hz&lt;/math&gt;&lt;math&gt; DF = 2 \ Hz&lt;/math&gt;, si ha &lt;math&gt; k = 20&lt;/math&gt;:

I &lt;math&gt; 20 &lt;/math&gt; campioni richiesti si ottengono dalla funzione:

:&lt;math&gt;Y = A \cdot Cos(6.28 \cdot fo \cdot t)&lt;/math&gt; dove &lt;math&gt;A = 1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;fo = 400 \ Hz&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;t = 0.5 \ mS&lt;/math&gt;/campione 
così come mostra la tabella:

:{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:right;&quot;
|-
| 1,000
|-
| 0,309
|-
| -0,808
|-
| -0,810
|-
| 0,306
|-
| 0,999
|-
| 0,312
|-
| -0,806
|-
| -0,812
|-
| 0,303
|-
| 0,999
|-
| 0,315
|-
| -0,804
|-
| -0,813
|-
| 0,300
|-
| 0,999
|-
| 0,318
|-
| -0,802
|-
| -0,815
|-
| 0,297
|}

Lo spettro dell'impulso, calcolato tra &lt;math&gt; F = 0 &lt;/math&gt; e &lt;math&gt; Fmax = 1000 \ Hz &lt;/math&gt; si presenta come in figura 23 con il massimo in corrispondenza della frequenza &lt;math&gt; Fo = 400  \ Hz &lt;/math&gt;:

 [[File: wtr25.jpg|thumb|left|300px|figura 23]]
{{clear}}

==Bibliografia==
*G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953.
*A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962.
*Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970.
* C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998.
&lt;!--
[[Categoria:Lezioni di Sistemi di localizzazione subacquea]]--&gt;
[[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]]</text>
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    <title>Cenno sulle equazioni differenziali</title>
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      <id>287077</id>
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      <timestamp>2026-09-02T05:48:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| materia1 = Equazioni differenziali con IA
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}}


'''(esercizio singolo)'''

==Scopo di questa pagina è di illustrare il processo di calcolo per la soluzione di una equazione differenziale proposta e risolta da IA==

== Equazione differenziale non lineare ==

Riferimenti: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica]Sulle modalità d'inserzione dati su IA]

Si consideri la seguente equazione differenziale:

&lt;math&gt;
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}
&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.

=== Soluzione dell'equazione omogenea ===

L'equazione omogenea associata è

&lt;math&gt;
\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0.
&lt;/math&gt;

Si assume una soluzione della forma

&lt;math&gt;
y=e^{rx}.
&lt;/math&gt;

Sostituendo nell'equazione si ottiene

&lt;math&gt;
r^2+3r+2=0.
&lt;/math&gt;

La fattorizzazione fornisce

&lt;math&gt;
(r+1)(r+2)=0.
&lt;/math&gt;

Le radici caratteristiche sono

&lt;math&gt;
r_1=-1,\qquad r_2=-2.
&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione omogenea è

&lt;math&gt;
y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.
&lt;/math&gt;

=== Ricerca di una soluzione particolare ===

Poiché il termine noto è

&lt;math&gt;
e^{-x},
&lt;/math&gt;

ed è già presente nella soluzione omogenea, si cerca una soluzione particolare della forma

&lt;math&gt;
y_p=Ax e^{-x}.
&lt;/math&gt;

Si calcola la derivata prima

&lt;math&gt;
\frac{dy_p}{dx}=A e^{-x}-Ax e^{-x}
=A(1-x)e^{-x}.
&lt;/math&gt;

La derivata seconda è

&lt;math&gt;
\frac{d^2y_p}{dx^2}
=A(x-2)e^{-x}.
&lt;/math&gt;

Sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene

&lt;math&gt;
A(x-2)e^{-x}
+3A(1-x)e^{-x}
+2Ax e^{-x}
=e^{-x}.
&lt;/math&gt;

Raccogliendo il fattore comune

&lt;math&gt;
e^{-x}
&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;
A[(x-2)+3(1-x)+2x]e^{-x}=e^{-x}.
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
(x-2)+3(1-x)+2x=1,
&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;
Ae^{-x}=e^{-x},
&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;
A=1.
&lt;/math&gt;

La soluzione particolare risulta quindi

&lt;math&gt;
y_p=xe^{-x}.
&lt;/math&gt;

=== Soluzione generale ===

La soluzione completa dell'equazione differenziale è

&lt;math&gt;
y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}.
&lt;/math&gt;

=== Verifica ===

Calcolando le derivate

&lt;math&gt;
y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}+(1-x)e^{-x},
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
y''=C_1e^{-x}+4C_2e^{-2x}+(x-2)e^{-x},
&lt;/math&gt;

e sostituendo nell'equazione

&lt;math&gt;
y''+3y'+2y,
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
e^{-x},
&lt;/math&gt;

che coincide con il termine noto. Pertanto la soluzione è corretta.

=== Risultato finale ===

&lt;math&gt;
{y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}}
&lt;/math&gt;</text>
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    <title>Le derivate delle funzioni di funzioni</title>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni
| avanzamento = 100%
}}


'''(20 esercizi)'''

== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
 
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato.

Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare, in IA si incolla il titolo


==1^ &lt;math&gt; f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x &lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

&lt;math&gt;
\begin{align}
y &amp;= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &amp;= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
   &amp;= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
   &amp;= x\sec^2 x
\end{align}
&lt;/math&gt;


==2^ &lt;math&gt; f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} &lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

Si consideri la funzione

&lt;math&gt;
f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
&lt;/math&gt;

Scriviamo la radice come potenza:

&lt;math&gt;
f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12}
&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della derivata della potenza composta:

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora la derivata del quoziente.

Poniamo

&lt;math&gt;
u(x)=1+\sin x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v(x)=1-\sin x
&lt;/math&gt;

Le derivate sono

&lt;math&gt;
u'(x)=\cos x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v'(x)=-\cos x
&lt;/math&gt;

Applicando la regola del quoziente,

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Sviluppando il numeratore,

&lt;math&gt;
=\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

I termini opposti si eliminano:

&lt;math&gt;
=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo nella derivata,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Semplificando il fattore &lt;math&gt;\frac12\cdot2&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
=
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
&lt;/math&gt;

Portando la radice al denominatore,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}}
&lt;/math&gt;

Essendo

&lt;math&gt;
\sqrt{\cos^2x}=|\cos x|
&lt;/math&gt;

segue la forma generale

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)|\cos x|}
&lt;/math&gt;

Nei tratti in cui

&lt;math&gt;
\cos x&gt;0
&lt;/math&gt;

risulta

&lt;math&gt;
|\cos x|=\cos x
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{1}{1-\sin x}
&lt;/math&gt;

Nei tratti in cui

&lt;math&gt;
\cos x&lt;0
&lt;/math&gt;

risulta

&lt;math&gt;
|\cos x|=-\cos x
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x}
&lt;/math&gt;


== 3^ &lt;math&gt;f(x)=\log(\cos x)+x\tan x&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)&lt;/math&gt;

Derivata del primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x&lt;/math&gt;

Derivata del secondo termine (regola del prodotto):

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' &lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;x'=1&lt;/math&gt;
e
&lt;math&gt;(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

Sommiamo i due contributi:

&lt;math&gt;f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;


==4^ &lt;math&gt;f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)&lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)&lt;/math&gt;

Applichiamo la linearità della derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)&lt;/math&gt;

Deriviamo il primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine applichiamo la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)&lt;/math&gt;

Raccogliendo il fattore comune:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)&lt;/math&gt;

Applicando l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)&lt;/math&gt;

Si ottiene:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;f'(x)=\sin^2(x)&lt;/math&gt;


==5^ &lt;math&gt;f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt; ==

Calcoliamo la derivata usando la regola:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

Deriviamo &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

Applicando la regola della radice:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Applicando ora la derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Portiamo il numeratore a denominatore comune:

&lt;math&gt;1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

si semplifica il fattore comune con il risultato finale:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;


== 6^  &lt;math&gt;f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt;==

Poiché

&lt;math&gt;\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x&lt;/math&gt;

si può riscrivere la funzione come

&lt;math&gt;f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della catena.

Poniamo

&lt;math&gt;u=\frac12\ln x&lt;/math&gt;

allora

&lt;math&gt;f(x)=\sin u&lt;/math&gt;

La derivata della funzione esterna è

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}&lt;/math&gt;

Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}&lt;/math&gt;


==7^ &lt;math&gt;f(x)=\ln(\sen x+\cos x)&lt;/math&gt;==

Applico la regola della derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;

Calcolo la derivata dell'argomento:

&lt;math&gt;(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x&lt;/math&gt;

Sostituisco il risultato:

&lt;math&gt;f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;

Derivata finale:

&lt;math&gt;\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;


==8^ &lt;math&gt;f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x&lt;/math&gt;==

Riscriviamo la radice come potenza:

&lt;math&gt;f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x&lt;/math&gt;

Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)&lt;/math&gt;

Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x&lt;/math&gt;

Sommiamo i risultati ottenuti:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x&lt;/math&gt;

Riscrivendo il primo termine con la radice:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x&lt;/math&gt;


== 9^ &lt;math&gt;f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)&lt;/math&gt;

Per il primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)
=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata del quoziente:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)
=\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{2}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{2}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{(x-1)(x+1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{x^2-1}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right)
=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)&lt;/math&gt;


==10^ &lt;math&gt;f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

Per il primo termine si applica la regola del prodotto:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x)=1&lt;/math&gt;
e
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Ora deriviamo il secondo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)&lt;/math&gt;

Si usa la proprietà

&lt;math&gt;\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)&lt;/math&gt;

Applicando la regola della derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Sommiamo i contributi:

&lt;math&gt;f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

I termini razionali si eliminano:

&lt;math&gt;\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;f'(x)=\arctan(ax)&lt;/math&gt;


== 11^ &lt;math&gt;f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}&lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata.

Per il primo termine utilizziamo la regola:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=\tan^3(2x)&lt;/math&gt;

Deriviamo &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; applicando la regola della potenza e la regola della catena:

&lt;math&gt;u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine scriviamo:

&lt;math&gt;\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è

&lt;math&gt;-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Pertanto la derivata della funzione è

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Risultato finale:

&lt;math&gt;{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}&lt;/math&gt;
```


== 12^ &lt;math&gt;f(x)=\sin(\arccos x)&lt;/math&gt;==

Applicando la regola della catena si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x)
&lt;/math&gt;

Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

e inoltre

&lt;math&gt;
\cos(\arccos x)=x
&lt;/math&gt;

Sostituendo si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)
=
x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)
&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)
=
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

Verifica mediante identità trigonometrica 

Poiché

&lt;math&gt;
\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}
&lt;/math&gt;

si può derivare direttamente

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}
=
\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)
&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}
=
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena.

Risultato finale 

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;


== 13^ &lt;math&gt;f(x)=\sin x \cdot \cos x + x&lt;/math&gt;.==

Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)&lt;/math&gt;.

Per la derivata del prodotto si utilizza la formula

&lt;math&gt;(uv)'=u'v+uv'&lt;/math&gt;.

Ponendo

&lt;math&gt;u=\sin x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;v=\cos x&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;u'=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;v'=-\sin x&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)&lt;/math&gt;.

Semplificando,

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x&lt;/math&gt;.

Inoltre,

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x)=1&lt;/math&gt;.

Pertanto,

&lt;math&gt;f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1&lt;/math&gt;.

Applicando l'identità trigonometrica

&lt;math&gt;\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x&lt;/math&gt;,

si può scrivere anche

&lt;math&gt;f'(x)=\cos(2x)+1&lt;/math&gt;.

Questa è la forma semplificata della derivata della funzione.


== 14^ &lt;math&gt; f(x)=\ln(\cot x)&lt;/math&gt; ==

Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale,

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;u=\cot x&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}&lt;/math&gt;

La derivata della cotangente è

&lt;math&gt;(\cot x)'=-\csc^2 x&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}&lt;/math&gt;

Sostituendo le definizioni trigonometriche

&lt;math&gt;\csc x=\frac{1}{\sin x}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}&lt;/math&gt;

Moltiplicando per il reciproco,

&lt;math&gt;y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Semplificando un fattore &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin 2x=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;y'=-\frac{2}{\sin 2x}&lt;/math&gt;

Infine, usando la definizione della cosecante,

&lt;math&gt;\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}&lt;/math&gt;

si ottiene anche la forma equivalente

&lt;math&gt;y'=-2\,\csc 2x&lt;/math&gt;

Risultato finale 

&lt;math&gt;{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}&lt;/math&gt;
``


`

== 15^   &lt;math&gt;f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)&lt;/math&gt;==

Applicando la derivata della somma:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)&lt;/math&gt;

=== Derivata del primo termine ===

Si applica la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x&lt;/math&gt;

=== Derivata del secondo termine ===

Applicando ancora la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x&lt;/math&gt;

Essendo il termine preceduto dal segno meno:

&lt;math&gt;-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x&lt;/math&gt;

=== Derivata del terzo termine ===

Si usa la derivata del logaritmo composto:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x&lt;/math&gt;

Poiché nella funzione compare

&lt;math&gt;-\ln(\cos x)&lt;/math&gt;

la sua derivata è

&lt;math&gt;-\left(-\tan x\right)=\tan x&lt;/math&gt;

Somma dei risultati 

Si ottiene

&lt;math&gt;f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x&lt;/math&gt;

Raccogliendo

&lt;math&gt;\tan x&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)&lt;/math&gt;

Sostituendo

&lt;math&gt;\sec^2x=1+\tan^2x&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)&lt;/math&gt;

Sviluppando il prodotto:

&lt;math&gt;(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x&lt;/math&gt;

Infine

&lt;math&gt;{f'(x)=\tan^5x}&lt;/math&gt;


== 16^ &lt;math&gt;f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}&lt;/math&gt;==


Data la funzione

&lt;math&gt;f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}&lt;/math&gt;

si vuole calcolare la derivata.

Si applica la regola della derivata della funzione composta.

Scriviamo la funzione nella forma di potenza:

&lt;math&gt;f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}&lt;/math&gt;

La derivata della funzione esterna è:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=4x^3+6x^2-5&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x&lt;/math&gt;

Applicando la regola della catena si ottiene:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)&lt;/math&gt;

Raccogliendo il fattore comune:

&lt;math&gt;12x^2+12x=12x(x+1)&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\frac13\cdot12=4&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}&lt;/math&gt;

Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale:

&lt;math&gt;(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}&lt;/math&gt;

e osservando che

&lt;math&gt;(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}&lt;/math&gt;

si ottiene la forma finale:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}&lt;/math&gt;

oppure, in forma equivalente,

&lt;math&gt;f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}&lt;/math&gt;
```


== 17^&lt;math&gt; f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))&lt;/math&gt; ==

Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}
&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;
u=\sin(\sqrt{x})
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})}
&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora la derivata di

&lt;math&gt;
\sin(\sqrt{x})
&lt;/math&gt;

usando la regola della funzione composta:

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v'
&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;
v=\sqrt{x}
&lt;/math&gt;

La derivata di

&lt;math&gt;
\sqrt{x}
&lt;/math&gt;

è

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;
(\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
&lt;/math&gt;

Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})}
&lt;/math&gt;

Raccogliendo i fattori:

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})}
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t
&lt;/math&gt;

si può scrivere anche

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}
&lt;/math&gt;

=== Risultato finale ===

&lt;math&gt;
{
f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})}
=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}
}
&lt;/math&gt;
```


== 18^   &lt;math&gt;f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}&lt;/math&gt;==

Riscriviamo la radice come potenza:

&lt;math&gt;y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della derivata della potenza composta:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=\sin(3x)&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo i coefficienti:

&lt;math&gt;y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)&lt;/math&gt;

Riscriviamo eliminando l'esponente negativo:

&lt;math&gt;y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}&lt;/math&gt;

Oppure usando la radice:

&lt;math&gt;y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}&lt;/math&gt;

'''Risultato finale'''

&lt;math&gt;{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}&lt;/math&gt;
```


==19^ &lt;math&gt; f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)&lt;/math&gt;==

Si applica la regola della catena.

Poniamo

&lt;math&gt;u(x)=\frac{1}{x}&lt;/math&gt;

Allora

&lt;math&gt;f(x)=\sin(u)&lt;/math&gt;

La derivata della funzione seno è

&lt;math&gt;\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)&lt;/math&gt;

La derivata della funzione interna è

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)&lt;/math&gt;

Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}&lt;/math&gt;

Applicando la regola della catena,

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}&lt;/math&gt;

=== Risultato finale ===

&lt;math&gt;{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}&lt;/math&gt;
```


== 20^&lt;math&gt;f(x)=x\sin x\cos x&lt;/math&gt; ==

Si tratta del prodotto di tre fattori:

&lt;math&gt;f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola del prodotto:

&lt;math&gt;(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;u=x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;v=\sin x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;w=\cos x&lt;/math&gt;

Calcoliamo le derivate dei singoli fattori:

&lt;math&gt;u'=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;v'=\cos x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;w'=-\sin x&lt;/math&gt;

Sostituendo nella formula:

&lt;math&gt;f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x&lt;/math&gt;

Raccogliendo il termine contenente &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)&lt;/math&gt;

Applicando l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin 2x=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;

si può anche scrivere:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac12\sin 2x&lt;/math&gt;

Pertanto una forma equivalente è:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x&lt;/math&gt;

Risultato finale 

&lt;math&gt;{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}&lt;/math&gt;

oppure, in forma equivalente,

&lt;math&gt;{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}&lt;/math&gt;</text>
      <sha1>5140a9jc9yetanahy4aeiqcbxwk2h7p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Derivate di funzioni con IA</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37638</id>
    <revision>
      <id>287078</id>
      <parentid>286185</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T05:48:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287078</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25284" sha1="jh41228x2ujtupmwitsdgrnh2od23ji" xml:space="preserve">{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica|| avanzamento = 100%}} 
{{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}}

'''(19 esercizi)'''

== Introduzione alle derivate di funzioni con IA ==

Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto  di derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo:

[[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni]

Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' 

Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate ottenuti mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testi in [[#Bibliografia|Bibliografia]]

L'impiego di IA, con la tecnica di inserzione dati indicata di seguito, consente una rapidità di calcolo e di sviluppo per qualsiasi tipo di elaborazione matematica.


==Elenco delle funzioni trigonometriche in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.==

[[#Seno|Seno]]

[[#Coseno|Coseno]]

[[#Tangente|Tangente]]

[[#Cotangente|Cotangente]]

[[#Secante|Secante]]

[[#Cosecante|Cosecante]]

[[#Tabella riassuntiva|Tabella riassuntiva]]


===Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale===

Calcolare
 
&lt;math&gt;{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}&lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale'''

(formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic)
 
2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA]


=Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate=

Come ausilio ai processi di calcolo  l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari:

&lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\
&amp;\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

===Funzioni  ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale===

Calcolo derivata di

&lt;math&gt; y = \arcsin \ x &lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = arcsin  x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]]


==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate==

&lt;math&gt;\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x&lt;/math&gt;


===Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale===
La funzione da integrare:

&lt;math&gt; y = arctanh(x) &lt;/math&gt;

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = arctanh  (x)  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:]]

[[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta]


==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate==

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;


===Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale===

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = artanh  x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta]


==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate==

* Logaritmo naturale:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo in base &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a&gt;0,\ a\neq1,\ x&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo in base &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a&gt;0,\ a\neq1,\ f(x)&gt;0&lt;/math&gt;

* Logaritmo del valore assoluto:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0&lt;/math&gt;

* Logaritmo del valore assoluto di una funzione:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0&lt;/math&gt;


===Calcolo della derivata di una funzione logaritmica===

sequenza di lavoro:

Data la funzione:  &lt;math&gt;  y = \ln  x   &lt;/math&gt;

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = ln (x)  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta]


==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate==
* &lt;math&gt;f(x)=e^x&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=e^x&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=e^{ax}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=ae^{ax}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=e^{g(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=g'(x)e^{g(x)}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=a^x,\quad a&gt;0,\ a\neq1&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=a^x\ln(a)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=a^{g(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=x^x,\quad x&gt;0&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=x^x(\ln x+1)&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=x^a&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=ax^{a-1}&lt;/math&gt;

* &lt;math&gt;f(x)=g(x)^{h(x)}&lt;/math&gt; → &lt;math&gt;f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)&lt;/math&gt;

===Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale===

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

'''Calcoliamo la derivata di y = e^x  usando il rapporto incrementale'''

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta]


==Calcolo della derivta di una funzione  d'esempio con le regole standad ==
 
 
&lt;math&gt;
\text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7.
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right)
=
\frac{d}{dx}(x^3)
+
\frac{d}{dx}(2x^2)
-
\frac{d}{dx}(5x)
+
\frac{d}{dx}(7)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=
3x^2
+
2\cdot2x
-
5\cdot1
+
0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=
3x^2+4x-5.
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
{f'(x)=3x^2+4x-5}
&lt;/math&gt;


== Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA==
 
IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato.

Una serie di 12 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare:


==1^ &lt;math&gt; f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x &lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

&lt;math&gt;
\begin{align}
y &amp;= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt]
y' &amp;= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt]
   &amp;= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt]
   &amp;= x\sec^2 x
\end{align}
&lt;/math&gt;


==2^ &lt;math&gt; f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} &lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

Si consideri la funzione

&lt;math&gt;
f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}
&lt;/math&gt;

Scriviamo la radice come potenza:

&lt;math&gt;
f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12}
&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della derivata della potenza composta:

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
&lt;/math&gt;

Calcoliamo ora la derivata del quoziente.

Poniamo

&lt;math&gt;
u(x)=1+\sin x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v(x)=1-\sin x
&lt;/math&gt;

Le derivate sono

&lt;math&gt;
u'(x)=\cos x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v'(x)=-\cos x
&lt;/math&gt;

Applicando la regola del quoziente,

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
=
\frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Sviluppando il numeratore,

&lt;math&gt;
=\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

I termini opposti si eliminano:

&lt;math&gt;
=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo nella derivata,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac12
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
\cdot
\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}
&lt;/math&gt;

Semplificando il fattore &lt;math&gt;\frac12\cdot2&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}
=
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}
\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
&lt;/math&gt;

Portando la radice al denominatore,

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
(1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}}
&lt;/math&gt;

Essendo

&lt;math&gt;
\sqrt{\cos^2x}=|\cos x|
&lt;/math&gt;

segue la forma generale

&lt;math&gt;
f'(x)
=
\frac{\cos x}
{(1-\sin x)|\cos x|}
&lt;/math&gt;

Nei tratti in cui

&lt;math&gt;
\cos x&gt;0
&lt;/math&gt;

risulta

&lt;math&gt;
|\cos x|=\cos x
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
f'(x)=\frac{1}{1-\sin x}
&lt;/math&gt;

Nei tratti in cui

&lt;math&gt;
\cos x&lt;0
&lt;/math&gt;

risulta

&lt;math&gt;
|\cos x|=-\cos x
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x}
&lt;/math&gt;


== 3^ &lt;math&gt;f(x)=\log(\cos x)+x\tan x&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)&lt;/math&gt;

Derivata del primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x&lt;/math&gt;

Derivata del secondo termine (regola del prodotto):

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' &lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;x'=1&lt;/math&gt;
e
&lt;math&gt;(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

Sommiamo i due contributi:

&lt;math&gt;f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;

Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}&lt;/math&gt;


==4^ &lt;math&gt;f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)&lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)&lt;/math&gt;

Applichiamo la linearità della derivata:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)&lt;/math&gt;

Deriviamo il primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine applichiamo la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)&lt;/math&gt;

Raccogliendo il fattore comune:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)&lt;/math&gt;

Applicando l'identità trigonometrica:

&lt;math&gt;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)&lt;/math&gt;

Si ottiene:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;f'(x)=\sin^2(x)&lt;/math&gt;


==5^ &lt;math&gt;f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt; ==

Calcoliamo la derivata usando la regola:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

Deriviamo &lt;math&gt;u&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

Applicando la regola della radice:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Applicando ora la derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Portiamo il numeratore a denominatore comune:

&lt;math&gt;1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}&lt;/math&gt;

si semplifica il fattore comune con il risultato finale:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}&lt;/math&gt;


== 6^  &lt;math&gt;f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt;==

Poiché

&lt;math&gt;\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x&lt;/math&gt;

si può riscrivere la funzione come

&lt;math&gt;f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della catena.

Poniamo

&lt;math&gt;u=\frac12\ln x&lt;/math&gt;

allora

&lt;math&gt;f(x)=\sin u&lt;/math&gt;

La derivata della funzione esterna è

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}&lt;/math&gt;

Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}&lt;/math&gt;


==7^ &lt;math&gt;f(x)=\ln(\sen x+\cos x)&lt;/math&gt;==

Applico la regola della derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;

Calcolo la derivata dell'argomento:

&lt;math&gt;(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x&lt;/math&gt;

Sostituisco il risultato:

&lt;math&gt;f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;

Derivata finale:

&lt;math&gt;\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}&lt;/math&gt;


==8^ &lt;math&gt;f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x&lt;/math&gt;==

Riscriviamo la radice come potenza:

&lt;math&gt;f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x&lt;/math&gt;

Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione interna:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)&lt;/math&gt;

Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x&lt;/math&gt;

Sommiamo i risultati ottenuti:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x&lt;/math&gt;

Riscrivendo il primo termine con la radice:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x&lt;/math&gt;


== 9^ &lt;math&gt;f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)&lt;/math&gt;

Per il primo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)
=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata del quoziente:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)
=\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{2}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot
\frac{2}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{(x-1)(x+1)}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{x^2-1}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right)
=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)&lt;/math&gt;

Infine:

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)&lt;/math&gt;


==10^ &lt;math&gt;f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)&lt;/math&gt;==

Deriviamo termine per termine.

Per il primo termine si applica la regola del prodotto:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}(x)=1&lt;/math&gt;
e
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Ora deriviamo il secondo termine:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)&lt;/math&gt;

Si usa la proprietà

&lt;math&gt;\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)&lt;/math&gt;

Applicando la regola della derivata del logaritmo:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

Sommiamo i contributi:

&lt;math&gt;f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}&lt;/math&gt;

I termini razionali si eliminano:

&lt;math&gt;\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;f'(x)=\arctan(ax)&lt;/math&gt;


== 11^ &lt;math&gt;f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}&lt;/math&gt;==

Calcoliamo la derivata.

Per il primo termine utilizziamo la regola:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;u=\tan^3(2x)&lt;/math&gt;

Deriviamo &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; applicando la regola della potenza e la regola della catena:

&lt;math&gt;u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}&lt;/math&gt;

Per il secondo termine scriviamo:

&lt;math&gt;\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}&lt;/math&gt;

Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è

&lt;math&gt;-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Pertanto la derivata della funzione è

&lt;math&gt;f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}&lt;/math&gt;

Risultato finale:

&lt;math&gt;{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}&lt;/math&gt;


== 12^ &lt;math&gt;f(x)=\sin(\arccos x)&lt;/math&gt;==

Applicando la regola della catena si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x)
&lt;/math&gt;

Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

e inoltre

&lt;math&gt;
\cos(\arccos x)=x
&lt;/math&gt;

Sostituendo si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)
=
x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)
&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)
=
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

Verifica mediante identità trigonometrica 

Poiché

&lt;math&gt;
\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}
&lt;/math&gt;

si può derivare direttamente

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}
=
\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)
&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}
=
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&lt;/math&gt;

che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena.

Risultato finale 

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;


...

== Seno ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\sin x&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sin x=\cos x&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;y=\sin x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}&lt;/math&gt;

Usando la formula di addizione:

&lt;math&gt;\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}&lt;/math&gt;

Separando:

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sin x=\cos x&lt;/math&gt;

== Coseno ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\cos x&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}&lt;/math&gt;

Usando

&lt;math&gt;\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}&lt;/math&gt;

Separando

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}&lt;/math&gt;

Applicando i limiti fondamentali

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x&lt;/math&gt;

== Tangente ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Applicando la regola del quoziente

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;u=\sin x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;v=\cos x&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;u'=\cos x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;v'=-\sin x&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\tan x=
\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}&lt;/math&gt;

Usando

&lt;math&gt;\sin^2x+\cos^2x=1&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x&lt;/math&gt;

----

== Cotangente ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cot x=
\frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cot x=
-\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cot x=
-\frac1{\sin^2x}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x&lt;/math&gt;

== Secante ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\sec x=\frac1{\cos x}&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;y=(\cos x)^{-1}&lt;/math&gt;

Applicando la regola della potenza

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}
=-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}
=\frac{\sin x}{\cos^2x}&lt;/math&gt;

Scrivendo

&lt;math&gt;\frac1{\cos x}=\sec x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x&lt;/math&gt;

== Cosecante ==

Funzione:
&lt;math&gt;y=\csc x=\frac1{\sin x}&lt;/math&gt;

Derivata:
&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x&lt;/math&gt;

Dimostrazione:

&lt;math&gt;y=(\sin x)^{-1}&lt;/math&gt;

Applicando la regola della potenza

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}
=-1(\sin x)^{-2}\cos x&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{dy}{dx}
=-\frac{\cos x}{\sin^2x}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac1{\sin x}=\csc x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x&lt;/math&gt;

== Tabella riassuntiva ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Funzione
! Derivata
|-
| &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;-\sin x&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\tan x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;\sec^2x&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\cot x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;-\csc^2x&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\sec x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;\sec x\tan x&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;\csc x&lt;/math&gt;
| &lt;math&gt;-\csc x\cot x&lt;/math&gt;
|}
```


==Bibliografia==

*Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova 1973)

*Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun  - (Dover  1964)

* Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli (1953)

*La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna (La Spezia 1997)</text>
      <sha1>jh41228x2ujtupmwitsdgrnh2od23ji</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Teoria dei residui</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37719</id>
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      <timestamp>2026-09-02T06:02:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <origin>287086</origin>
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      <text bytes="7170" sha1="7nepenq91o93s9l73mxa0btao1jzcfb" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Teoria dei residui
| avanzamento = 100%
}}


('''8 esercizi''')

== In quali applicazioni è  utilizzata la teoria dei residui ==

* calcolo di integrali complessi;
* valutazione di alcuni integrali reali mediante il teorema dei residui;
* studio deelle singolarità delle funzioni meromorfe;
* risoluzione di  problemi di fisica matematica, elettromagnetismo e meccanica quantistica


Il testo a seguire espone un breve accenno alla teoria dei residui con l'impiego dell'intelligenza artificiae (IA)


= Residui (analisi complessa) =

In matematica, e in particolare nell'analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione meromorfa in una singolarità isolata è il coefficiente del termine &lt;math&gt;\frac{1}{z-z_0}&lt;/math&gt; nello sviluppo in serie di Laurent della funzione attorno al punto &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;.

I residui sono uno strumento fondamentale per il calcolo degli integrali complessi grazie al teorema dei residui.

== Teorema dei residui ==

Se una funzione meromorfa possiede singolarità isolate

&lt;math&gt;
z_1,z_2,\ldots,z_n
&lt;/math&gt;

all'interno di una curva chiusa orientata positivamente

&lt;math&gt;
\Gamma
&lt;/math&gt;

allora la soluzione dell'integrale dato è:

&lt;math&gt;
\oint_{\Gamma}f(z)\,dz
=
2\pi i
\sum_{k=1}^{n}
\operatorname{Res}(f,z_k)
&lt;/math&gt;

Questo risultato costituisce uno dei teoremi fondamentali dell'analisi complessa e permette di trasformare il calcolo di un integrale complesso nella somma dei residui delle singolarità interne al contorno.

== Definizione ==

Sia &lt;math&gt;f(z)&lt;/math&gt; una funzione meromorfa con una singolarità isolata nel punto &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt;.

Lo sviluppo di Laurent della funzione è:

&lt;math&gt;
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n
&lt;/math&gt;

Il residuo di &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; nel punto &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; è definito come:

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}
&lt;/math&gt;

cioè il coefficiente del termine:

&lt;math&gt;
\frac{1}{z-z_0}
&lt;/math&gt;

== Calcolo del residuo nel caso di polo semplice ==

Se &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; è un polo semplice, il residuo si ottiene mediante la formula:

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)
&lt;/math&gt;

== Esempio completo ==

Calcolare il residuo della funzione seguente dopo averla caricata in Basic su IA:

&lt;math&gt;
f(z)=\frac{z+2}{(z-1)(z+3)}
&lt;/math&gt;

nel punto

&lt;math&gt;
z=1
&lt;/math&gt;


=== Passo 1 ===

Si osserva che

&lt;math&gt;
z=1
&lt;/math&gt;

è un polo semplice.

Si applica quindi la formula

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z+2}{(z-1)(z+3)}
&lt;/math&gt;

=== Passo 2 ===

Si semplifica il fattore comune

&lt;math&gt;
(z-1)
&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}\frac{z+2}{z+3}
&lt;/math&gt;

=== Passo 3 ===

Si sostituisce

&lt;math&gt;
z=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,1)=\frac{1+2}{1+3}
&lt;/math&gt;

=== Passo 4 ===

Si eseguono le somme

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,1)=\frac{3}{4}
&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il residuo della funzione nel punto

&lt;math&gt;
z=1
&lt;/math&gt;

è

&lt;math&gt;
{\operatorname{Res}(f,1)=\frac{3}{4}}
&lt;/math&gt;

== Verifica mediante sviluppo di Laurent ==

Si può anche scomporre la funzione in frazioni semplici.

Si pone

&lt;math&gt;
\frac{z+2}{(z-1)(z+3)}
=
\frac{A}{z-1}
+
\frac{B}{z+3}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per

&lt;math&gt;
(z-1)(z+3)
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
z+2=A(z+3)+B(z-1)
&lt;/math&gt;

Ponendo

&lt;math&gt;
z=1
&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;
3=4A
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
A=\frac34
&lt;/math&gt;

Ponendo

&lt;math&gt;
z=-3
&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;
-1=-4B
&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;
B=\frac14
&lt;/math&gt;

La funzione diventa

&lt;math&gt;
f(z)=\frac{3}{4(z-1)}+\frac{1}{4(z+3)}
&lt;/math&gt;

Il coefficiente del termine

&lt;math&gt;
\frac{1}{z-1}
&lt;/math&gt;

è

&lt;math&gt;
\frac34
&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,1)=\frac34
&lt;/math&gt;

=Esempio di calcolo di un integrale complesso mediante la teoria dei residui=

Si vuole calcolare l'integrale reale

&lt;math&gt;
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.
&lt;/math&gt;

Questo è uno degli esempi classici di applicazione del teorema dei residui.

## Estensione al piano complesso

Si considera la funzione olomorfa

&lt;math&gt;
f(z)=\frac{1}{z^2+1}.
&lt;/math&gt;

Essa può essere fattorizzata come

&lt;math&gt;
z^2+1=(z-i)(z+i).
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}.
&lt;/math&gt;

## Individuazione dei poli

La funzione possiede due poli semplici:

&lt;math&gt;
z=i,
&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;
z=-i.
&lt;/math&gt;

Si sceglie un contorno formato dall'asse reale e da una semicirconferenza di raggio

&lt;math&gt;
R
&lt;/math&gt;

nel semipiano superiore.

All'interno del contorno è presente solamente il polo

&lt;math&gt;
z=i.
&lt;/math&gt;

## Calcolo del residuo

Per un polo semplice vale la formula

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
&lt;/math&gt;

Applicandola nel punto

&lt;math&gt;
z=i
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,i)
=\lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z-i)(z+i)}.
&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,i)
=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}.
&lt;/math&gt;

Sostituendo

&lt;math&gt;
z=i
&lt;/math&gt;

segue

&lt;math&gt;
\operatorname{Res}(f,i)
=\frac{1}{2i}.
&lt;/math&gt;

## Applicazione del teorema dei residui

Il teorema dei residui afferma che

&lt;math&gt;
\oint_\Gamma f(z)\,dz
=
2\pi i
\sum\operatorname{Res}(f,z_k).
&lt;/math&gt;

Poiché all'interno del contorno è presente un solo polo,

&lt;math&gt;
\oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1}
=
2\pi i\cdot\frac{1}{2i}.
&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;
\oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1}
=\pi.
&lt;/math&gt;

## Contributo dell'arco

Sia

&lt;math&gt;
C_R
&lt;/math&gt;

la semicirconferenza di raggio

&lt;math&gt;
R.
&lt;/math&gt;

Si dimostra mediante il lemma di Jordan (oppure con una stima diretta) che

&lt;math&gt;
\lim_{R\to\infty}
\int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}=0.
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
\oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1}
=
\int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^2+1}
+
\int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}.
&lt;/math&gt;

Facendo tendere

&lt;math&gt;
R\to\infty
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}
=
\oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1}.
&lt;/math&gt;

Poiché il contributo dell'arco è nullo,

&lt;math&gt;
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}
=
\pi.
&lt;/math&gt;

## Risultato finale

L'integrale richiesto vale

&lt;math&gt;
{
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\pi}
&lt;/math&gt;

## Osservazioni

L'esempio mostra il procedimento generale del metodo dei residui:

* si estende l'integrando al piano complesso;
* si individuano i poli della funzione;
* si sceglie un contorno opportuno;
* si calcolano i residui dei poli interni al contorno;
* si applica il teorema dei residui;
* si dimostra che il contributo dell'arco tende a zero;
* si ricava il valore dell'integrale reale come somma dei residui moltiplicata per &lt;math&gt;2\pi i&lt;/math&gt;.

=
= Serie di esempi per il cacolo degli integrali da parte di IA=

&lt;math&gt;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\pi&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^4+1}=\frac{\pi}{\sqrt2}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\ infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+1},dx=\pi e^{-|a|}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iax}}{x^2+1},dx=\pi e^{-|a|}&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4}=\frac{\pi}{2\sqrt2}&lt;/math&gt;


Esempio per il calcolo del secondo  integrale, nella  finestra di IA digitare:


'''Calcola l'integrale tra - infinito e + infinito di: 1/(x^4 +1) con la teoria dei residui (mostra tutti i passaggi)'''</text>
      <sha1>7nepenq91o93s9l73mxa0btao1jzcfb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Studio di funzioni secondo IA</title>
    <ns>0</ns>
    <id>37720</id>
    <revision>
      <id>287087</id>
      <parentid>286368</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T06:03:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <origin>287087</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10032" sha1="qw85vh0xxw9bdjbgne04g7ftxcnv7qf" xml:space="preserve">
{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} 
{{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}}


'''(5 esercizi)'''

==Esposizione di una funzione con grafico==


Il grafico di figura è generato dalla funzione:


&lt;math&gt;C(\tau)1,2 =  \left[ \frac {  \sin \ \{   2 \cdot \pi  \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*)  \}  } {  2 \cdot \pi  \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) }  \right]  \ \ \ &lt;/math&gt;  1)


[[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]]
 
{{clear}}

I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono:

&lt;math&gt; \tau &lt;/math&gt;   (variabile indipendente)

&lt;math&gt; \tau * &lt;/math&gt;   (coeff. di posizione)

&lt;math&gt; F1 &lt;/math&gt;  (parametro di profilo)

==Calcolo della derivata della 1) secondo IA==

Riferimenti: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Introduzione_all%27impiego_dell%27intelligenza_artificiale_per_applicazioni_di_matematica]Sulle modalità d'inserzione dati su IA]

Data

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}=
\frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)}  
{2\pi F1(\tau-\tau^*)}
&lt;/math&gt;
'''Funzione da caricare su IA con metodo misto'''


Definiamo la variabile ausiliaria

&lt;math&gt;
x=2\pi F1(\tau-\tau^*)
&lt;/math&gt;

Allora

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x}
&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;
\frac{dx}{d\tau}=2\pi F1
&lt;/math&gt;

Applicando la regola della catena,

&lt;math&gt;
\frac{dC}{d\tau}
=
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
\cdot
\frac{dx}{d\tau}
&lt;/math&gt;

Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente.

Poniamo

&lt;math&gt;
u=\sin x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v=x
&lt;/math&gt;

Allora

&lt;math&gt;
u'=\cos x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
v'=1
&lt;/math&gt;

Per la regola del quoziente,

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}
&lt;/math&gt;

Pertanto,

&lt;math&gt;
\frac{dC}{d\tau}
=
2\pi F1
\,
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}
&lt;/math&gt;

Sostituendo

&lt;math&gt;
x=2\pi F1(\tau-\tau^*)
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
\frac{dC}{d\tau}
=
2\pi F1
\,
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2}
&lt;/math&gt;

Semplificando un fattore

&lt;math&gt;
2\pi F1
&lt;/math&gt;

tra numeratore e denominatore,

&lt;math&gt;
\frac{dC}{d\tau}
=
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2
}
&lt;/math&gt;

oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore,

&lt;math&gt;
\frac{dC}{d\tau}
=
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
(2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2
}
\cdot
2\pi F1
&lt;/math&gt;

Forma finale compatta

&lt;math&gt;
{
\frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau}
=
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2
}
}
&lt;/math&gt; 2)

==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA==

(Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione)


Data la funzione:

&lt;math&gt;
C_{1,2}(\tau)=
\frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)}
{2\pi F_1(\tau-\tau^*)}.
&lt;/math&gt;

Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione.

Introduciamo la variabile adimensionale

&lt;math&gt;
x=2\pi F_1(\tau-\tau^*).
&lt;/math&gt;

La funzione diventa

&lt;math&gt;
C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}.
&lt;/math&gt;

Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;.

Per la regola della catena

&lt;math&gt;
\frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1.
&lt;/math&gt;

La derivata della funzione sinc è

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
\frac{dC_{1,2}}{d\tau}
=
2\pi F_1
\,
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
2\pi F_1&gt;0,
&lt;/math&gt;

i punti stazionari soddisfano

&lt;math&gt;
x\cos x-\sin x=0.
&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;
x=\tan x.
&lt;/math&gt;

Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale.

Infatti, per

&lt;math&gt;
x=0
&lt;/math&gt;

la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è

&lt;math&gt;
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
&lt;/math&gt;

Lo sviluppo di Taylor della funzione è

&lt;math&gt;
\frac{\sin x}{x}
=
1-\frac{x^2}{6}
+\frac{x^4}{120}
-\cdots
&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=
-\frac{x}{3}
+\frac{x^3}{30}
-\cdots
&lt;/math&gt;

Inoltre,

&lt;math&gt;
\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0}
=
-\frac13&lt;0,
&lt;/math&gt;

per cui

&lt;math&gt;
x=0
&lt;/math&gt;

è un massimo locale.

Poiché

&lt;math&gt;
\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1
&lt;/math&gt;

per ogni

&lt;math&gt;
x,
&lt;/math&gt;

esso è anche il massimo assoluto della funzione.

Ritornando alla variabile originale,

&lt;math&gt;
x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0,
&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;
\tau-\tau^*=0.
&lt;/math&gt;

Quindi l'ascissa del massimo è

&lt;math&gt;
{\tau=\tau^*.}
&lt;/math&gt;

Nel punto di massimo il valore della funzione è

&lt;math&gt;
C_{1,2}(\tau^*)
=
\lim_{\tau\to\tau^*}
\frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)}
{2\pi F_1(\tau-\tau^*)}
=1.
&lt;/math&gt;


**Risultato finale**

&lt;math&gt;\tau_{\max}=\tau^*&lt;/math&gt;

con valore massimo

&lt;math&gt;C_{1,2}(\tau^*)=1.&lt;/math&gt;

== Dalla derivata alla primitiva  secondo IA==

A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2):


&lt;math&gt;
{

\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2
}
}
&lt;/math&gt;


Poniamo

&lt;math&gt;
x = 2\pi F1(\tau-\tau^*)
&lt;/math&gt;

allora

&lt;math&gt;
\tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1},
&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;
dx = 2\pi F1\,d\tau,
&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;
d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}.
&lt;/math&gt;

La derivata da integrare è

&lt;math&gt;
\frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau}
=
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1(\tau-\tau^*)^2
}.
&lt;/math&gt;

Sostituendo

&lt;math&gt;
x=2\pi F1(\tau-\tau^*)
&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;
(\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}.
&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
\frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau}
=
\frac{
x\cos x-\sin x
}
{
2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right)
}
=
(2\pi F1)\,
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
&lt;/math&gt;

La primitiva diventa

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}
=
\int
(2\pi F1)
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}
\frac{dx}{2\pi F1}.
&lt;/math&gt;

I fattori

&lt;math&gt;
2\pi F1
&lt;/math&gt;

si semplificano:

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}
=
\int
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}
\,dx.
&lt;/math&gt;

Osserviamo ora che

&lt;math&gt;
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right)
=
\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}
=
\frac{\sin x}{x}+K,
&lt;/math&gt;

dove

&lt;math&gt;
K
&lt;/math&gt;

è la costante di integrazione.

Infine si torna alla variabile originale:

&lt;math&gt;
x=2\pi F1(\tau-\tau^*).
&lt;/math&gt;

Si ottiene quindi

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}
=
\frac{
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
}
+
K.
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x},
&lt;/math&gt;

la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta

&lt;math&gt;
C(\tau)_{1,2}
=
\operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
+
K.
&lt;/math&gt;

Verifica finale:

&lt;math&gt;
\frac{d}{d\tau}
\left[
\frac{
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
}
\right]
=
\frac{
2\pi F1(\tau-\tau^*)
\cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
-
\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)
}
{
2\pi F1(\tau-\tau^*)^2
},
&lt;/math&gt;

che coincide con l'espressione assegnata.

=Sui punti notevoli delle funzioni=

Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.)

data la funzione:

&lt;math&gt;y = x^2+x-2&lt;/math&gt; 

se ne mostra il grafico:


[[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]]


== Studio della parabola ==

Data la funzione:

&lt;math&gt;y=x^2+x-2&lt;/math&gt;

=== 1. Intersezioni con l'asse x ===

Per trovare i punti di contatto con l'asse &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; si pone:

&lt;math&gt;y=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x^2+x-2=0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;(x+2)(x-1)=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x_1=-2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=1&lt;/math&gt;

I punti di intersezione con l'asse &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; sono quindi:

&lt;math&gt;A=(-2,0)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;B=(1,0)&lt;/math&gt;

=== 2. Derivata prima ===

Calcoliamo la derivata della funzione:

&lt;math&gt;y=x^2+x-2&lt;/math&gt;

La derivata è:

&lt;math&gt;y'=2x+1&lt;/math&gt;

=== 3. Ricerca dei punti stazionari ===

I punti stazionari si ottengono imponendo:

&lt;math&gt;y'=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;2x+1=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=-\frac12&lt;/math&gt;

Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione:

&lt;math&gt;y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac14-\frac12-2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac14-\frac24-\frac84&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=-\frac94&lt;/math&gt;

Il punto stazionario è quindi:

&lt;math&gt;V\left(-\frac12,-\frac94\right)&lt;/math&gt;

=== 4. Derivata seconda ===

Calcoliamo la derivata seconda:

&lt;math&gt;y''=2&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;y''=2&gt;0&lt;/math&gt;

il punto stazionario è un punto di minimo.

=== 5. Massimo e minimo ===

La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché:

&lt;math&gt;a=1&gt;0&lt;/math&gt;

Quindi:

* non esiste alcun punto di massimo;
* esiste un punto di minimo nel vertice.

Coordinate del minimo:

&lt;math&gt;V\left(-\frac12,-\frac94\right)&lt;/math&gt;

=== 6. Asse di simmetria ===

L'asse della parabola è:

&lt;math&gt;x=-\frac{b}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;x=-\frac1{2\cdot1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=-\frac12&lt;/math&gt;

=== 7. Intersezione con l'asse y ===

Ponendo:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;y=0^2+0-2=-2&lt;/math&gt;

Il punto di intersezione con l'asse &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;(0,-2)&lt;/math&gt;

=== 8. Riassunto ===

Funzione:

&lt;math&gt;y=x^2+x-2&lt;/math&gt;

Derivata prima:

&lt;math&gt;y'=2x+1&lt;/math&gt;

Derivata seconda:

&lt;math&gt;y''=2&lt;/math&gt;

Ascisse dei punti di intersezione con l'asse &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=-2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;

Punti di intersezione con l'asse &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(-2,0)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(1,0)&lt;/math&gt;

Intersezione con l'asse &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(0,-2)&lt;/math&gt;

Asse di simmetria:

&lt;math&gt;x=-\frac12&lt;/math&gt;

Vertice (punto di minimo):

&lt;math&gt;V\left(-\frac12,-\frac94\right)&lt;/math&gt;

Massimo:

non esiste.

Minimo:

&lt;math&gt;V\left(-\frac12,-\frac94\right)&lt;/math&gt;
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  </page>
  <page>
    <title>Disequazioni con IA</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>286355</parentid>
      <timestamp>2026-09-02T05:57:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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{{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}}


'''( 20 esercizi)'''

= Le disequazioni computate con IA=

IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato.
 
Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado  o di sistemi da calcolare dopo incollaggio su IA:

== 1°  &lt;math&gt;\log_{10}(2x^2-7x+103)&gt;2&lt;/math&gt;==

Determinare l'insieme delle soluzioni 

=== 1. Condizione di esistenza ===

L'argomento del logaritmo deve essere positivo:

&lt;math&gt;2x^2-7x+103&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775&lt;0&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo.

Quindi:

&lt;math&gt;2x^2-7x+103&gt;0\qquad\forall x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt;

Il dominio è quindi

&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;

=== 2. Proprietà del logaritmo ===

Poiché la funzione

&lt;math&gt;\log_{10}(x)&lt;/math&gt;

è strettamente crescente, la disequazione

&lt;math&gt;\log_{10}(2x^2-7x+103)&gt;2&lt;/math&gt;

è equivalente a

&lt;math&gt;2x^2-7x+103&gt;10^2&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;2x^2-7x+103&gt;100&lt;/math&gt;

=== 3. Riduzione ===

Portando tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2x^2-7x+3&gt;0&lt;/math&gt;

=== 4. Calcolo delle radici ===

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{7\pm5}{4}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x=\frac12&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;

=== 5. Studio del segno ===

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno.

Pertanto:

&lt;math&gt;2x^2-7x+3&gt;0&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x&lt;\frac12&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;

=== Soluzione ===

L'insieme soluzione è

&lt;math&gt;{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}&lt;/math&gt;


==2° &lt;math&gt;x(x-4)&gt;0&lt;/math&gt; ==

=== Sviluppo del prodotto ===

Sviluppando il prodotto si ottiene

&lt;math&gt;x^2-4x&gt;0&lt;/math&gt;

=== Ricerca degli zeri ===

Si risolve l'equazione associata

&lt;math&gt;x(x-4)=0&lt;/math&gt;

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x-4=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x=4&lt;/math&gt;

Gli zeri della parabola sono quindi

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=4&lt;/math&gt;

=== Studio del segno ===

Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto.

Si studia il segno del prodotto:

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
! Intervallo
! &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;x-4&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;x(x-4)&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;x&lt;0&lt;/math&gt;
| −
| −
| +
|-
| &lt;math&gt;0&lt;x&lt;4&lt;/math&gt;
| +
| −
| −
|-
| &lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;
| +
| +
| +
|}

La disequazione richiede

&lt;math&gt;x(x-4)&gt;0&lt;/math&gt;

quindi il prodotto deve essere positivo.

=== Soluzione ===

La soluzione è

&lt;math&gt;x&lt;0 \;\text{oppure}\; x&gt;4&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;(-\infty,0)\cup(4,+\infty)&lt;/math&gt;
```


==3°    &lt;math&gt;2x^2-9&gt;0&lt;/math&gt;==

Portiamo il termine noto al secondo membro:

&lt;math&gt;2x^2&gt;9&lt;/math&gt;

Dividiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt; (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia):

&lt;math&gt;x^2&gt;\frac{9}{2}&lt;/math&gt;

Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri:

&lt;math&gt;|x|&gt;\sqrt{\frac{9}{2}}&lt;/math&gt;

Semplifichiamo la radice:

&lt;math&gt;\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;|x|&gt;\frac{3\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ciò equivale alle due disequazioni:

&lt;math&gt;x&lt;-\frac{3\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x&gt;\frac{3\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

=== Insieme soluzione ===

&lt;math&gt;S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)&lt;/math&gt;


==4° &lt;math&gt;\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}&gt;-\frac23&lt;/math&gt;==

si sviluppano i due termini.

Primo termine:

&lt;math&gt;\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x&lt;/math&gt;

Secondo termine:

&lt;math&gt;\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x&gt;-\frac23&lt;/math&gt;

Raggruppando i termini simili:

&lt;math&gt;\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x&gt;-\frac23&lt;/math&gt;

Calcolo dei coefficienti:

&lt;math&gt;\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;-\frac7{18}-\frac56x&gt;-\frac23&lt;/math&gt;

Sommiamo &lt;math&gt;\frac7{18}&lt;/math&gt; a entrambi i membri:

&lt;math&gt;-\frac56x&gt;-\frac23+\frac7{18}&lt;/math&gt;

Riduzione allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}&lt;/math&gt;

Otteniamo

&lt;math&gt;-\frac56x&gt;-\frac5{18}&lt;/math&gt;

Dividendo entrambi i membri per &lt;math&gt;-\frac56&lt;/math&gt;, il verso della disequazione si inverte:

&lt;math&gt;x&lt;\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}&lt;/math&gt;

Calcolo del rapporto:

&lt;math&gt;\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è

&lt;math&gt;x&lt;\frac13&lt;/math&gt;


==5° &lt;math&gt;x(3-x)&gt;0&lt;/math&gt;==

=== Sviluppo del prodotto ===

Si sviluppa il prodotto:

&lt;math&gt;x(3-x)=3x-x^2&lt;/math&gt;

Pertanto la disequazione diventa

&lt;math&gt;3x-x^2&gt;0&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; (invertendo il verso della disequazione) si ottiene

&lt;math&gt;x^2-3x&lt;0&lt;/math&gt;

=== Scomposizione ===

Si raccoglie il fattore comune &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x(x-3)&lt;0&lt;/math&gt;

=== Studio del segno ===

Gli zeri del prodotto sono

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;

Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri:

* &lt;math&gt;x&lt;0&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;0&lt;x&lt;3&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;

Tabella dei segni:

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
! Intervallo
! &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;x-3&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;x(x-3)&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;x&lt;0&lt;/math&gt;
| −
| −
| +
|-
| &lt;math&gt;0&lt;x&lt;3&lt;/math&gt;
| +
| −
| −
|-
| &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;
| +
| +
| +
|}

La disequazione richiede

&lt;math&gt;x(x-3)&lt;0&lt;/math&gt;

che è verificata soltanto nell'intervallo

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;3&lt;/math&gt;

=== Soluzione ===

La soluzione della disequazione

&lt;math&gt;x(3-x)&gt;0&lt;/math&gt;

è

&lt;math&gt;x\in(0,3)&lt;/math&gt;.


==6° &lt;math&gt;(x-4)(2x+5)&gt;0&lt;/math&gt;==

si determinano gli zeri dei due fattori.

Dal primo fattore:

&lt;math&gt;x-4=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=4&lt;/math&gt;

Dal secondo fattore:

&lt;math&gt;2x+5=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=-\frac{5}{2}&lt;/math&gt;

I punti critici sono quindi

&lt;math&gt;x=-\frac{5}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=4&lt;/math&gt;.

Si studia il segno del prodotto.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
! Intervallo
! &lt;math&gt;x-4&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;2x+5&lt;/math&gt;
! &lt;math&gt;(x-4)(2x+5)&lt;/math&gt;
|-
| &lt;math&gt;x&lt;-\frac52&lt;/math&gt;
| −
| −
| +
|-
| &lt;math&gt;-\frac52&lt;x&lt;4&lt;/math&gt;
| −
| +
| −
|-
| &lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;
| +
| +
| +
|}

Poiché la disequazione richiede

&lt;math&gt;(x-4)(2x+5)&gt;0&lt;/math&gt;

si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo.

Pertanto

&lt;math&gt;x&lt;-\frac52&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;.

La soluzione finale è

&lt;math&gt;{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}&lt;/math&gt;.


==7° &lt;math&gt;\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}&lt;/math&gt;==


Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è &lt;math&gt;15&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}&lt;/math&gt;

Si sviluppano i prodotti al numeratore.

&lt;math&gt;\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}&lt;/math&gt;

Si sommano le due frazioni.

&lt;math&gt;\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}&lt;/math&gt;

Si semplifica il numeratore.

&lt;math&gt;\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}&lt;/math&gt;

Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori.

&lt;math&gt;7x-16\ge34&lt;/math&gt;

Si aggiunge &lt;math&gt;16&lt;/math&gt; a entrambi i membri.

&lt;math&gt;7x\ge50&lt;/math&gt;

Si divide entrambi i membri per &lt;math&gt;7&lt;/math&gt;, numero positivo.

&lt;math&gt;x\ge\frac{50}{7}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme soluzione è

&lt;math&gt;{x\ge\frac{50}{7}}&lt;/math&gt;.


==8° &lt;math&gt;3x^2 &lt; 4x + 7&lt;/math&gt;==

&lt;math&gt;3x^2 &lt; 4x + 7&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x^2 - 4x - 7 &lt; 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta = 16 + 84 = 100&lt;/math&gt;

Calcoliamo le radici dell'equazione associata:

&lt;math&gt;x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{4\pm10}{6}&lt;/math&gt;

Prima radice:

&lt;math&gt;x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1&lt;/math&gt;

Seconda radice:

&lt;math&gt;x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo (&lt;math&gt;3&gt;0&lt;/math&gt;), la parabola è rivolta verso l'alto.

Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici.

Soluzione della disequazione:

&lt;math&gt;-1&lt;x&lt;\frac{7}{3}&lt;/math&gt;

In forma di intervallo:

&lt;math&gt;\left(-1,\frac{7}{3}\right)&lt;/math&gt;


==9° &lt;math&gt;(x-2)^2-2&lt;8-(x+1)^2&lt;/math&gt;==

Sviluppiamo i quadrati:

&lt;math&gt;(x-2)^2=x^2-4x+4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(x+1)^2=x^2+2x+1&lt;/math&gt;

Sostituendo nella disequazione si ottiene

&lt;math&gt;x^2-4x+4-2&lt;8-(x^2+2x+1)&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;x^2-4x+2&lt;7-x^2-2x&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;x^2-4x+2-7+x^2+2x&lt;0&lt;/math&gt;

Riduciamo i termini simili:

&lt;math&gt;2x^2-2x-5&lt;0&lt;/math&gt;

Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata:

&lt;math&gt;2x^2-2x-5=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{44}=2\sqrt{11}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}&lt;/math&gt;

Gli zeri del trinomio sono quindi

&lt;math&gt;x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici.

Pertanto la soluzione della disequazione è

&lt;math&gt;\frac{1-\sqrt{11}}{2}&lt;x&lt;\frac{1+\sqrt{11}}{2}&lt;/math&gt;

oppure, in forma di intervallo,

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)&lt;/math&gt;.


==10° &lt;math&gt;3x - 5 &gt; 7&lt;/math&gt;==


=== Svolgimento ===

Sommiamo &lt;math&gt;5&lt;/math&gt; ad entrambi i membri:

&lt;math&gt;3x - 5 + 5 &gt; 7 + 5&lt;/math&gt;

Semplificando otteniamo:

&lt;math&gt;3x &gt; 12&lt;/math&gt;

Dividiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia:

&lt;math&gt;\frac{3x}{3} &gt; \frac{12}{3}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;x &gt; 4&lt;/math&gt;

=== Soluzione ===

L'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x &gt; 4&lt;/math&gt;

oppure, in forma di intervallo:

&lt;math&gt;(4,+\infty)&lt;/math&gt;

=== Verifica ===

Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio:

&lt;math&gt;x=5&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione iniziale:

&lt;math&gt;3\cdot5-5&gt;7&lt;/math&gt;

Calcolando:

&lt;math&gt;15-5&gt;7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;10&gt;7&lt;/math&gt;

La proposizione è vera, quindi:

&lt;math&gt;x=5&lt;/math&gt;

è una soluzione della disequazione.


== 11° &lt;math&gt;\begin{cases} 2x-3 &gt; 5 \\
3x + 6 &lt; 30  {  } \\ x - 4 &gt; 2
\end{cases}&lt;/math&gt; ==

=== Svolgimento ===

'''Prima disequazione'''

&lt;math&gt;2x-3&gt;5&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x&gt;8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;

---

'''Seconda disequazione'''

&lt;math&gt;3x+6&lt;30&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;3x&lt;24&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x&lt;8&lt;/math&gt;

---

'''Terza disequazione'''

&lt;math&gt;x-4\ge2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\ge6&lt;/math&gt;

---

=== Intersezione delle soluzioni ===

&lt;math&gt;x&gt;4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x&lt;8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\ge6&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;x\ge6 ;\cap; x&lt;8&lt;/math&gt;

La soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;6\le x&lt;8&lt;/math&gt;

=== Insieme soluzione ===

&lt;math&gt;S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x&lt;8}&lt;/math&gt;


== 12°&lt;math&gt;
\begin{cases}
2(5x^2-9)&lt;6x^2+63\\
3x-2\le 5-\frac{x}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;==

=== Prima disequazione ===

&lt;math&gt;
2(5x^2-9)&lt;6x^2+63
&lt;/math&gt;

Sviluppo del primo membro:

&lt;math&gt;
10x^2-18&lt;6x^2+63
&lt;/math&gt;

Portando tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;
10x^2-6x^2-18-63&lt;0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
4x^2-81&lt;0
&lt;/math&gt;

Portando il termine noto al secondo membro:

&lt;math&gt;
4x^2&lt;81
&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
x^2&lt;\frac{81}{4}
&lt;/math&gt;

Prendendo la radice:

&lt;math&gt;
-\frac{9}{2}&lt;x&lt;\frac{9}{2}
&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione della prima disequazione è

&lt;math&gt;
S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)
&lt;/math&gt;

=== Seconda disequazione ===

&lt;math&gt;
3x-2\le 5-\frac{x}{2}
&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
6x-4\le 10-x
&lt;/math&gt;

Portando i termini con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;
7x-4\le 10
&lt;/math&gt;

Portando il termine noto al secondo membro:

&lt;math&gt;
7x\le 14
&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;7&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
x\le 2
&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione della seconda disequazione è

&lt;math&gt;
S_2=(-\infty,2]
&lt;/math&gt;

=== Intersezione delle soluzioni ===

Occorre intersecare gli insiemi soluzione:

&lt;math&gt;
S=S_1\cap S_2
&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;
S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2)
&lt;/math&gt;

L'intersezione è

&lt;math&gt;
S=\left(-\frac{9}{2},2\right)
&lt;/math&gt;

=== Soluzione finale ===

&lt;math&gt;
{S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)}
&lt;/math&gt;


== 13° &lt;math&gt;x(9-2x)\leq 0&lt;/math&gt;==

sviluppando si ha:

&lt;math&gt;x(-2x+9)\leq 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\left(9-2x\right)\leq 0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;9-2x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2x=-9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{9}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\left(9-2x\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{c|ccc}
x &amp; (-\infty,0) &amp; (0,\frac{9}{2}) &amp; (\frac{9}{2},+\infty)\\
\hline
x &amp; - &amp; + &amp; +\\
9-2x &amp; + &amp; + &amp; -\\
x(9-2x) &amp; - &amp; + &amp; -
\end{array}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x(9-2x)\leq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}&lt;/math&gt;


==14° &lt;math&gt;x^3 &gt; x^2+2x&lt;/math&gt;==

si risolve:

&lt;math&gt;x^3-x^2-2x&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x(x^2-x-2)&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x((x-2)(x+1))&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x(x-2)(x+1)&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x(x+1)(x-2)&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\begin{array}{c|ccccccc}
x &amp; (-\infty,-1) &amp; -1 &amp; (-1,0) &amp; 0 &amp; (0,2) &amp; 2 &amp; (2,+\infty)\\
\hline
x+1 &amp; - &amp; 0 &amp; + &amp; + &amp; + &amp; + &amp; +\\
x &amp; - &amp; - &amp; - &amp; 0 &amp; + &amp; + &amp; +\\
x-2 &amp; - &amp; - &amp; - &amp; - &amp; - &amp; 0 &amp; +\\
\hline
x(x+1)(x-2) &amp; - &amp; 0 &amp; + &amp; 0 &amp; - &amp; 0 &amp; +
\end{array}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x(x+1)(x-2)&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}&lt;/math&gt;


==15° &lt;math&gt;x^2-5x+6&gt;0&lt;/math&gt;==


Si scompone il trinomio:

&lt;math&gt;x^2-5x+6=(x-2)(x-3)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;(x-2)(x-3)=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;

2. Studio del segno 

La disequazione diventa

&lt;math&gt;(x-2)(x-3)&gt;0&lt;/math&gt;

Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri:

* &lt;math&gt;x&lt;2&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;2&lt;x&lt;3&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt;

Intervallo &lt;math&gt;x&lt;2&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x-2&lt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-3&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è

&lt;math&gt;(-)\cdot(-)=(+)&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(x-2)(x-3)&gt;0&lt;/math&gt;

La disequazione è verificata.

Intervallo &lt;math&gt;2&lt;x&lt;3&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x-2&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-3&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è

&lt;math&gt;(+)\cdot(-)=(-)&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(x-2)(x-3)&lt;0&lt;/math&gt;

La disequazione non è verificata.

Intervallo &lt;math&gt;x&gt;3&lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x-2&gt;0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-3&gt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è

&lt;math&gt;(+)\cdot(+)=(+)&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;(x-2)(x-3)&gt;0&lt;/math&gt;

La disequazione è verificata.

3. Soluzione 

L'insieme soluzione è

&lt;math&gt;x&lt;2 \;\; \text{oppure} \;\; x&gt;3&lt;/math&gt;

In notazione per intervalli

&lt;math&gt;(-\infty,2)\cup(3,+\infty)&lt;/math&gt;

Poiché la disequazione è stretta

&lt;math&gt;x^2-5x+6&gt;0&lt;/math&gt;

i punti

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=3&lt;/math&gt;

non appartengono alla soluzione.


```

==16° &lt;math&gt;\begin{cases}
-x(x+2)&gt;-2\\
\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52
\end{cases}&lt;/math&gt;==

Per la prima disequazione:


Sviluppo:

&lt;math&gt;-x^2-2x&gt;-2&lt;/math&gt;

Porto tutto a sinistra:

&lt;math&gt;-x^2-2x+2&gt;0&lt;/math&gt;

Moltiplico per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; invertendo il verso:

&lt;math&gt;x^2+2x-2&lt;0&lt;/math&gt;

Calcolo delle radici:

&lt;math&gt;x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=-1\pm\sqrt3&lt;/math&gt;

Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici.

Soluzione:

&lt;math&gt;-1-\sqrt3&lt;x&lt;-1+\sqrt3&lt;/math&gt;

Seconda disequazione 

&lt;math&gt;\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52&lt;/math&gt;

Semplifico il secondo membro:

&lt;math&gt;-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplico per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x\le6x&lt;/math&gt;

Porto tutto a sinistra:

&lt;math&gt;-5x\le0&lt;/math&gt;

Moltiplico per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; invertendo il verso:

&lt;math&gt;5x\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x\ge0&lt;/math&gt;

Sistema 

Intersezione:

&lt;math&gt;-1-\sqrt3&lt;x&lt;-1+\sqrt3&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;x\ge0&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;-1+\sqrt3\approx0.732&lt;/math&gt;

la soluzione del sistema è

&lt;math&gt;0\le x&lt;-1+\sqrt3&lt;/math&gt;

Soluzione finale

&lt;math&gt;{\,0\le x&lt;-1+\sqrt3\,}&lt;/math&gt;


==17° &lt;math&gt;\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}&lt;/math&gt;==

Condizione di esistenza:

&lt;math&gt;a\neq 0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0&lt;/math&gt;

Scomponiamo la prima frazione:

&lt;math&gt;\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1&lt;/math&gt;

Otteniamo:

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo la seconda frazione:

&lt;math&gt;\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1&lt;/math&gt;

Sostituendo:

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini noti:

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0&lt;/math&gt;

Riduciamo i termini in &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;3a^2&lt;/math&gt; (positivo perché &lt;math&gt;a^2&gt;0&lt;/math&gt;):

&lt;math&gt;3x^2-7ax-6a^2\le 0&lt;/math&gt;

Risolviamo l'equazione associata:

&lt;math&gt;3x^2-7ax-6a^2=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=49a^2+72a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=121a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=11|a|&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{7a\pm11|a|}{6}&lt;/math&gt;

Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_1=-\frac{2a}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=3a&lt;/math&gt;

La disequazione è

&lt;math&gt;3x^2-7ax-6a^2\le0&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto.

Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici.

Soluzione finale:

&lt;math&gt;-\frac{2a}{3}\le x\le 3a&lt;/math&gt;

con la condizione

&lt;math&gt;a\neq0&lt;/math&gt;.


== 18°  &lt;math&gt;(3x-5)^2&gt;12x-5&lt;/math&gt;==

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(3x-5)^2=9x^2-30x+25&lt;/math&gt;

Otteniamo:

&lt;math&gt;9x^2-30x+25&gt;12x-5&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;9x^2-30x-12x+25+5&gt;0&lt;/math&gt;

Riduciamo i termini simili:

&lt;math&gt;9x^2-42x+30&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo il fattore comune &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3(3x^2-14x+10)&gt;0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;3&gt;0&lt;/math&gt;, possiamo dividere entrambi i membri per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x^2-14x+10&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=196-120=76&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;\sqrt{76}=2\sqrt{19}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici.

Soluzione:

&lt;math&gt;x&lt;\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x&gt;\frac{7+\sqrt{19}}{3}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)&lt;/math&gt;


==19° &lt;math&gt;
9x^2-25&lt;0
&lt;/math&gt;==

&lt;math&gt;
9x^2-25=(3x)^2-5^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3x-5)(3x+5)&lt;0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
3x-5=0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
3x=5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=\frac{5}{3}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
3x+5=0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
3x=-5
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=-\frac{5}{3}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\begin{array}{c|ccc}
x &amp; (-\infty,-\frac{5}{3}) &amp; (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) &amp; (\frac{5}{3},+\infty)\\
\hline
3x-5 &amp; - &amp; - &amp; +\\
3x+5 &amp; - &amp; + &amp; +\\
(3x-5)(3x+5) &amp; + &amp; - &amp; +
\end{array}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(3x-5)(3x+5)&lt;0
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
-\frac{5}{3}&lt;x&lt;\frac{5}{3}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)
&lt;/math&gt;


== 20°  &lt;math&gt;
\begin{cases}
x^2-5x+6 \geq 0 \\
x^2-4 &lt; 0
\end{cases}
&lt;/math&gt; ==

Risolviamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione 

Abbiamo:

&lt;math&gt;
x^2-5x+6 \geq 0
&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere:

&lt;math&gt;
(x-2)(x-3)\geq0
&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri del prodotto:

&lt;math&gt;
x-2=0 \Rightarrow x=2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x-3=0 \Rightarrow x=3
&lt;/math&gt;

La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; è positivo.

Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi:

&lt;math&gt;
x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3
&lt;/math&gt;

La soluzione della prima disequazione è:

&lt;math&gt;
S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty)
&lt;/math&gt;

Seconda disequazione 

Abbiamo:

&lt;math&gt;
x^2-4&lt;0
&lt;/math&gt;

Scomponiamo come differenza di quadrati:

&lt;math&gt;
x^2-4=(x-2)(x+2)
&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;
(x-2)(x+2)&lt;0
&lt;/math&gt;

Gli zeri sono:

&lt;math&gt;
x-2=0 \Rightarrow x=2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x+2=0 \Rightarrow x=-2
&lt;/math&gt;

La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri:

&lt;math&gt;
-2&lt;x&lt;2
&lt;/math&gt;

La soluzione della seconda disequazione è:

&lt;math&gt;
S_2=(-2,2)
&lt;/math&gt;

Intersezione delle soluzioni 

Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente:

&lt;math&gt;
S=S_1\cap S_2
&lt;/math&gt;

Sostituiamo gli insiemi trovati:

&lt;math&gt;
S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2)
&lt;/math&gt;

Consideriamo i due intervalli:

&lt;math&gt;
(-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2)
&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;
[3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing
&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione finale del sistema è:

&lt;math&gt;
S=(-2,2)
&lt;/math&gt;

Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo:

&lt;math&gt;
-2&lt;x&lt;2
&lt;/math&gt;


```

```


```


```

```


```

```</text>
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  </page>
  <page>
    <title>Discussione dei problemi di secondo grado</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>287080</id>
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      <timestamp>2026-09-02T05:50:36Z</timestamp>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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'''(13 esercizi)'''

==Esercizi sui problemi di secondo grado con IA==

La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, come ad esempio nel tipo:

&lt;math&gt;\,\,(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;     

dove il parametro m deve essere valutato affinchè l'equazione abbia radici reali.

In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 10 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio.

Nell'insieme degli esercizi sono stati sviluppati e discussi da IA alcuni classici problemi di geometria piana.

Le funzioni ai titoli possono essere caricate in IA sia in Basic che in discorsivo.


==1^ &lt;math&gt;\,\,9x^2+1= mx&lt;/math&gt; ==

risolvere in m affinche ammetta radici reali

Svolgimento 

Portiamo l'equazione nella forma canonica:

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado con:

&lt;math&gt;a=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt;

Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta \ge 0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

Imponiamo la condizione:

&lt;math&gt;m^2-36\ge0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m^2\ge36&lt;/math&gt;

Estraendo la radice:

&lt;math&gt;|m|\ge6&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi:

&lt;math&gt;m\le-6&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\ge6&lt;/math&gt;

Risultato 

L'equazione

&lt;math&gt;9x^2+1=mx&lt;/math&gt;

ha radici reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.


==2^  &lt;math&gt;\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt; ==

Determinare per quali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; l'equazione ammette soluzioni reali.

Svolgimento 

Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero.

I coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m-1)=1-m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-7&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(1-m)^2-32(m-7)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il quadrato:

&lt;math&gt;(1-m)^2=m^2-2m+1&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=m^2-2m+1-32m+224&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-34m+225&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare:

&lt;math&gt;m^2-34m+225\ge0&lt;/math&gt;

Studiamo il trinomio.

Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata:

&lt;math&gt;\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=1156-900&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta'=256&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sqrt{256}=16&lt;/math&gt;

Le radici sono:

&lt;math&gt;m=\frac{34-16}{2}=9&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{34+16}{2}=25&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;m^2-34m+225=(m-9)(m-25)&lt;/math&gt;

Si deve quindi risolvere la disequazione:

&lt;math&gt;(m-9)(m-25)\ge0&lt;/math&gt;

Con il metodo dei segni si ottiene:

* &lt;math&gt;m\le9&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;9\le m\le25&lt;/math&gt; il prodotto è negativo.
* &lt;math&gt;m\ge25&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione è:

&lt;math&gt;m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25&lt;/math&gt;

Risposta 

L'equazione

&lt;math&gt;8x^2-(m-1)x+m-7=0&lt;/math&gt;

ammette soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.&lt;/math&gt;


== 3^    &lt;math&gt;\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m&lt;/math&gt; ==


Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza:

&lt;math&gt;2x+3\ne0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;.

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2x+3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;3x+m=(x-m)(2x+3)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il prodotto:

&lt;math&gt;3x+m=2x^2+3x-2mx-3m&lt;/math&gt;

Portiamo tutti i termini al primo membro:

&lt;math&gt;3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;-2x^2+2mx+4m=0&lt;/math&gt;

e, moltiplicando per &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; e dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x^2-mx-2m=0&lt;/math&gt;.

Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con

&lt;math&gt;a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m&lt;/math&gt;.

Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m(m+8)&lt;/math&gt;.

Imponiamo quindi

&lt;math&gt;m(m+8)\ge0&lt;/math&gt;.

Il prodotto è non negativo per

&lt;math&gt;m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0&lt;/math&gt;.

Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}&lt;/math&gt;.

Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}&lt;/math&gt;.


Per &lt;math&gt;m=-8&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{-8}{2}=-4&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; si ha una radice doppia:

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.

Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza &lt;math&gt;x\ne-\frac32&lt;/math&gt;. La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; si verifica quando

&lt;math&gt;\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94+\frac32m-2m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac94-\frac12m=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac92&lt;/math&gt;, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono

&lt;math&gt;x_1=6,\qquad x_2=-\frac32&lt;/math&gt;.

La radice &lt;math&gt;x=-\frac32&lt;/math&gt; non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre &lt;math&gt;x=6&lt;/math&gt; è valida.

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida.

Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente.


==4^   &lt;math&gt;\,\,(mx+1)(x-2)+m=0&lt;/math&gt;  ==

Sviluppiamo i prodotti:

&lt;math&gt;mx^2-2mx+x-2+m=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini rispetto a &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; si tratta di un'equazione di secondo grado, con:

&lt;math&gt;a=m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=1-2m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m-2&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=1+4m&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;1+4m\geq0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;4m\geq-1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;

Dobbiamo però distinguere il caso &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado.

Se &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt;, l'equazione diventa:

&lt;math&gt;(0x+1)(x-2)+0=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-2=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Pertanto &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; ammette comunque una radice reale.

Per &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt;, quando &lt;math&gt;m\geq-\frac14&lt;/math&gt;, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}&lt;/math&gt;

Nel caso limite &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; il discriminante è nullo:

&lt;math&gt;\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0&lt;/math&gt;

quindi esiste una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{m\geq-\frac14}&lt;/math&gt;

sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale.

Per &lt;math&gt;m&gt;-\frac14&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m\neq0&lt;/math&gt; ci sono due radici reali distinte:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-\frac14&lt;/math&gt; c'è una radice reale doppia:

Per &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; l'equazione diventa lineare e ha la radice:

&lt;math&gt;{x=2}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m&lt;-\frac14&lt;/math&gt; non ci sono radici reali.


== 5^   &lt;math&gt; \, \, 9x^2+1=mx&lt;/math&gt;==

Portando tutti i termini al primo membro si ottiene

&lt;math&gt;9x^2-mx+1=0&lt;/math&gt;

Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, con coefficienti

&lt;math&gt;a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1&lt;/math&gt;

Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2-36&lt;/math&gt;

La condizione per avere radici reali è dunque

&lt;math&gt;m^2-36\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2\geq36&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;|m|\geq6&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto, i valori reali di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; per i quali l'equazione ammette radici reali sono

&lt;math&gt;{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}&lt;/math&gt;

Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha una radice reale doppia:

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac{1}{3}&lt;/math&gt;


== Pr1. Problema  di geometria risolto e discusso da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

Dato un triangolo equilatero di lato &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo.

A seguire la  risposta di IA:

=== Impostazione ===

Il perimetro del triangolo equilatero è

&lt;math&gt;P_T=3l.&lt;/math&gt;

Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi

&lt;math&gt;P_R=mP_T=3ml.&lt;/math&gt;

Indichiamo con &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la base del rettangolo e con &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; la sua altezza.

Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo.

La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha

&lt;math&gt;\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).&lt;/math&gt;

=== Condizione sul perimetro ===

Il perimetro del rettangolo è

&lt;math&gt;P_R=2(x+y).&lt;/math&gt;

Imponendo che esso sia &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; volte il perimetro del triangolo, si ottiene

&lt;math&gt;2(x+y)=3ml.&lt;/math&gt;

Sostituendo l'espressione dell'altezza,

&lt;math&gt;2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.&lt;/math&gt;

Pertanto la base del rettangolo è

&lt;math&gt;x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando il denominatore,

&lt;math&gt;x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Sviluppando,

&lt;math&gt;x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.&lt;/math&gt;

=== Determinazione dell'altezza ===

Dalla relazione

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].&lt;/math&gt;

Semplificando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.&lt;/math&gt;

Razionalizzando,

&lt;math&gt;y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

=== Condizioni di esistenza ===

Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni

&lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y&gt;0.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;y&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;2-3m&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&lt;\frac{2}{3}.&lt;/math&gt;

Dalla condizione &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; segue

&lt;math&gt;3m-\sqrt{3}&gt;0,&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m&gt;\frac{\sqrt{3}}{3}.&lt;/math&gt;

Pertanto il rettangolo non degenere esiste per

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;

Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per

&lt;math&gt;m=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;

e, per

&lt;math&gt;m=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;y=0.&lt;/math&gt;

=== Risultato ===

Il rettangolo inscritto ha dimensioni

&lt;math&gt;{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.&lt;/math&gt;

Equivalentemente,

&lt;math&gt;{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.&lt;/math&gt;

Le dimensioni sono positive se e solo se

&lt;math&gt;{\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;m&lt;\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;


== Pr2.  Problema  di geometria risolto e discusso da IA ==

=== Il testo ===

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a).
Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo.
Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y).

A seguire la  risposta di IA:

Essendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; la base minore, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; la base maggiore, &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; la differenza delle basi e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; l'altezza.

Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha:

&lt;math&gt;x=b-a&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+y^2=(2a)^2=4a^2&lt;/math&gt;

Il perimetro è:

&lt;math&gt;a+b+2a+y=(m+4)a&lt;/math&gt;

da cui:

&lt;math&gt;b+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a+x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a+x+y=(m+1)a&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=ma&lt;/math&gt;

Abbiamo dunque il sistema:

&lt;math&gt;\begin{cases}x+y=ma \\ x^2  y^2=4a^2\end{cases}&lt;/math&gt;    

Elevando al quadrato la prima equazione:

&lt;math&gt;(x+y)^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^2+2xy+y^2=m^2a^2&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;x^2+y^2=4a^2&lt;/math&gt;, si ottiene:

&lt;math&gt;4a^2+2xy=m^2a^2&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;xy=\frac{m^2-4}{2}a^2&lt;/math&gt;

A questo punto &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sono le radici dell'equazione di secondo grado:

&lt;math&gt;t^2-(x+y)t+xy=0&lt;/math&gt;

cioè:

&lt;math&gt;t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)&lt;/math&gt;

Le due quantità &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore.

Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere:

&lt;math&gt;2&lt;m\leq2\sqrt2&lt;/math&gt;

Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è:

&lt;math&gt;{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}&lt;/math&gt;


==6^   &lt;math&gt;\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0&lt;/math&gt;==

Confrontiamo l'equazione data con la forma generale

&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-2(2m+1)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=m^2-m+3&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]&lt;/math&gt;

Sviluppando i quadrati:

&lt;math&gt;\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=4(3m^2+5m-2)&lt;/math&gt;

Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(3m-1)(m+2)&lt;/math&gt;

Per avere soluzioni reali deve essere

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;4(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;(3m-1)(m+2)\geq0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)&lt;/math&gt;

Per tali valori di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, applichiamo la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13&lt;/math&gt;.

Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia.

Per &lt;math&gt;m=-2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2(-2)+1=-3&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=-3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=\frac13&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;x_1=x_2=\frac53&lt;/math&gt;

In conclusione:

&lt;math&gt;m&lt;-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-2&lt;m&lt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m&gt;\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}&lt;/math&gt;


==7^  &lt;math&gt;\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0&lt;/math&gt;==

Consideriamo l'equazione con parametro reale &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;.

I coefficienti dell'equazione sono

&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m+2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=3m-2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti:

&lt;math&gt;\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;\Delta=m^2+4m+4-12m+8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-8m+12&lt;/math&gt;

Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=(m-2)(m-6)&lt;/math&gt;

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori di &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni sono

&lt;math&gt;x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;(m-2)(m-6)\geq0&lt;/math&gt;

Da cui si ottiene

&lt;math&gt;m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto:

* se &lt;math&gt;m&lt;2&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;m&gt;6&lt;/math&gt;, l'equazione ha due soluzioni reali distinte;
* se &lt;math&gt;m=2&lt;/math&gt;, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{2+2}{2}=2&lt;/math&gt;

* se &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt;, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{6+2}{2}=4&lt;/math&gt;

* se &lt;math&gt;2&lt;m&lt;6&lt;/math&gt;, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali.

In conclusione, le soluzioni sono

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}&lt;/math&gt;

con soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;.


== 8^ &lt;math&gt;\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0&lt;/math&gt;==


Confrontiamo l'equazione data con la forma generale

&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;a=4&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m+1)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=2-m&lt;/math&gt;

Il discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori di &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(m+1)^2-16(2-m)&lt;/math&gt;

Sviluppando:

&lt;math&gt;\Delta=m^2+2m+1-32+16m&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\Delta=m^2+18m-31&lt;/math&gt;

La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo i valori trovati:

&lt;math&gt;x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono

&lt;math&gt;x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}&lt;/math&gt;

Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;m^2+18m-31\geq0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;m^2+18m-31=0&lt;/math&gt;

Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sqrt{448}=8\sqrt{7}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;m=-9\pm4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

Essendo il coefficiente di &lt;math&gt;m^2&lt;/math&gt; positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;m&lt;-9-4\sqrt{7}&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;m&gt;-9+4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte:

&lt;math&gt;x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}&lt;/math&gt;

Per

&lt;math&gt;m=-9-4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m=-9+4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\Delta=0&lt;/math&gt;

e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia:

&lt;math&gt;x=\frac{m+1}{8}&lt;/math&gt;

Infine, per

&lt;math&gt;-9-4\sqrt{7}&lt;m&lt;-9+4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;\Delta&lt;0&lt;/math&gt;

e l'equazione non ha soluzioni reali.

In conclusione:

&lt;math&gt;{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}&lt;/math&gt;

con soluzioni reali se e solo se

&lt;math&gt;m\leq-9-4\sqrt{7}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;m\geq-9+4\sqrt{7}&lt;/math&gt;.


== 9 ^    &lt;math&gt;\, \,x^2-(m+2)x+3m-2=0&lt;/math&gt;==


Data l'equazione di secondo grado nella variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, i coefficienti sono:

&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=-(m+2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=3m-2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

Sostituendo i coefficienti si ottiene

&lt;math&gt;\Delta=(-(m+2))^2-4(1)(3m-2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)&lt;/math&gt;

Sviluppando i calcoli:

&lt;math&gt;\Delta=m^2+4m+4-12m+8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=m^2-8m+12&lt;/math&gt;

Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=(m-2)(m-6)&lt;/math&gt;

Le soluzioni dell'equazione si ottengono mediante la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi le due soluzioni, quando sono reali e distinte, sono

&lt;math&gt;x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

ossia

&lt;math&gt;(m-2)(m-6)\geq0&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6&lt;/math&gt;

Pertanto:

* se &lt;math&gt;m&lt;2&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;m&gt;6&lt;/math&gt;, l'equazione ha due soluzioni reali e distinte;
* se &lt;math&gt;m=2&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt;, l'equazione ha una soluzione reale doppia;
* se &lt;math&gt;2&lt;m&lt;6&lt;/math&gt;, l'equazione non ha soluzioni reali.

Per &lt;math&gt;m=2&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;x=\frac{2+2}{2}=2&lt;/math&gt;

quindi la soluzione doppia è

&lt;math&gt;x=2&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=6&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;x=\frac{6+2}{2}=4&lt;/math&gt;

quindi la soluzione doppia è

&lt;math&gt;x=4&lt;/math&gt;

In conclusione, le soluzioni reali dell'equazione sono

&lt;math&gt;x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}&lt;/math&gt;

con condizione di realtà

&lt;math&gt;m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)&lt;/math&gt;


== 10 ^  &lt;math&gt; \, \, x^2-2mx+m+2=0&lt;/math&gt;==

Perché l'equazione data abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero:

&lt;math&gt;\Delta\geq0&lt;/math&gt;

Il discriminante dell'equazione è:

&lt;math&gt;\Delta=(-2m)^2-4(m+2)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=4m^2-4m-8&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\Delta=4(m^2-m-2)&lt;/math&gt;

Scomponendo il trinomio:

&lt;math&gt;\Delta=4(m-2)(m+1)&lt;/math&gt;

Imponiamo quindi:

&lt;math&gt;4(m-2)(m+1)\geq0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;4&gt;0&lt;/math&gt;, è sufficiente risolvere:

&lt;math&gt;(m-2)(m+1)\geq0&lt;/math&gt;

Gli zeri sono:

&lt;math&gt;m=2&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;m=-1&lt;/math&gt;

Lo studio del segno dà:

&lt;math&gt;m\leq-1\quad\lor\quad m\geq2&lt;/math&gt;

Pertanto l'equazione ha radici reali per:

&lt;math&gt;m\in(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;m=-1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;m=2&lt;/math&gt; il discriminante è nullo e quindi l'equazione ha una radice reale doppia.

Per &lt;math&gt;m&lt;-1&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;m&gt;2&lt;/math&gt; il discriminante è positivo e quindi l'equazione ha due radici reali distinte.

Per &lt;math&gt;-1&lt;m&lt;2&lt;/math&gt; il discriminante è negativo e quindi l'equazione non ha radici reali.


==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA==

'''Il testo'''

Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema:

In un triangolo rettangolo è data la somma (l) dei due cateti e l’altezza (m) relativa all’ipotenusa.
Calcolare i due lati del triangolo mettendo in evidenza il campo di variabilità di (m) affinché il problema ammetta soluzioni

Siano &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; i due cateti e &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; e l'altezza &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; relativa all'ipotenusa.

Si ha quindi

&lt;math&gt;a+b=l&lt;/math&gt;

e, per il teorema di Pitagora,

&lt;math&gt;c^2=a^2+b^2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;(a+b)^2=a^2+b^2+2ab&lt;/math&gt;,

segue che

&lt;math&gt;l^2=c^2+2ab&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;c^2=l^2-2ab&lt;/math&gt;.

L'area del triangolo può essere espressa in due modi:

&lt;math&gt;A=\frac{ab}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;A=\frac{cm}{2}&lt;/math&gt;.

Uguagliando le due espressioni si ottiene

&lt;math&gt;ab=cm&lt;/math&gt;.

Elevando al quadrato:

&lt;math&gt;a^2b^2=c^2m^2&lt;/math&gt;.

Ponendo

&lt;math&gt;x=ab&lt;/math&gt;,

e sostituendo &lt;math&gt;c^2=l^2-2ab=l^2-2x&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;x^2=m^2(l^2-2x)&lt;/math&gt;.

Sviluppando:

&lt;math&gt;x^2+2m^2x-m^2l^2=0&lt;/math&gt;.

Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Applicando la formula risolutiva:

&lt;math&gt;x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}&lt;/math&gt;.

Pertanto

&lt;math&gt;x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;x=ab&gt;0&lt;/math&gt;, si deve scegliere il segno positivo:

&lt;math&gt;ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)&lt;/math&gt;.

A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione

&lt;math&gt;t^2-lt+ab=0&lt;/math&gt;.

Sostituendo il valore trovato per &lt;math&gt;ab&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0&lt;/math&gt;.

Le due soluzioni sono quindi

&lt;math&gt;t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}&lt;/math&gt;.

Pertanto i due cateti sono

&lt;math&gt;a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}&lt;/math&gt;.

Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti.

Per determinare il campo di variabilità di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, il radicando deve essere non negativo:

&lt;math&gt;l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0&lt;/math&gt;.

Equivalentemente, poiché &lt;math&gt;ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;ab\leq\frac{l^2}{4}&lt;/math&gt;.

Dalla relazione

&lt;math&gt;ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)&lt;/math&gt;

si ottiene il valore massimo di &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; quando i due cateti sono uguali, cioè

&lt;math&gt;a=b=\frac{l}{2}&lt;/math&gt;.

In questo caso l'ipotenusa vale

&lt;math&gt;c=\frac{l}{\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è

&lt;math&gt;m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;.

Poiché &lt;math&gt;m&gt;0&lt;/math&gt;, il campo di variabilità è

&lt;math&gt;0&lt;m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;m=\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt; si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali:

&lt;math&gt;a=b=\frac{l}{2}&lt;/math&gt;.

Per

&lt;math&gt;0&lt;m&lt;\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti.

Per

&lt;math&gt;m&gt;\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

il problema non ammette soluzioni reali.

In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se

&lt;math&gt;0&lt;m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;,

e, in tale intervallo, i due cateti sono

&lt;math&gt;a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Le serie</title>
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      <timestamp>2026-09-02T06:01:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
        <id>24136</id>
      </contributor>
      <comment>/* Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer */</comment>
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== Esercitazioni sulle serie sviluppati con IA e con il personal computer==

Da IA, cosa sono ler serie: 

Le **serie matematiche** sono somme di infiniti termini, scritte in forma del tipo:

**a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …**

Si studia se la somma dei termini tende a un **numero finito** oppure cresce senza limite. Nel primo caso si dice che la serie **converge**, nel secondo che **diverge**.

=== Premessa===

Le caratteristiche delle funzioni delle quali si deve determinare lo sviluppo in serie, ad esempio la prima:'''(Calcolo di 5 addendi della  serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)''', sono raccolte nei titoli dei singoli esercizi pronte da copiare ed incollare su IA.

In fasi successive, per altri esercizi, si possono variare i dati in base alle esigenze, i dati sono: la funzione da  sviluppare, l'argomento x, il numero di addendi che si vogliono contabilizzare.


'''(20 esercizi)'''

Gli esercizi comprendono tre tipologie di seie:

delle funzioni trascendenti

delle funzioni trasformabili con la serie di Fourier

delle funzioni binomiali

miscelanea di funzioni

La voce contiene 20 esercizi.

=='''(esercizi sulle funzioni trascendenti)'''==

== 1°  Calcolo di 5 addendi della  serie per Sen x ; (x = 0.1 radianti)==

A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha:

Calcolo della serie di Taylor di &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; per &lt;math&gt;x=0,1&lt;/math&gt;, utilizzando i primi 5 termini

La serie di Taylor (Maclaurin) della funzione seno è:

&lt;math&gt;\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=0,1&lt;/math&gt; si sostituisce il valore nella serie:

&lt;math&gt;\sin(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^3}{3!}+\frac{(0,1)^5}{5!}-\frac{(0,1)^7}{7!}+\frac{(0,1)^9}{9!}&lt;/math&gt;

I 5 addendi sono:

&lt;math&gt;a_1=0,1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_2=-\frac{(0,1)^3}{3!}=-\frac{0,001}{6}=-0,0001666666666667&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_3=\frac{(0,1)^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}=0,0000000833333333&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_4=-\frac{(0,1)^7}{7!}=-\frac{0,0000001}{5040}=-0,00000000001984127&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_5=\frac{(0,1)^9}{9!}=\frac{0,000000001}{362880}=0,00000000000000275573&lt;/math&gt;

La somma dei 5 addendi è:

&lt;math&gt;S_5=0,1-0,0001666666666667+0,0000000833333333-0,00000000001984127+0,00000000000000275573&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_5\approx0,0998334166468282&lt;/math&gt;

Il valore della funzione seno è:

&lt;math&gt;\sin(0,1)\approx0,0998334166468282&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 5 termini, si ottiene già un'approssimazione molto precisa.

Per verificare la convergenza, consideriamo il termine generale:

&lt;math&gt;a_n=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=0,1&lt;/math&gt; il rapporto tra i valori assoluti di due termini consecutivi è:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;x=0,1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0,01}{(2n+2)(2n+3)}&lt;/math&gt;

Questo rapporto tende a zero per &lt;math&gt;n\to\infty&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0&lt;1&lt;/math&gt;

Pertanto la serie non diverge: è convergente. In realtà, la serie di Taylor del seno converge per ogni valore reale di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Conclusione:

&lt;math&gt;\sin(0,1)\approx0,0998334166468282&lt;/math&gt;

La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto.


== 2°  Calcolo di 5 addendi della  serie per Cos x ; (x = 0.15 radianti)==

A seguito di copia e incolla del titolo in IA si ha:

Calcolo dei primi 5 addendi della serie di Taylor per &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;, con &lt;math&gt;x=0,15&lt;/math&gt; radianti.

&lt;math&gt;\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;x=0,15&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos(0,15)=1-\frac{(0,15)^2}{2!}+\frac{(0,15)^4}{4!}-\frac{(0,15)^6}{6!}+\frac{(0,15)^8}{8!}&lt;/math&gt;

Calcoliamo i singoli termini:

&lt;math&gt;(0,15)^2=0,0225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0,15)^4=0,00050625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0,15)^6=0,000011390625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0,15)^8=0,0000002562890625&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos(0,15)=1-\frac{0,0225}{2}+\frac{0,00050625}{24}-\frac{0,000011390625}{720}+\frac{0,0000002562890625}{40320}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos(0,15)=1-0,01125+0,00002109375-0,0000000158203125+0,000000000006356&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos(0,15)=0,988771077936&lt;/math&gt;

Risultato numerico:

&lt;math&gt;\cos(0,15)\approx0,988771077936&lt;/math&gt;

La serie non è divergente, ma convergente, e i 5 termini richiesti forniscono già un risultato praticamente uguale al valore esatto.


== 3°  Calcolo di 7 addendi della  serie per Tang x ; (x = 0.05 radianti)==
&lt;math&gt;\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} + \cdots&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=0.05&lt;/math&gt; radianti, calcoliamo i primi 7 addendi:

&lt;math&gt;x=0.05&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^3=(0.05)^3=0.000125&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^5=(0.05)^5=0.0000003125&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^7=(0.05)^7=0.00000000078125&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^9=(0.05)^9=0.000000000001953125&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^{11}=(0.05)^{11}=0.0000000000000048828125&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x^{13}=(0.05)^{13}=0.00000000000000001220703125&lt;/math&gt;

Primo addendo:

&lt;math&gt;a_1=x=0.05&lt;/math&gt;

Secondo addendo:

&lt;math&gt;a_2=\frac{x^3}{3}=\frac{0.000125}{3}=0.0000416666666666667&lt;/math&gt;

Terzo addendo:

&lt;math&gt;a_3=\frac{2x^5}{15}=\frac{2(0.0000003125)}{15}=0.0000000416666666666667&lt;/math&gt;

Quarto addendo:

&lt;math&gt;a_4=\frac{17x^7}{315}=\frac{17(0.00000000078125)}{315}=0.0000000000421626984126984&lt;/math&gt;

Quinto addendo:

&lt;math&gt;a_5=\frac{62x^9}{2835}=\frac{62(0.000000000001953125)}{2835}=0.0000000000000427141093474427&lt;/math&gt;

Sesto addendo:

&lt;math&gt;a_6=\frac{1382x^{11}}{155925}=\frac{1382(0.0000000000000048828125)}{155925}\approx0.000000000000000043278&lt;/math&gt;

Settimo addendo:

&lt;math&gt;a_7=\frac{21844x^{13}}{6081075}=\frac{21844(0.00000000000000001220703125)}{6081075}\approx0.00000000000000000004385&lt;/math&gt;

La somma dei 7 addendi è quindi:

&lt;math&gt;\tan(0.05)\approx a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan(0.05)\approx0.05+0.0000416666666666667+0.0000000416666666666667+0.0000000000421626984126984+0.0000000000000427141093474427+0.000000000000000043278+0.00000000000000000004385&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan(0.05)\approx0.0500417083755388&lt;/math&gt;

Quindi, utilizzando i primi 7 addendi della serie di Taylor:

&lt;math&gt;\tan(0.05)\approx0.0500417083755388&lt;/math&gt;

La serie è convergente.


== 4°  Calcolo di 4 addendi della  serie per arcsin x ; (x = 0.6 radianti)==

&lt;math&gt;
\arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
x=0.6
&lt;/math&gt;

Calcoliamo i primi quattro addendi, cioè per &lt;math&gt;n=0,1,2,3&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;
\arcsin(0.6)\approx
0.6+\frac{0.6^3}{6}+\frac{3(0.6)^5}{40}+\frac{5(0.6)^7}{112}
&lt;/math&gt;

Primo addendo:

&lt;math&gt;
a_0=0.6
&lt;/math&gt;

Secondo addendo:

&lt;math&gt;
a_1=\frac{0.6^3}{6}=\frac{0.216}{6}=0.036
&lt;/math&gt;

Terzo addendo:

&lt;math&gt;
a_2=\frac{3(0.6)^5}{40}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(0.6)^5=0.07776
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
a_2=\frac{3(0.07776)}{40}=0.005832
&lt;/math&gt;

Quarto addendo:

&lt;math&gt;
a_3=\frac{5(0.6)^7}{112}
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
(0.6)^7=0.0279936
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
a_3=\frac{5(0.0279936)}{112}\approx0.0012497143
&lt;/math&gt;

Somma dei quattro addendi:

&lt;math&gt;
S_4=0.6+0.036+0.005832+0.0012497143
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
S_4\approx0.6430817143
&lt;/math&gt;

Il valore della funzione è:

&lt;math&gt;
\arcsin(0.6)\approx0.6435011088
&lt;/math&gt;

Pertanto, usando soltanto i primi quattro addendi, si ottiene l'approssimazione:

&lt;math&gt;
\arcsin(0.6)\approx0.6430817143
&lt;/math&gt;

con errore approssimativo:

&lt;math&gt;
0.6435011088-0.6430817143\approx0.0004193945
&lt;/math&gt;

Per quanto riguarda la convergenza, la serie di &lt;math&gt;\arcsin(x)&lt;/math&gt; converge per:

&lt;math&gt;
|x|\leq1
&lt;/math&gt;

e quindi, poiché:

&lt;math&gt;
|0.6|&lt;1
&lt;/math&gt;

la serie converge per &lt;math&gt;x=0.6&lt;/math&gt;.

Conclusione:

&lt;math&gt;
{\text{La serie converge e i primi quattro addendi danno }S_4\approx0.6430817143}
&lt;/math&gt;


== 5°  Calcolo di 6 addendi della  serie per arctan x ; (x = 0.25  radianti)==


La serie di Taylor di arctan(x) centrata in 0 è:

&lt;math&gt;\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\cdots&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=0.25&lt;/math&gt;, calcoliamo i primi 6 addendi:

&lt;math&gt;S_6=0.25-\frac{(0.25)^3}{3}+\frac{(0.25)^5}{5}-\frac{(0.25)^7}{7}+\frac{(0.25)^9}{9}-\frac{(0.25)^{11}}{11}&lt;/math&gt;

Calcolo delle potenze:

&lt;math&gt;(0.25)^3=0.015625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0.25)^5=0.0009765625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0.25)^7=0.00006103515625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0.25)^9=0.000003814697265625&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(0.25)^{11}=0.0000002384185791015625&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;S_6=0.25-\frac{0.015625}{3}+\frac{0.0009765625}{5}-\frac{0.00006103515625}{7}+\frac{0.000003814697265625}{9}-\frac{0.0000002384185791015625}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=0.25-0.0052083333333333+0.0001953125-0.0000087193080357+0.0000004238552517-0.0000000216744163&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx0.244978662039&lt;/math&gt;

Il valore della funzione è:

&lt;math&gt;\arctan(0.25)\approx0.244978663127&lt;/math&gt;

L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa:

&lt;math&gt;|\arctan(0.25)-S_6|\approx0.000000001088&lt;/math&gt;

La serie converge perché la serie di Taylor di &lt;math&gt;\arctan(x)&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}&lt;/math&gt;

e converge per &lt;math&gt;|x|\leq1&lt;/math&gt;, con convergenza assoluta per &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;.

Poiché:

&lt;math&gt;|0.25|&lt;1&lt;/math&gt;

la serie converge assolutamente per &lt;math&gt;x=0.25&lt;/math&gt;.

Conclusione:

&lt;math&gt;{\arctan(0.25)\approx0.2449786631}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx0.2449786620&lt;/math&gt;

La serie converge e già con 6 addendi fornisce un'approssimazione molto precisa.


== 6° Calcolo di 4 addendi della serie per sinh x ; (x = 0.25)==


&lt;math&gt;\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=0.25&lt;/math&gt; radianti, calcoliamo i primi quattro addendi della serie:

&lt;math&gt;\sinh(0.25)=\frac{0.25^1}{1!}+\frac{0.25^3}{3!}+\frac{0.25^5}{5!}+\frac{0.25^7}{7!}+\cdots&lt;/math&gt;

Primo addendo:

&lt;math&gt;a_0=\frac{0.25}{1!}=0.25&lt;/math&gt;

Secondo addendo:

&lt;math&gt;a_1=\frac{0.25^3}{3!}=\frac{0.015625}{6}=0.0026041666667&lt;/math&gt;

Terzo addendo:

&lt;math&gt;a_2=\frac{0.25^5}{5!}=\frac{0.0009765625}{120}=0.0000081380208333&lt;/math&gt;

Quarto addendo:

&lt;math&gt;a_3=\frac{0.25^7}{7!}=\frac{0.00006103515625}{5040}=0.00000001211015005&lt;/math&gt;

Sommiamo i quattro addendi:

&lt;math&gt;\sinh(0.25)\approx0.25+0.0026041666667+0.0000081380208333+0.00000001211015005&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sinh(0.25)\approx0.252612316797683&lt;/math&gt;

Per verificare la convergenza, consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;x=0.25&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{0.25^2}{(2n+2)(2n+3)}=\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}&lt;/math&gt;

Calcolando il limite per &lt;math&gt;n\to\infty&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{0.0625}{(2n+2)(2n+3)}=0&lt;/math&gt;

Poiché il limite è minore di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.

&lt;math&gt;{\sinh(0.25)\approx0.2526123168}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\text{La serie converge assolutamente.}}&lt;/math&gt;


== 7° Calcolo di 4 addendi della serie per ln(1+x); (x = 1.23)==


&lt;math&gt;\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=1.23&lt;/math&gt;

I quattro addendi della serie sono:

&lt;math&gt;a_1=1.23&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_2=-\frac{1.23^2}{2}=-0.75645&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_3=\frac{1.23^3}{3}=0.620271&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_4=-\frac{1.23^4}{4}=-0.571299225&lt;/math&gt;

La somma dei primi quattro addendi è:

&lt;math&gt;S_4=1.23-0.75645+0.620271-0.571299225&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_4=0.522521775&lt;/math&gt;

La serie converge se &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;. Per &lt;math&gt;x=1.23&lt;/math&gt; si ha:

&lt;math&gt;|1.23|&gt;1&lt;/math&gt;

quindi la serie di Taylor

&lt;math&gt;\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}&lt;/math&gt;

non converge per &lt;math&gt;x=1.23&lt;/math&gt;.

Infatti, il termine generale non tende a zero:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1.23^n}{n}\right|=\infty&lt;/math&gt;

Pertanto la serie diverge.

Nota: &lt;math&gt;\ln(1+1.23)=\ln(2.23)&lt;/math&gt; esiste, ma la serie di potenze centrata in &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; non può essere utilizzata per calcolarlo direttamente, perché &lt;math&gt;x=1.23&lt;/math&gt; è fuori dal suo raggio di convergenza.


== 8° Calcolo di 7 addendi della serie per ln [(x+1)/(x-1)]  (per x = 2.5)==


&lt;math&gt;\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}+\frac{1}{11x^{11}}+\frac{1}{13x^{13}}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=2.5&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\ln\left(\frac{2.5+1}{2.5-1}\right)=\ln\left(\frac{3.5}{1.5}\right)=\ln\left(\frac{7}{3}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\ln\left(\frac{7}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3(2.5)^3}+\frac{1}{5(2.5)^5}+\frac{1}{7(2.5)^7}+\frac{1}{9(2.5)^9}+\frac{1}{11(2.5)^{11}}+\frac{1}{13(2.5)^{13}}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_1=\frac{2}{2.5}=0.8&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_2=\frac{2}{3(2.5)^3}=\frac{2}{3\cdot15.625}=0.0426666667&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_3=\frac{2}{5(2.5)^5}=\frac{2}{5\cdot97.65625}=0.004096&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_4=\frac{2}{7(2.5)^7}=\frac{2}{7\cdot610.3515625}\approx0.000468208&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_5=\frac{2}{9(2.5)^9}=\frac{2}{9\cdot3814.697265625}\approx0.000058254&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_6=\frac{2}{11(2.5)^{11}}=\frac{2}{11\cdot23841.85791015625}\approx0.000007626&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_7=\frac{2}{13(2.5)^{13}}\approx0.000001032&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_7\approx0.8+0.0426666667+0.004096+0.000468208+0.000058254+0.000007626+0.000001032&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_7\approx0.847297787&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\ln\left(\frac{7}{3}\right)\approx0.847297860&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\left|\ln\left(\frac{7}{3}\right)-S_7\right|\approx7.3\cdot10^{-8}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Quindi la somma dei primi 7 addendi è circa }0.847297787.&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Per studiare la convergenza consideriamo il termine generale }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_n=\frac{2}{(2n+1)x^{2n+1}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{1}{x^2}
=\frac{1}{x^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Per }x=2.5\text{ si ha }&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{(2.5)^2}=\frac{1}{6.25}=0.16&lt;1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Per il criterio del rapporto la serie converge assolutamente.}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\text{La serie converge per }x=2.5.}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\text{Conclusione: la serie converge assolutamente per }x=2.5.&lt;/math&gt;


== 9° Calcolo di 5 addendi della serie per exp x  (per x = 1)==

La serie di Taylor per la funzione esponenziale è

&lt;math&gt;e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; si ottiene

&lt;math&gt;e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}&lt;/math&gt;

Calcoliamo i primi 5 addendi:

&lt;math&gt;\frac{1}{0!}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{1!}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}=0,5&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\approx0,1666667&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}\approx0,0416667&lt;/math&gt;

La somma dei primi 5 addendi è quindi

&lt;math&gt;S_4=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_4=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_4\approx2+0,5+0,1666667+0,0416667&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_4\approx2,7083334&lt;/math&gt;

Il valore esatto della somma è

&lt;math&gt;S_4=\frac{65}{24}&lt;/math&gt;

Per stabilire se la serie converge, consideriamo il termine generale

&lt;math&gt;a_n=\frac{1}{n!}&lt;/math&gt;

e applichiamo il criterio del rapporto:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;0&lt;1&lt;/math&gt;

la serie converge assolutamente.

Quindi, per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;e\approx2,718281828&lt;/math&gt;

I primi 5 addendi danno l'approssimazione

&lt;math&gt;e\approx2,7083333&lt;/math&gt;

La serie è dunque convergente.


== 10° Calcolo di 6 addendi della serie per ln x  (per x = 1,3)==

&lt;math&gt;\ln x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}, \qquad |x-1|&lt;1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=1,3&lt;/math&gt; si ha:

&lt;math&gt;x-1=0,3&lt;/math&gt;

Quindi la serie diventa:

&lt;math&gt;\ln(1,3)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(0,3)^n}{n}&lt;/math&gt;

Calcoliamo i primi 6 addendi:

&lt;math&gt;a_1=\frac{0,3}{1}=0,3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_2=-\frac{0,3^2}{2}=-\frac{0,09}{2}=-0,045&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_3=\frac{0,3^3}{3}=\frac{0,027}{3}=0,009&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_4=-\frac{0,3^4}{4}=-\frac{0,0081}{4}=-0,002025&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_5=\frac{0,3^5}{5}=\frac{0,00243}{5}=0,000486&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_6=-\frac{0,3^6}{6}=-\frac{0,000729}{6}=-0,0001215&lt;/math&gt;

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=0,3-0,045+0,009-0,002025+0,000486-0,0001215&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=0,2623395&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\ln(1,3)\approx0,2623395&lt;/math&gt;

Il valore effettivo è circa:

&lt;math&gt;\ln(1,3)\approx0,262364264&lt;/math&gt;

L'errore commesso usando i primi 6 addendi è quindi circa:

&lt;math&gt;|0,262364264-0,2623395|\approx0,000024764&lt;/math&gt;

La serie converge perché è una serie a termini alterni del tipo:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{0,3^n}{n}&lt;/math&gt;

e i termini in valore assoluto tendono a zero:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\frac{0,3^n}{n}=0&lt;/math&gt;

Inoltre, poiché:

&lt;math&gt;|0,3|&lt;1&lt;/math&gt;

la serie converge assolutamente, infatti:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}0,3^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,3^n}{n}&lt;/math&gt;

converge.

Conclusione:

&lt;math&gt;{\ln(1,3)\text{ converge}}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{S_6=0,2623395}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;{\ln(1,3)\approx0,262364264}&lt;/math&gt;


=='''(esercizi con le serie di Fourier)'''==

== 11° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) =  +A  per 0 &lt; t &lt; T/2 ;  -A per T/2 &lt; t &lt; T  ==

Si tratta di un'onda periodica rettangolare di ampiezza +A , -A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier.


Consideriamo la funzione periodica di periodo &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;  e ampiezza &lt;math&gt;A &lt;/math&gt; definita nell'intervallo &lt;math&gt;(0,T)&lt;/math&gt; da

&lt;math&gt;
\begin{cases} 
+A \  per \ 0 &lt; t &lt; T/2\\
-A \ per \ T/2 &lt; t &lt; T
\end{cases}
&lt;/math&gt;


La serie di Fourier nella forma trigonometrica è

&lt;math&gt;y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]&lt;/math&gt;

dove la pulsazione fondamentale è

&lt;math&gt;\omega_0=\frac{2\pi}{T}&lt;/math&gt;

Calcolo del termine medio

Il coefficiente &lt;math&gt;a_0&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;a_0=\frac{2}{T}\int_0^T y(t),dt&lt;/math&gt;

Sostituendo la definizione della funzione,

&lt;math&gt;a_0=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A,dt+\int_{T/2}^T(-A),dt\right]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_0=\frac{2}{T}\left[A\frac{T}{2}-A\left(T-\frac{T}{2}\right)\right]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;a_0=\frac{2}{T}\left[\frac{AT}{2}-\frac{AT}{2}\right]=0&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\frac{a_0}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcolo dei coefficienti &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt;

I coefficienti &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; sono

&lt;math&gt;a_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\cos(n\omega_0t),dt&lt;/math&gt;

Separando i due intervalli,

&lt;math&gt;a_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\cos(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\cos(n\omega_0t),dt\right]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\int\cos(n\omega_0t),dt=\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}&lt;/math&gt;

si ottiene

&lt;math&gt;a_n=\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}-\frac{2A}{T}\left[\frac{\sin(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}&lt;/math&gt;

Con &lt;math&gt;\omega_0=\frac{2\pi}{T}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;n\omega_0\frac{T}{2}=n\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n\omega_0T=2n\pi&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\sin(n\pi)=0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin(2n\pi)=0&lt;/math&gt;

Da cui

&lt;math&gt;a_n=0&lt;/math&gt;

per ogni &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.

Calcolo dei coefficienti &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt;

I coefficienti &lt;math&gt;b_n&lt;/math&gt; sono

&lt;math&gt;b_n=\frac{2}{T}\int_0^T y(t)\sin(n\omega_0t),dt&lt;/math&gt;

Sostituendo la funzione,

&lt;math&gt;b_n=\frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2}A\sin(n\omega_0t),dt+\int_{T/2}^T(-A)\sin(n\omega_0t),dt\right]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\int\sin(n\omega_0t),dt=-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;b_n=\frac{2A}{T}\left[-\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*0^{T/2}+\frac{2A}{T}\left[\frac{\cos(n\omega_0t)}{n\omega_0}\right]*{T/2}^{T}&lt;/math&gt;

Calcolando i valori agli estremi,

&lt;math&gt;b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[1-\cos(n\pi)+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\right]&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\cos(n\pi)=(-1)^n&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos(2n\pi)=1&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;b_n=\frac{2A}{Tn\omega_0}\left[2-2(-1)^n\right]&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\omega_0=\frac{2\pi}{T}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;b_n=\frac{2A}{Tn\frac{2\pi}{T}}\left[2-2(-1)^n\right]&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b_n=\frac{2A}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]&lt;/math&gt;

Quindi, distinguendo i due casi:

per &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; pari,

&lt;math&gt;(-1)^n=1&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;b_n=0&lt;/math&gt;

per &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; dispari,

&lt;math&gt;(-1)^n=-1&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;b_n=\frac{4A}{n\pi}&lt;/math&gt;

Pertanto

'''Serie di Fourier finale'''

Poiché &lt;math&gt;a_0=0&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;a_n=0&lt;/math&gt;, rimangono solamente i termini sinusoidali di ordine dispari:

Sostituendo &lt;math&gt;\omega_0=\frac{2\pi}{T}&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{1}{3}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)+\cdots\right]&lt;/math&gt;


Questa è la serie di Fourier dell'onda quadra simmetrica di ampiezza &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; e periodo &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;. La serie contiene esclusivamente armoniche dispari e non contiene né una componente continua né armoniche cosinusoidali.

== 12° Calcolo della serie di Fourier della funzione y(t) = 2A/3.14 arcosin (sin ( 6.28 t / T )) ==

Si tratta di un'onda periodica triangolare di ampiezza  A e del computo delle sue componenti armoniche secondo la serie di Fourier.

Calcolo della serie di Fourier

Consideriamo la funzione

&lt;math&gt;y(t)=\frac{2A}{3.14}\arcsin\left(\sin\left(\frac{6.28t}{T}\right)\right)&lt;/math&gt;

Approssimiamo &lt;math&gt;3.14&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;6.28&lt;/math&gt; con &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;. Quindi possiamo scrivere

&lt;math&gt;y(t)=\frac{2A}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;x=\frac{2\pi t}{T}&lt;/math&gt;

e consideriamo la funzione

&lt;math&gt;f(x)=\arcsin(\sin x)&lt;/math&gt;

La funzione &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; è un'onda triangolare, dispari e periodica di periodo &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt; vale

&lt;math&gt;f(x)=x&lt;/math&gt;

e quindi è sufficiente calcolare la serie di seni.

La serie di Fourier di una funzione dispari è

&lt;math&gt;f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx),dx&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; è dispari e &lt;math&gt;\sin(nx)&lt;/math&gt; è dispari, il prodotto è pari, quindi

&lt;math&gt;b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx),dx&lt;/math&gt;

Nell'intervallo &lt;math&gt;0\leq x\leq\frac{\pi}{2}&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;f(x)=x&lt;/math&gt;

mentre nell'intervallo &lt;math&gt;\frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;f(x)=\pi-x&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;b_n=\frac{2}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}x\sin(nx),dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx),dx\right]&lt;/math&gt;

Il risultato dell'integrazione è

&lt;math&gt;b_n=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

per &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; pari, tutti gli armonici pari sono assenti.

Per &lt;math&gt;n=2k+1&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;b_{2k+1}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}&lt;/math&gt;

La serie di Fourier di &lt;math&gt;\arcsin(\sin x)&lt;/math&gt; è dunque

&lt;math&gt;\arcsin(\sin x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)x)&lt;/math&gt;

Sostituendo

&lt;math&gt;x=\frac{2\pi t}{T}&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;\arcsin\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)&lt;/math&gt;

Moltiplicando per &lt;math&gt;\frac{2A}{\pi}&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)&lt;/math&gt;

Serie scritta come insieme di addendi

&lt;math&gt;y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\left[\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{1}{3^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{1}{5^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{1}{7^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{1}{9^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots\right]&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{9\pi^2}\sin\left(\frac{6\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{25\pi^2}\sin\left(\frac{10\pi t}{T}\right)-\frac{8A}{49\pi^2}\sin\left(\frac{14\pi t}{T}\right)+\frac{8A}{81\pi^2}\sin\left(\frac{18\pi t}{T}\right)-\cdots&lt;/math&gt;

In forma compatta:

&lt;math&gt;y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)&lt;/math&gt;

Convergenza

La serie converge perché i suoi coefficienti sono proporzionali a

&lt;math&gt;\frac{1}{(2k+1)^2}&lt;/math&gt;

e la serie numerica

&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}&lt;/math&gt;

è convergente.

In particolare, la serie di Fourier converge assolutamente e uniformemente, perché

&lt;math&gt;\left|\frac{8A}{\pi^2}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)\right|\leq\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8|A|}{\pi^2(2k+1)^2}&lt;\infty&lt;/math&gt;

Perciò la serie converge uniformemente a &lt;math&gt;y(t)&lt;/math&gt; per ogni &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, compresi i punti angolosi dell'onda triangolare.

Il risultato finale è quindi

&lt;math&gt;y(t)=\frac{8A}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\left(\frac{2\pi(2k+1)t}{T}\right)&lt;/math&gt;


=='''Serie per le funzioni binomiali)'''==

== 13° Calcolo di 6 addendi della  serie per (1+x)^-1 ==

&lt;math&gt;(1+x)^{-1}=\frac{1}{1+x}&lt;/math&gt;

La serie di potenze associata si ottiene usando la serie geometrica:

&lt;math&gt;\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n=1+t+t^2+t^3+\cdots&lt;/math&gt;

Ponendo:

&lt;math&gt;t=-x&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi, contando anche il termine costante, sono:

&lt;math&gt;1-x+x^2-x^3+x^4-x^5&lt;/math&gt;

Pertanto la somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5&lt;/math&gt;

La serie completa è:

&lt;math&gt;1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7+\cdots&lt;/math&gt;

Per stabilire la convergenza, consideriamo il termine generale:

&lt;math&gt;a_n=(-1)^n x^n&lt;/math&gt;

e applichiamo il criterio del rapporto:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^n x^n}\right|=|x|&lt;/math&gt;

La serie converge quando:

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

Inoltre, per:

&lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;

i termini non tendono a zero e quindi la serie diverge.

Per gli estremi:

&lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;1-1+1-1+\cdots&lt;/math&gt;

che non converge nel senso usuale delle serie numeriche, perché le somme parziali oscillano tra &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.

Per:

&lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;1+1+1+1+\cdots&lt;/math&gt;

che diverge.

Quindi l'intervallo di convergenza è:

&lt;math&gt;-1&lt;x&lt;1&lt;/math&gt;

e il raggio di convergenza è:

&lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;

La somma della serie, per &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}&lt;/math&gt;


== 14° Calcolo di 6 addendi della  serie per (1+x)^-1/3 ==


&lt;math&gt;(1+x)^{-1/3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\alpha=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;(1+x)^{-1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}x^n&lt;/math&gt;

Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per &lt;math&gt;n=0,1,2,3,4,5&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{0}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{2}=\frac{(-1/3)(-4/3)}{2!}=\frac{2}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{3}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{3!}=-\frac{14}{81}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{4}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)}{4!}=\frac{35}{243}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\binom{-1/3}{5}=\frac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)(-13/3)}{5!}=-\frac{91}{729}&lt;/math&gt;

Quindi la serie scritta come insieme dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots&lt;/math&gt;

I 6 addendi richiesti sono quindi:

&lt;math&gt;1,\quad -\frac{x}{3},\quad \frac{2x^2}{9},\quad -\frac{14x^3}{81},\quad \frac{35x^4}{243},\quad -\frac{91x^5}{729}&lt;/math&gt;

Per stabilire l'intervallo di convergenza consideriamo il termine generale:

&lt;math&gt;a_n=\binom{-1/3}{n}x^n&lt;/math&gt;

Usiamo il criterio del rapporto:

&lt;math&gt;\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-1/3-n}{n+1}x\right|&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|&lt;/math&gt;

Per il criterio del rapporto la serie converge se:

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

e diverge se:

&lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;

Bisogna quindi controllare separatamente gli estremi &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1/3}{n}&lt;/math&gt;

La serie converge, poiché rappresenta il valore finito:

&lt;math&gt;(1+1)^{-1/3}=2^{-1/3}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(1-1)^{-1/3}=0^{-1/3}&lt;/math&gt;

L'espressione non è definita e la serie non converge.

Pertanto l'intervallo di convergenza è:

&lt;math&gt;-1&lt;x\leq1&lt;/math&gt;

Il raggio di convergenza è:

&lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;(1+x)^{-1/3}=1-\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{9}-\frac{14x^3}{81}+\frac{35x^4}{243}-\frac{91x^5}{729}+\cdots&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-1&lt;x\leq1&lt;/math&gt;


== 15° Calcolo di 5 addendi della  serie per (1+x)^-1/2 ==

Calcolo dei primi 5 addendi della serie

&lt;math&gt;(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}x^n&lt;/math&gt;

La formula del coefficiente binomiale generalizzato è

&lt;math&gt;\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}&lt;/math&gt;

Ponendo &lt;math&gt;\alpha=-\frac{1}{2}&lt;/math&gt;, calcoliamo i primi 5 addendi.

Per &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\binom{-\frac{1}{2}}{0}x^0=1&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\binom{-\frac{1}{2}}{1}x=-\frac{1}{2}x&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\binom{-\frac{1}{2}}{2}x^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}x^2=\frac{3}{8}x^2&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\binom{-\frac{1}{2}}{3}x^3=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}x^3=-\frac{5}{16}x^3&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;n=4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\binom{-\frac{1}{2}}{4}x^4=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)}{4!}x^4=\frac{35}{128}x^4&lt;/math&gt;

Quindi i primi 5 addendi sono

&lt;math&gt;1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4&lt;/math&gt;

e la serie completa è

&lt;math&gt;(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\frac{35}{128}x^4-\frac{63}{256}x^5+\cdots&lt;/math&gt;

Convergenza

Per la serie binomiale, il raggio di convergenza è &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Quindi la serie converge sicuramente per

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

e diverge per

&lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;.

Bisogna controllare separatamente gli estremi.

Per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; si ottiene

&lt;math&gt;1-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}+\frac{35}{128}-\cdots&lt;/math&gt;

La serie converge, perché è una serie alternata i cui termini tendono a zero.

Per &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; si ottiene

&lt;math&gt;1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{35}{128}+\cdots&lt;/math&gt;

I termini sono positivi e non producono una somma finita; la serie diverge.

Pertanto l'intervallo di convergenza è

&lt;math&gt;-1&lt;x\leq 1&lt;/math&gt;

La serie converge assolutamente per

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

e converge condizionatamente per

&lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;.


== 16° Calcolo di 6 addendi della  serie per (1+x)^1/2 ==

&lt;math&gt;
(1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\binom{1/2}{n}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!}
&lt;/math&gt;

Calcoliamo i primi 6 addendi, cioè per &lt;math&gt;n=0,1,2,3,4,5&lt;/math&gt;.

&lt;math&gt;
n=0:\qquad \binom{1/2}{0}x^0=1
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
n=1:\qquad \binom{1/2}{1}x=\frac12x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
n=2:\qquad \binom{1/2}{2}x^2=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}x^2=-\frac18x^2
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
n=3:\qquad \binom{1/2}{3}x^3=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}x^3=\frac1{16}x^3
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
n=4:\qquad \binom{1/2}{4}x^4=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{24}x^4=-\frac5{128}x^4
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
n=5:\qquad \binom{1/2}{5}x^5=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)}{120}x^5=\frac7{256}x^5
&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono quindi:

&lt;math&gt;
(1+x)^{1/2}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots
&lt;/math&gt;

La serie binomiale generale è:

&lt;math&gt;
(1+x)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^n
&lt;/math&gt;

Per determinare la convergenza consideriamo il rapporto tra due termini consecutivi:

&lt;math&gt;
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\binom{1/2}{n+1}x^{n+1}}{\binom{1/2}{n}x^n}\right|
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
=\left|\frac{\frac12-n}{n+1}x\right|
&lt;/math&gt;

Passando al limite:

&lt;math&gt;
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|
&lt;/math&gt;

Per il criterio del rapporto la serie converge se:

&lt;math&gt;
|x|&lt;1
&lt;/math&gt;

e diverge se:

&lt;math&gt;
|x|&gt;1
&lt;/math&gt;

Il raggio di convergenza è quindi:

&lt;math&gt;
R=1
&lt;/math&gt;

Bisogna controllare separatamente gli estremi.

Per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1+\frac12-\frac18+\frac1{16}-\frac5{128}+\frac7{256}+\cdots
&lt;/math&gt;

La serie converge e la sua somma è:

&lt;math&gt;
(1+1)^{1/2}=\sqrt2
&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;
1-\frac12-\frac18-\frac1{16}-\frac5{128}-\frac7{256}-\cdots
&lt;/math&gt;

Anche in questo caso la serie converge e la sua somma è:

&lt;math&gt;
(1-1)^{1/2}=0
&lt;/math&gt;

Pertanto l'intervallo di convergenza è:

&lt;math&gt;
[-1,1]
&lt;/math&gt;

In conclusione, la serie di &lt;math&gt;(1+x)^{1/2}&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;
1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\frac7{256}x^5+\cdots
&lt;/math&gt;

e converge per:

&lt;math&gt;
-1\leq x\leq1
&lt;/math&gt;

mentre diverge per:

&lt;math&gt;
x&lt;-1\qquad\text{oppure}\qquad x&gt;1
&lt;/math&gt;


==''' Miscelanea'''==


== 17° Calcolo di 7 addendi della  serie geometrica di 1 / ( 1-x ) ==


&lt;math&gt;\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots&lt;/math&gt;

La serie geometrica ha primo termine &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt; e ragione &lt;math&gt;r=x&lt;/math&gt;.

I primi 7 addendi sono:

&lt;math&gt;1,\quad x,\quad x^2,\quad x^3,\quad x^4,\quad x^5,\quad x^6&lt;/math&gt;

La somma dei primi 7 addendi è:

&lt;math&gt;S_7=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6&lt;/math&gt;

Usando la formula della somma parziale di una serie geometrica:

&lt;math&gt;S_n=\frac{1-x^n}{1-x}&lt;/math&gt;

per &lt;math&gt;n=7&lt;/math&gt; si ottiene:

&lt;math&gt;S_7=\frac{1-x^7}{1-x}&lt;/math&gt;

La serie infinita è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}x^n&lt;/math&gt;

e converge quando il valore assoluto della ragione è minore di 1:

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

Infatti, in questo caso:

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x^n=0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}&lt;/math&gt;

Per &lt;math&gt;|x|\geq 1&lt;/math&gt; la serie non converge.

Conclusione:

&lt;math&gt;\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots,\qquad |x|&lt;1&lt;/math&gt;


== 18° Calcolo di 6 addendi della  serie armonica  -ln ( 1-x ) ==

La serie di potenze associata alla funzione &lt;math&gt;-\ln(1-x)&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}&lt;/math&gt;

I primi sei addendi sono

&lt;math&gt;x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}&lt;/math&gt;

Quindi, considerando i primi sei addendi, la somma parziale è

&lt;math&gt;S_6=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}&lt;/math&gt;

In generale, la somma parziale di ordine &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^n}{n}&lt;/math&gt;

La serie converge per

&lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;

e diverge per

&lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;

Per gli estremi dell'intervallo di convergenza si considerano separatamente i due casi.

Per &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; si ottiene

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots&lt;/math&gt;

Questa è la serie armonica e diverge.

Per &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; si ottiene

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots&lt;/math&gt;

Questa serie converge per il criterio di Leibniz e la sua somma è

&lt;math&gt;-\ln(2)&lt;/math&gt;

Pertanto l'intervallo di convergenza della serie è

&lt;math&gt;[-1,1)&lt;/math&gt;

La serie &lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}&lt;/math&gt; è quindi convergente per &lt;math&gt;-1\leq x&lt;1&lt;/math&gt; e divergente per &lt;math&gt;x\geq1&lt;/math&gt; oppure &lt;math&gt;x&lt;-1&lt;/math&gt;.


==19°  Scrivi i  primi 5 addendi della serie per il calcolo di (e) 2.7… (numero di Nepero)==


Il numero di Nepero &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; può essere calcolato mediante la serie

&lt;math&gt;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}&lt;/math&gt;

I primi 5 addendi della serie sono

&lt;math&gt;\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}&lt;/math&gt;

Sviluppando i fattoriali si ottiene

&lt;math&gt;1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}&lt;/math&gt;

La somma dei primi 5 addendi è

&lt;math&gt;1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=2+\frac{12}{24}+\frac{4}{24}+\frac{1}{24}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=2+\frac{17}{24}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{65}{24}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{65}{24}=2{,}708333\ldots&lt;/math&gt;

Quindi, usando soltanto i primi 5 addendi,

&lt;math&gt;e\approx2{,}708333\ldots&lt;/math&gt;

Il valore di &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; è

&lt;math&gt;e\approx2{,}718281828\ldots&lt;/math&gt;

La serie converge perché, indicando con

&lt;math&gt;a_n=\frac{1}{n!}&lt;/math&gt;

il rapporto tra due termini consecutivi è

&lt;math&gt;\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0&lt;/math&gt;

Poiché il limite è minore di &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;, per il criterio del rapporto la serie converge.

Pertanto,

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}&lt;/math&gt;

è una serie convergente e la sua somma è il numero di Nepero

&lt;math&gt;e=2{,}718281828\ldots&lt;/math&gt;


==20°  Scrivi i  primi 6 addendi della serie per il calcolo di pigreco (3.14...)==


# Serie di Gregory-Leibniz per il calcolo di π

&lt;math&gt;\pi = 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\right)&lt;/math&gt;

I primi 6 addendi sono:

&lt;math&gt;4\cdot 1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{5}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{7}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;+4\cdot\frac{1}{9}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;-4\cdot\frac{1}{11}&lt;/math&gt;

La somma dei primi 6 addendi è:

&lt;math&gt;S_6=4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;S_6\approx 3{,}002175954&lt;/math&gt;

Quindi, con soli 6 addendi, l'approssimazione è ancora lontana da &lt;math&gt;\pi\approx3{,}141592654&lt;/math&gt;.

La serie è:

&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}&lt;/math&gt;

Essa converge per il criterio delle serie alternate, perché i termini &lt;math&gt;\frac{4}{2n+1}&lt;/math&gt; tendono a zero e decrescono monotonamente.

Pertanto:

&lt;math&gt;\lim_{N\to\infty}4\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\pi&lt;/math&gt;

La serie converge a &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;, ma molto lentamente.

Nota (dato che con 6 addendi siamo ancora lontani dal valore voluto  si potrà ripetere l'esercizio per un numero superiore di termini.)</text>
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    <title>Equazioni e sistemi trigonometrici</title>
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'''(10 esercizi)'''

== 1° esercizio  ==

Soluzione di una equazione in seno quadrato:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen^2 x -1'''


Scrittura

&lt;math&gt;\sin^2 x - 1 = 0&lt;/math&gt;

Portiamo &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; al secondo membro:

&lt;math&gt;\sin^2 x = 1&lt;/math&gt;

Estraiamo la radice quadrata:

&lt;math&gt;\sin x = \pm\sqrt{1}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x = \pm 1&lt;/math&gt;

Consideriamo separatamente i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x = 1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\sin x = -1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Possiamo riunire le due famiglie di soluzioni in un'unica espressione:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è:

&lt;math&gt;x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 2°  esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  Sen x + tang x = 0 '''


&lt;math&gt;\sin x+\tan x=0&lt;/math&gt;

Poiché la tangente è definita solo per &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, imponiamo innanzitutto:

&lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;

Usiamo la relazione:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Portiamo tutto allo stesso denominatore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; al numeratore:

&lt;math&gt;\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x}=0&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;\cos x\ne0&lt;/math&gt;, la frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo:

&lt;math&gt;\sin x(\cos x+1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi consideriamo i due casi.

Caso 1:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni di questa equazione sono:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Caso 2:

&lt;math&gt;\cos x+1=0&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono:

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel caso &lt;math&gt;x=k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Verifica del dominio:

&lt;math&gt;\cos(k\pi)=(-1)^k\ne0&lt;/math&gt;

quindi tutte le soluzioni trovate appartengono al dominio della tangente.

Conclusione:

&lt;math&gt;{x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;

quindi la riga finale da usare effettivamente è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 3°  esercizio  ==

Soluzione di una equazione in cotangente e coseno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di :  cot x - cos x = 0 '''


&lt;math&gt;\cot x-\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x=0&lt;/math&gt;

Poiché la cotangente è definita solo per &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, possiamo raccogliere &lt;math&gt;\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0&lt;/math&gt;

Quindi, per la legge di annullamento del prodotto:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

Prima equazione:

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Questi valori soddisfano anche la condizione &lt;math&gt;\sin x\ne0&lt;/math&gt;, quindi sono accettabili.

Seconda equazione:

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}-1=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\frac{1}{\sin x}=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x=1&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nell'insieme &lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;.

Pertanto, l'insieme delle soluzioni è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 4° esercizio  ==


Soluzione di una equazione in seno e coseno quadrati.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di  2 sen^2 x - cos^2 x + 1 = 0 '''

&lt;math&gt;2\sin^2 x-\cos^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2 x+\cos^2 x=1&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo nell'equazione:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-(1-\sin^2 x)+1=0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;2\sin^2 x-1+\sin^2 x+1=0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;3\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;3&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin^2 x=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;

Il seno è nullo per:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto, la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° esercizio  ==

Soluzione di una equazione in tangente e tangente quadrata.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di 3 tang^2 x - 4 sqr 3 tang x+3 = 0 '''


&lt;math&gt;3\tan^2 x-4\sqrt{3}\tan x+3=0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

L'equazione diventa:

&lt;math&gt;3t^2-4\sqrt{3}\,t+3=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=b^2-4ac&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=16\cdot3-36&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=48-36=12&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\Delta&gt;0&lt;/math&gt;

l'equazione ha due soluzioni reali:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{12}}{6}&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sqrt{12}=2\sqrt{3}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{3}}{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;t_1=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;t_2=\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Ricordando che:

&lt;math&gt;t=\tan x&lt;/math&gt;

si hanno le due equazioni:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}&lt;/math&gt;

Per la prima:

&lt;math&gt;\tan x=\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

quindi, tenendo conto del periodo della tangente &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Per la seconda:

&lt;math&gt;\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Pertanto la soluzione generale dell'equazione è:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 6°  esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''x + y = pigreco/2'''

''' sen x sen y = 1/2


Dato il sistema:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\sin x \sin y = \frac{1}{2}\\
x+y=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
&lt;/math&gt;


sostituiamo &lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt; nella prima equazione:

&lt;math&gt;\sin x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo l'identità &lt;math&gt;\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin x\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Usiamo la formula dell'angolo doppio &lt;math&gt;\sin(2x)=2\sin x\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin(2x)=1&lt;/math&gt;

Le soluzioni di &lt;math&gt;\sin t=1&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Ora ricaviamo &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; dalla seconda equazione:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-x&lt;/math&gt;

Sostituendo il valore di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{4}-k\pi&lt;/math&gt;

Pertanto, tutte le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}-k\pi\right),\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 7°  esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''sen (x - y ) = 0'''

''' tang (x+y) = radice di 3'''


Dato il sistema:


&lt;math&gt;\sin(x-y)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin t=0 \Longleftrightarrow t=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x-y=k\pi,\quad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;x=y+k\pi&lt;/math&gt;


&lt;math&gt;\tan(x+y)=\sqrt3&lt;/math&gt;

Sappiamo che:

&lt;math&gt;\tan t=\sqrt3 \Longleftrightarrow t=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi,\quad h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


Otteniamo dunque il sistema equivalente:

&lt;math&gt;\begin{cases}
x-y=k\pi\\
x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi
\end{cases}&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;(x-y)+(x+y)=k\pi+\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2x=(k+h)\pi+\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{(k+h)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;(x+y)-(x-y)=\frac{\pi}{3}+h\pi-k\pi&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;2y=\frac{\pi}{3}+(h-k)\pi&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;y=\frac{(h-k)\pi}{2}+\frac{\pi}{6}&lt;/math&gt;


Pertanto la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\left\{
\begin{aligned}
x&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\\
y&amp;=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}
\end{aligned}
\right.&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k,h\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


Possiamo anche scrivere la soluzione in forma compatta ponendo:

&lt;math&gt;m=k+h&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;n=h-k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; hanno la stessa parità, si può mantenere direttamente la parametrizzazione precedente.


Verifica:

&lt;math&gt;x-y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x-y=\frac{(k+h-h+k)\pi}{2}=k\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\sin(x-y)=\sin(k\pi)=0&lt;/math&gt;


Inoltre:

&lt;math&gt;x+y=\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+\frac{(k+h+h-k)\pi}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x+y=\frac{\pi}{3}+h\pi&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\tan(x+y)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+h\pi\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3&lt;/math&gt;


Conclusione:

&lt;math&gt;\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{(k+h)\pi}{2},\ y=\frac{\pi}{6}+\frac{(h-k)\pi}{2},\ k,h\in\mathbb Z\right\}&lt;/math&gt;


== 8° esercizio  ==

Soluzione di un sistema  in coseno elevato alla seconda e quarta potenza.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''cos^2 x - cos^2 y = 1/4'''

'''cos^4 x - cos^4 y = 1/16'''

Dato il sistema:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Usiamo la differenza di quadrati:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=(\cos^2 x-\cos^2 y)(\cos^2 x+\cos^2 y)&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella seconda equazione il valore ottenuto dalla prima:

&lt;math&gt;\frac14(\cos^2 x+\cos^2 y)=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Moltiplichiamo entrambi i membri per &lt;math&gt;4&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14&lt;/math&gt;

Otteniamo quindi il sistema equivalente:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14\\
\cos^2 x+\cos^2 y=\frac14
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Sommiamo membro a membro le due equazioni:

&lt;math&gt;2\cos^2 x=\frac12&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt;

Sottraiamo ora la prima equazione dalla seconda:

&lt;math&gt;2\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos x=\pm\frac12&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Infatti i valori per i quali il coseno è &lt;math&gt;\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

mentre quelli per i quali il coseno è &lt;math&gt;-\frac12&lt;/math&gt; sono:

&lt;math&gt;x=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Le due famiglie possono essere riunite nella forma:

&lt;math&gt;x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Determiniamo ora i valori di &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;.

Dalla condizione &lt;math&gt;\cos y=0&lt;/math&gt; otteniamo:

&lt;math&gt;y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le soluzioni del sistema sono:

&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;

Verifica:

&lt;math&gt;\cos^2 x=\frac14&lt;/math&gt;

e:

&lt;math&gt;\cos^2 y=0&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\cos^2 x-\cos^2 y=\frac14-0=\frac14&lt;/math&gt;

Inoltre:

&lt;math&gt;\cos^4 x-\cos^4 y=\left(\frac14\right)^2-0^2=\frac1{16}&lt;/math&gt;

Entrambe le equazioni sono soddisfatte.

Soluzione finale:


&lt;math&gt;
\begin{cases}
x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\\
y=\frac{\pi}{2}+h\pi
\end{cases}
,\qquad k,h\in\mathbb Z
&lt;/math&gt;


== 9°esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in coseno, tangente, cotangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''2 cos x / ( 1+ cosx ) = cotan (x/2) - tan (x/2)'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

### 1. Condizioni di esistenza

Per il primo membro deve essere

&lt;math&gt;1+\cos x\neq 0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\cos x\neq -1&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;x\neq \pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Nel secondo membro devono essere definiti sia la cotangente sia la tangente:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)\neq 0&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

ovvero

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto le condizioni di esistenza complessive sono

&lt;math&gt;x\neq k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

### 2. Trasformazione del secondo membro

Utilizziamo le definizioni di cotangente e tangente:

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Quindi

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}
-
\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}&lt;/math&gt;

Riduciamo a denominatore comune:

&lt;math&gt;
\frac{\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)}
{\sin(x/2)\cos(x/2)}
&lt;/math&gt;

Usiamo le formule di duplicazione:

&lt;math&gt;\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sin x&lt;/math&gt;

perciò

&lt;math&gt;\cot\left(\frac{x}{2}\right)-\tan\left(\frac{x}{2}\right)
=
\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{2\cos x}{1+\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

### 3. Risoluzione dell'equazione

Poiché dalle condizioni di esistenza abbiamo

&lt;math&gt;x\neq k\pi&lt;/math&gt;

segue in particolare che

&lt;math&gt;\sin x\neq 0&lt;/math&gt;

Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x(1+\cos x)&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x=2\cos x(1+\cos x)&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;2\cos x\sin x-2\cos x(1+\cos x)=0&lt;/math&gt;

Raccogliamo &lt;math&gt;2\cos x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2\cos x\left[\sin x-(1+\cos x)\right]=0&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;2\cos x(\sin x-\cos x-1)=0&lt;/math&gt;

Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Otteniamo quindi due casi.

### 4. Primo caso

&lt;math&gt;\cos x=0&lt;/math&gt;

Le soluzioni sono

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni rispettano le condizioni di esistenza, quindi sono accettate.

### 5. Secondo caso

&lt;math&gt;\sin x-\cos x-1=0&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\sin x-\cos x=1&lt;/math&gt;

Usiamo la sostituzione di angolo metà:

&lt;math&gt;\sin x=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\cos x=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
=1
&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
+
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
-
\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
=0
&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;
2\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\left[
\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)
\right]
=0
&lt;/math&gt;

Dunque

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Il primo caso,

&lt;math&gt;\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0&lt;/math&gt;

dà

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

ma questi valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza.

Consideriamo quindi il secondo caso:

&lt;math&gt;\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;\cos(x/2)&lt;/math&gt;, che deve essere diverso da zero per le condizioni di esistenza, otteniamo

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Queste soluzioni sono già comprese nel risultato del primo caso.

### 6. Soluzione finale

Il primo caso fornisce

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

mentre il secondo caso fornisce solo le soluzioni

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi&lt;/math&gt;

già comprese nel primo insieme.

Pertanto la soluzione complessiva è

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;


== 10° esercizio  ==

Soluzione di una equazione  in seno e tangente.

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di'''

'''tan (pgreco/4  - x/2) = 1 + sen x


Consideriamo l'equazione

'''1. Determinazione del dominio'''

La tangente è definita quando

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Da cui

&lt;math&gt;-\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{4}+k\pi&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi&lt;/math&gt;.

Per questi valori si ha infatti

&lt;math&gt;\sin x=-1&lt;/math&gt;.

Pertanto il dominio dell'equazione è

&lt;math&gt;x\neq-\frac{\pi}{2}-2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''2. Trasformazione della tangente'''

Utilizziamo la formula

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa quindi

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Poiché nel dominio

&lt;math&gt;1+\sin x\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;1+\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

'''3. Elevamento al quadrato'''

Poiché il secondo membro è sempre non negativo, dall'equazione precedente segue che

&lt;math&gt;\cos x\geq0&lt;/math&gt;.

Possiamo quindi elevare al quadrato:

&lt;math&gt;\cos^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria

&lt;math&gt;\cos^2x=1-\sin^2x&lt;/math&gt;,

otteniamo

&lt;math&gt;1-\sin^2x=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

Scomponiamo il primo membro:

&lt;math&gt;(1-\sin x)(1+\sin x)=(1+\sin x)^4&lt;/math&gt;.

'''4. Sostituzione'''

Poniamo

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;.

Dal dominio sappiamo che

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;.

Inoltre, poiché

&lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;,

si ha

&lt;math&gt;0&lt;y\leq2&lt;/math&gt;.

Poiché

&lt;math&gt;1-\sin x=2-y&lt;/math&gt;,

l'equazione diventa

&lt;math&gt;y(2-y)=y^4&lt;/math&gt;.

Essendo

&lt;math&gt;y\neq0&lt;/math&gt;,

possiamo dividere per &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2-y=y^3&lt;/math&gt;.

Portando tutto a sinistra:

&lt;math&gt;y^3+y-2=0&lt;/math&gt;.

Cerchiamo le radici razionali. Si verifica che

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;

è una radice. Pertanto

&lt;math&gt;y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)&lt;/math&gt;.

L'equazione diventa

&lt;math&gt;(y-1)(y^2+y+2)=0&lt;/math&gt;.

Il secondo fattore non ha soluzioni reali, infatti il suo discriminante è

&lt;math&gt;\Delta=1-8=-7&lt;0&lt;/math&gt;.

Pertanto l'unica soluzione reale è

&lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt;.

'''5. Ritorno alla variabile &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'''

Poiché

&lt;math&gt;y=1+\sin x&lt;/math&gt;,

abbiamo

&lt;math&gt;1+\sin x=1&lt;/math&gt;.

Quindi

&lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt;.

Le soluzioni generali di questa equazione sono

&lt;math&gt;x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

Tuttavia dobbiamo ricordare la condizione ottenuta al punto 2:

&lt;math&gt;\cos x=(1+\sin x)^2&lt;/math&gt;.

Per &lt;math&gt;\sin x=0&lt;/math&gt; si ha

&lt;math&gt;(1+\sin x)^2=1&lt;/math&gt;,

quindi deve essere

&lt;math&gt;\cos x=1&lt;/math&gt;.

Questo elimina i valori

&lt;math&gt;x=(2k+1)\pi&lt;/math&gt;,

per i quali

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;.

Restano dunque

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.

'''6. Verifica'''

Sostituendo

&lt;math&gt;x=2k\pi&lt;/math&gt;

nell'equazione iniziale:

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2k\pi}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)&lt;/math&gt;

e, poiché la tangente ha periodo &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;,

&lt;math&gt;\tan\left(\frac{\pi}{4}-k\pi\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1&lt;/math&gt;.

D'altra parte,

&lt;math&gt;1+\sin(2k\pi)=1+0=1&lt;/math&gt;.

Quindi l'equazione è verificata.

'''Soluzione'''

&lt;math&gt;x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.


La soluzione finale è quindi &lt;math&gt;x=2k\pi,\ k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Problemi di trigonometria</title>
    <ns>0</ns>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = 0%
}}

'''(3 esercizi)'''

== 1° esercizio  ==

Soluzione di un problema in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Calcolare, in funzione del raggio r della circonferenza circoscritta, l’area del dodecagono regolare'''


Consideriamo il dodecagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;.

Unendo il centro della circonferenza con tutti i vertici del dodecagono, esso viene diviso in &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti.

L'angolo al centro di ciascun triangolo è:

&lt;math&gt;\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ&lt;/math&gt;

Ciascun triangolo ha due lati uguali, entrambi coincidenti con il raggio della circonferenza:

&lt;math&gt;OA = OB = r&lt;/math&gt;

L'area di un triangolo avente due lati &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; e angolo compreso &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; è:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin\alpha&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;\alpha = 30^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\sin 30^\circ&lt;/math&gt;

Poiché:

&lt;math&gt;\sin 30^\circ = \frac{1}{2}&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2\cdot\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;A_{\triangle} = \frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Il dodecagono è formato da &lt;math&gt;12&lt;/math&gt; triangoli congruenti, quindi la sua area è:

&lt;math&gt;A = 12A_{\triangle}&lt;/math&gt;

Sostituendo l'area del singolo triangolo:

&lt;math&gt;A = 12\cdot\frac{r^2}{4}&lt;/math&gt;

Semplificando:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;

Pertanto, in funzione del raggio &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; della circonferenza circoscritta, l'area del dodecagono regolare è:

&lt;math&gt;A = 3r^2&lt;/math&gt;


==2° esercizio==

Soluzione di un triangolo rettangolo:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' Risolvere un triangolo rettangolo A,B,C; siano noti oltre l’angolo alfa =90° l’ampiezza di uno dei due angoli adiacenti (es. beta) e la misura dell’ipotenusa'''

𝐴
𝐵
𝐶
il lato 
𝑎
è opposto all'angolo 
𝛼
. Poiché 
𝛼
=
90
∘
, 
𝑎
è l'ipotenusa. Se sono noti 
𝑎
  
𝛽
, possiamo determinare tutti gli elementi mancanti.


Consideriamo un triangolo rettangolo &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; nel quale sono noti l'angolo retto &lt;math&gt;\alpha=90^\circ&lt;/math&gt;, l'angolo &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; e la misura dell'ipotenusa &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;.

Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è &lt;math&gt;180^\circ&lt;/math&gt;, si ha:

&lt;math&gt;\alpha+\beta+\gamma=180^\circ&lt;/math&gt;

Essendo &lt;math&gt;\alpha=90^\circ&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ&lt;/math&gt;

Da cui:

&lt;math&gt;\gamma=180^\circ-90^\circ-\beta&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\gamma=90^\circ-\beta&lt;/math&gt;

I lati &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; sono i cateti, mentre &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; è l'ipotenusa.

Rispetto all'angolo &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;, il cateto &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; è il cateto opposto e il cateto &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; è il cateto adiacente.

Per definizione di seno:

&lt;math&gt;\sin\beta=\frac{b}{a}&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a\sin\beta=b&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;b=a\sin\beta&lt;/math&gt;

Per definizione di coseno:

&lt;math&gt;\cos\beta=\frac{c}{a}&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a\cos\beta=c&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;c=a\cos\beta&lt;/math&gt;

A questo punto sono determinati entrambi i cateti:

&lt;math&gt;b=a\sin\beta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=a\cos\beta&lt;/math&gt;

È possibile verificare il risultato mediante il teorema di Pitagora:

&lt;math&gt;a^2=b^2+c^2&lt;/math&gt;

Sostituendo le espressioni trovate per &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a^2=(a\sin\beta)^2+(a\cos\beta)^2&lt;/math&gt;

Sviluppando i quadrati:

&lt;math&gt;a^2=a^2\sin^2\beta+a^2\cos^2\beta&lt;/math&gt;

Raccogliendo &lt;math&gt;a^2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;a^2=a^2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)&lt;/math&gt;

Utilizzando l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\sin^2\beta+\cos^2\beta=1&lt;/math&gt;

si ottiene:

&lt;math&gt;a^2=a^2\cdot1&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;a^2=a^2&lt;/math&gt;

Il risultato è pertanto verificato.

In conclusione, conoscendo l'ipotenusa &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; e l'angolo acuto &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;, gli elementi del triangolo rettangolo sono:

&lt;math&gt;\alpha=90^\circ&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\gamma=90^\circ-\beta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;b=a\sin\beta&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;c=a\cos\beta&lt;/math&gt;

Inoltre, il perimetro del triangolo è:

&lt;math&gt;P=a+b+c&lt;/math&gt;

Sostituendo le espressioni dei cateti:

&lt;math&gt;P=a+a\sin\beta+a\cos\beta&lt;/math&gt;

e l'area del triangolo è:

&lt;math&gt;A=\frac{bc}{2}&lt;/math&gt;

Sostituendo &lt;math&gt;b=a\sin\beta&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;c=a\cos\beta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A=\frac{(a\sin\beta)(a\cos\beta)}{2}&lt;/math&gt;

quindi:

&lt;math&gt;A=\frac{a^2\sin\beta\cos\beta}{2}&lt;/math&gt;

Utilizzando la relazione &lt;math&gt;\sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;A=\frac{a^2}{4}\sin(2\beta)&lt;/math&gt;


==3° esercizio==

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' Lo studio di un problema geometrico impone, a concludere, la soluzione dell'equazione: sen 5x cos 3x   =   sen 9x cos 7x'''
''' da risovere in gradi sessagesimali'''


Consideriamo l'equazione

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\sen 9x\cos 7x&lt;/math&gt;

Applichiamo a entrambi i membri la formula di prostaferesi

&lt;math&gt;\sen A\cos B=\frac{1}{2}\left[\sen(A+B)+\sen(A-B)\right]&lt;/math&gt;

Al primo membro otteniamo

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\frac{1}{2}\left[\sen(5x+3x)+\sen(5x-3x)\right]&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;\sen 5x\cos 3x=\frac{1}{2}\left(\sen 8x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

Analogamente, per il secondo membro,

&lt;math&gt;\sen 9x\cos 7x=\frac{1}{2}\left[\sen(9x+7x)+\sen(9x-7x)\right]&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\sen 9x\cos 7x=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

L'equazione iniziale diventa pertanto

&lt;math&gt;\frac{1}{2}\left(\sen 8x+\sen 2x\right)=\frac{1}{2}\left(\sen 16x+\sen 2x\right)&lt;/math&gt;

Moltiplicando entrambi i membri per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;, si ha

&lt;math&gt;\sen 8x+\sen 2x=\sen 16x+\sen 2x&lt;/math&gt;

Sottraendo &lt;math&gt;\sen 2x&lt;/math&gt; da entrambi i membri:

&lt;math&gt;\sen 8x=\sen 16x&lt;/math&gt;

Ora utilizziamo la formula generale per l'equazione

&lt;math&gt;\sen\alpha=\sen\beta&lt;/math&gt;

che ammette le due famiglie di soluzioni

&lt;math&gt;\alpha=\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\alpha=180^\circ-\beta+360^\circ k&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Nel nostro caso poniamo

&lt;math&gt;\alpha=8x&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\beta=16x&lt;/math&gt;.

'''Prima famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;-8x=360^\circ k&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;x=-45^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; è un intero arbitrario, possiamo scrivere equivalentemente

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Seconda famiglia di soluzioni'''

Abbiamo

&lt;math&gt;8x=180^\circ-16x+360^\circ k&lt;/math&gt;

Portando &lt;math&gt;16x&lt;/math&gt; al primo membro:

&lt;math&gt;24x=180^\circ+360^\circ k&lt;/math&gt;

Dividendo per &lt;math&gt;24&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;x=\frac{180^\circ}{24}+\frac{360^\circ}{24}k&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;x=7{,}5^\circ+15^\circ k&lt;/math&gt;

Poiché la richiesta è di esprimere gli angoli in gradi sessagesimali e primi, osserviamo che

&lt;math&gt;0{,}5^\circ=30'&lt;/math&gt;

e quindi

&lt;math&gt;7{,}5^\circ=7^\circ30'&lt;/math&gt;

La seconda famiglia può dunque essere scritta come

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzione generale'''

Le soluzioni dell'equazione sono quindi date dalle due famiglie

&lt;math&gt;x=45^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;x=7^\circ30'+15^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

'''Soluzioni comprese tra &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;360^\circ&lt;/math&gt;'''

Se si considera l'intervallo

&lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;

la prima famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ&lt;/math&gt;

La seconda famiglia fornisce

&lt;math&gt;x=7^\circ30',\ 22^\circ30',\ 37^\circ30',\ 52^\circ30',\ 67^\circ30',\ 82^\circ30',\ 97^\circ30',\ 112^\circ30',\ 127^\circ30',\ 142^\circ30',\ 157^\circ30',\ 172^\circ30',\ 187^\circ30',\ 202^\circ30',\ 217^\circ30',\ 232^\circ30',\ 247^\circ30',\ 262^\circ30',\ 277^\circ30',\ 292^\circ30',\ 307^\circ30',\ 322^\circ30',\ 337^\circ30',\ 352^\circ30'&lt;/math&gt;

Pertanto, nell'intervallo considerato, una copia delle soluzioni che soddisfa il problema  é:

x1 = 0; 22.5°; 45°

x2 =7.5°;  37.5°

In totale si ottengono &lt;math&gt;32&lt;/math&gt; soluzioni nell'intervallo &lt;math&gt;0^\circ\leq x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;.</text>
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    <title>Disequazioni trigonometriche</title>
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| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = %
}}


'''(5 esercizi)'''


== 1° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''cos (2 x) + cos x &lt; 0'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos(2x)+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo la formula di duplicazione

&lt;math&gt;\cos(2x)=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;-1\leq t\leq 1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;2t^2+t-1&lt;0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri dei fattori:

&lt;math&gt;2t-1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t+1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=-1&lt;/math&gt;

Studiamo il segno del prodotto:

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando

&lt;math&gt;-1&lt;t&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

La prima condizione

&lt;math&gt;\cos x&gt;-1&lt;/math&gt;

esclude i valori per cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La seconda condizione è

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione è

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;


== 2° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x &gt; 2 sqrt 2 sen x'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x&gt;2\sqrt{2}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini contenenti &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;, abbiamo:

&lt;math&gt;-1\leq t\leq1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il primo quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=5+2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Osserviamo che:

&lt;math&gt;5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}&lt;/math&gt;

Prima soluzione:

&lt;math&gt;t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Seconda soluzione:

&lt;math&gt;t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5844" sha1="bbz2vn2byl0tbcl4uftjgz4ybkljlff" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = 25%
}}


'''(5 esercizi)'''


== 1° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''cos (2 x) + cos x &lt; 0'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos(2x)+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo la formula di duplicazione

&lt;math&gt;\cos(2x)=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;-1\leq t\leq 1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;2t^2+t-1&lt;0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri dei fattori:

&lt;math&gt;2t-1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t+1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=-1&lt;/math&gt;

Studiamo il segno del prodotto:

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando

&lt;math&gt;-1&lt;t&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

La prima condizione

&lt;math&gt;\cos x&gt;-1&lt;/math&gt;

esclude i valori per cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La seconda condizione è

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione è

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;


== 2° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x &gt; 2 sqrt 2 sen x'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x&gt;2\sqrt{2}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini contenenti &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;, abbiamo:

&lt;math&gt;-1\leq t\leq1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il primo quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=5+2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Osserviamo che:

&lt;math&gt;5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}&lt;/math&gt;

Prima soluzione:

&lt;math&gt;t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Seconda soluzione:

&lt;math&gt;t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = 25%
}}


'''(5 esercizi)'''


== 1° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''cos (2 x) + cos x &lt; 0'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos(2x)+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo la formula di duplicazione

&lt;math&gt;\cos(2x)=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;-1\leq t\leq 1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;2t^2+t-1&lt;0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri dei fattori:

&lt;math&gt;2t-1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t+1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=-1&lt;/math&gt;

Studiamo il segno del prodotto:

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando

&lt;math&gt;-1&lt;t&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

La prima condizione

&lt;math&gt;\cos x&gt;-1&lt;/math&gt;

esclude i valori per cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La seconda condizione è

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione è

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;


== 2° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x &gt; 2 sqrt 2 sen x'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x&gt;2\sqrt{2}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini contenenti &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;, abbiamo:

&lt;math&gt;-1\leq t\leq1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il primo quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=5+2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Osserviamo che:

&lt;math&gt;5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}&lt;/math&gt;

Prima soluzione:

&lt;math&gt;t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Seconda soluzione:

&lt;math&gt;t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' soluzione di:'''

'''Sen x + (sqr 2 -1) cos x &gt;sqr2 - 1 '''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.</text>
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      <timestamp>2026-09-02T08:58:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Funzioni di correlazione</username>
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      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="11238" sha1="pws77y6g0vv6w5ypqhfr5o11v5fr7my" xml:space="preserve">{{Risorsa
| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = 25%
}}


'''(5 esercizi)'''


== 1° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''cos (2 x) + cos x &lt; 0'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos(2x)+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo la formula di duplicazione

&lt;math&gt;\cos(2x)=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;-1\leq t\leq 1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;2t^2+t-1&lt;0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri dei fattori:

&lt;math&gt;2t-1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t+1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=-1&lt;/math&gt;

Studiamo il segno del prodotto:

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando

&lt;math&gt;-1&lt;t&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

La prima condizione

&lt;math&gt;\cos x&gt;-1&lt;/math&gt;

esclude i valori per cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La seconda condizione è

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione è

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;


== 2° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x &gt; 2 sqrt 2 sen x'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x&gt;2\sqrt{2}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini contenenti &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;, abbiamo:

&lt;math&gt;-1\leq t\leq1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il primo quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=5+2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Osserviamo che:

&lt;math&gt;5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}&lt;/math&gt;

Prima soluzione:

&lt;math&gt;t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Seconda soluzione:

&lt;math&gt;t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' soluzione di:'''

'''Sen x + (sqr 2 -1) cos x &gt;sqr2 - 1 '''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


== 4° esercizio  ==

Soluzione di un sistena di disequazioni:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di:'''

'''cotg x &lt;  - sqr 3 '''

'''sen x  &gt; 0 '''


&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;</text>
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        <username>Funzioni di correlazione</username>
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| tipo = lezione
| materia1 = Trigonometria
| avanzamento = 25%
}}


'''(5 esercizi)'''


== 1° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''cos (2 x) + cos x &lt; 0'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\cos(2x)+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo la formula di duplicazione

&lt;math&gt;\cos(2x)=2\cos^2x-1&lt;/math&gt;

Sostituiamo nella disequazione:

&lt;math&gt;2\cos^2x-1+\cos x&lt;0&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;-1\leq t\leq 1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;2t^2+t-1&lt;0&lt;/math&gt;

Scomponiamo il trinomio:

&lt;math&gt;2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)&lt;/math&gt;

Quindi dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Troviamo gli zeri dei fattori:

&lt;math&gt;2t-1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;t+1=0&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;t=-1&lt;/math&gt;

Studiamo il segno del prodotto:

&lt;math&gt;(2t-1)(t+1)&lt;0&lt;/math&gt;

Il prodotto è negativo quando

&lt;math&gt;-1&lt;t&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;t=\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

La prima condizione

&lt;math&gt;\cos x&gt;-1&lt;/math&gt;

esclude i valori per cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

La seconda condizione è

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

Sappiamo che

&lt;math&gt;\cos x=\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;x=\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Pertanto

&lt;math&gt;\cos x&lt;\frac{1}{2}&lt;/math&gt;

per

&lt;math&gt;\frac{\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

In questo intervallo dobbiamo escludere il punto in cui

&lt;math&gt;\cos x=-1&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;x=\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

Quindi la soluzione è

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Equivalentemente, possiamo scrivere la soluzione come

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb Z&lt;/math&gt;

Conclusione:

&lt;math&gt;{x\in\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\pi+2k\pi\right)\cup\left(\pi+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}&lt;/math&gt;


== 2° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno e coseno quadrati:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''(4 – sqrt 6) sen^2 x – sqrt 6 cos^2 x+2 sqrt 3 sen x &gt; 2 sqrt 2 sen x'''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x&gt;2\sqrt{2}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto al primo membro:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Raccogliamo i termini contenenti &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Utilizziamo l'identità fondamentale della trigonometria:

&lt;math&gt;\cos^2 x=1-\sin^2 x&lt;/math&gt;

Sostituiamo:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}(1-\sin^2 x)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sviluppiamo le parentesi:

&lt;math&gt;(4-\sqrt{6})\sin^2 x-\sqrt{6}+\sqrt{6}\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Sommiamo i termini simili:

&lt;math&gt;4\sin^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\sin x-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Poniamo:

&lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;

Poiché &lt;math&gt;-1\leq\sin x\leq1&lt;/math&gt;, abbiamo:

&lt;math&gt;-1\leq t\leq1&lt;/math&gt;

La disequazione diventa:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}&gt;0&lt;/math&gt;

Calcoliamo gli zeri del trinomio:

&lt;math&gt;4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}=0&lt;/math&gt;

Dividiamo per &lt;math&gt;2&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;2t^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\frac{\sqrt{6}}{2}=0&lt;/math&gt;

Calcoliamo il discriminante:

&lt;math&gt;\Delta=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)&lt;/math&gt;

Sviluppiamo il primo quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\Delta=5-2\sqrt{6}+4\sqrt{6}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Delta=5+2\sqrt{6}&lt;/math&gt;

Osserviamo che:

&lt;math&gt;5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&lt;/math&gt;

Pertanto:

&lt;math&gt;\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+\sqrt{2}&lt;/math&gt;

Calcoliamo le due soluzioni dell'equazione:

&lt;math&gt;t_{1,2}=\frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\pm(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}&lt;/math&gt;

Prima soluzione:

&lt;math&gt;t_1=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{2\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Seconda soluzione:

&lt;math&gt;t_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=\frac{-2\sqrt{3}}{4}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi gli zeri sono:

&lt;math&gt;t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Poiché il coefficiente di &lt;math&gt;t^2&lt;/math&gt; è positivo, il trinomio è positivo al di fuori dell'intervallo individuato dagli zeri:

&lt;math&gt;t&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad t&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ricordando che &lt;math&gt;t=\sin x&lt;/math&gt;, otteniamo:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{oppure}\quad\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Ora risolviamo le due disequazioni trigonometriche.

Per la prima:

&lt;math&gt;\sin x&lt;-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Per la seconda:

&lt;math&gt;\sin x&gt;\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Si ha:

&lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}&lt;/math&gt;

Quindi:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Pertanto la soluzione complessiva è:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{4}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

oppure

&lt;math&gt;\frac{4\pi}{3}+2k\pi&lt;x&lt;\frac{5\pi}{3}+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

In forma compatta:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 3°esercizio  ==

Soluzione di una disequazione in seno e coseno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

''' soluzione di:'''

'''Sen x + (sqr 2 -1) cos x &gt;sqr2 - 1 '''


Consideriamo la disequazione

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Portiamo il primo membro nella forma &lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)&lt;/math&gt;.

Poniamo

&lt;math&gt;R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi&lt;/math&gt;

Confrontando i coefficienti con

&lt;math&gt;\sin x+(\sqrt{2}-1)\cos x&lt;/math&gt;

otteniamo

&lt;math&gt;R\cos\varphi=1&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Elevando al quadrato e sommando membro a membro:

&lt;math&gt;R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1&lt;/math&gt;

si ha

&lt;math&gt;R^2=1+(\sqrt{2}-1)^2&lt;/math&gt;

Calcoliamo il quadrato:

&lt;math&gt;(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

quindi

&lt;math&gt;R^2=4-2\sqrt{2}&lt;/math&gt;

e pertanto

&lt;math&gt;R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}&lt;/math&gt;

Non è però necessario calcolare esplicitamente &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Infatti, dividendo le due relazioni ottenute:

&lt;math&gt;\tan\varphi=\frac{R\sin\varphi}{R\cos\varphi}&lt;/math&gt;

da cui

&lt;math&gt;\tan\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Ricordiamo che

&lt;math&gt;\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

quindi possiamo scegliere

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa dunque

&lt;math&gt;R\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;R&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo dividere per &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;:

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}&lt;/math&gt;

Dalla relazione

&lt;math&gt;R\sin\varphi=\sqrt{2}-1&lt;/math&gt;

e da

&lt;math&gt;\varphi=\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

segue che

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{2}-1}{R}=\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Pertanto dobbiamo risolvere

&lt;math&gt;\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Poniamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

La disequazione diventa

&lt;math&gt;\sin y&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

Nel periodo fondamentale, il seno è maggiore di &lt;math&gt;\sin\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; nell'intervallo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\pi-\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

cioè

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione generale è

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;y&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

Sostituiamo

&lt;math&gt;y=x+\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt;

ottenendo

&lt;math&gt;\frac{\pi}{8}+2k\pi&lt;x+\frac{\pi}{8}&lt;\frac{7\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Sottraiamo &lt;math&gt;\frac{\pi}{8}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{6\pi}{8}+2k\pi&lt;/math&gt;

Semplificando

&lt;math&gt;\frac{6\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}&lt;/math&gt;

quindi la soluzione è

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;\frac{3\pi}{4}+2k\pi&lt;/math&gt;

con

&lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;

In forma di intervalli:

&lt;math&gt;x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)&lt;/math&gt;

La disequazione è stretta, quindi gli estremi non sono inclusi.


== 4° esercizio  ==

Soluzione di un sistena di disequazioni:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo

'''Soluzione di:'''

'''cotg x &lt;  - sqr 3 '''

'''sen x  &gt; 0 '''


&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Consideriamo la prima disequazione:

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}&lt;/math&gt;

e dalla seconda disequazione sappiamo che

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

possiamo moltiplicare entrambi i membri per &lt;math&gt;\sin x&lt;/math&gt; senza cambiare il verso della disequazione:

&lt;math&gt;\frac{\cos x}{\sin x}&lt;-\sqrt{3}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\cos x&lt;-\sqrt{3}\sin x&lt;/math&gt;

Portiamo tutto a sinistra:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x&lt;0&lt;/math&gt;

Usiamo la formula di addizione:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Poiché

&lt;math&gt;\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt;

otteniamo:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x\right)&lt;/math&gt;

Applicando la formula

&lt;math&gt;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b&lt;/math&gt;

si ha:

&lt;math&gt;\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;/math&gt;

Pertanto la prima disequazione diventa:

&lt;math&gt;2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

e quindi:

&lt;math&gt;\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)&lt;0&lt;/math&gt;

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante:

&lt;math&gt;\frac{\pi}{2}&lt;x-\frac{\pi}{3}&lt;\frac{3\pi}{2}&lt;/math&gt;

Aggiungendo &lt;math&gt;\frac{\pi}{3}&lt;/math&gt; a tutti i membri:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

Consideriamo ora la seconda disequazione:

&lt;math&gt;\sin x&gt;0&lt;/math&gt;

Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi:

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Dobbiamo quindi intersecare le due condizioni:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

e

&lt;math&gt;2k\pi&lt;x&lt;(2k+1)\pi&lt;/math&gt;

Consideriamo un periodo, ad esempio:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;

La prima condizione dà:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\frac{11\pi}{6}&lt;/math&gt;

La seconda condizione, nell'intervallo &lt;math&gt;(0,2\pi)&lt;/math&gt;, dà:

&lt;math&gt;0&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

L'intersezione è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;

Tenendo conto della periodicità di &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt;, la soluzione generale è:

&lt;math&gt;\frac{5\pi}{6}+2k\pi&lt;x&lt;\pi+2k\pi&lt;/math&gt;

con &lt;math&gt;k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.

Quindi la soluzione del sistema è:

&lt;math&gt;x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\pi+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt;


== 5° esercizio  ==


Soluzione di una disequazione in seno:

In grassetto il testo da copiare su IA, variando i parametri si possono svolgere altri esercizi di calcolo</text>
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